SPATII METRICE SI SPATII VECTORIALE NORMATE

I.1. TOPOLOGIZAREA SPATIILOR METRICE

Fie E ¹ Ø o multime.

Definitia I.1.1 (distanta)

Se numeste metrica (distanta) pe E, orice functie d : E E R cu urmatoarele proprietati:

M₁: d(x,y) = 0 Û x = y,x,yI E; (separare)

M₂: d(x,y) = d(y,x),x,yI E; (simetrie)

M₃: d(x,z) £ d(x,y) + d(y,z), x,y,zI E; (inegalitatea triunghiului)

Definitia I.1.2 (spatiu metric)

Se numeste spatiu metric orice pereche (E,d) formata dintr-o multime E si o distanta d pe E.

Elementele multimii E se numesc puncte.

Observatia I.1.3

d(x,y) ³ x,y I E.

Demonstratie:

Din definitia I.1.1, proprietatea M₃ , pentru x = y rezulta:

0 = d(x,y) £ d(x,y) + d(y,x) = 2d(x,y), deci d(x,y) ³

Definitia I.1.4 (disc deschis)

Se numeste disc deschis de centru x₀ I E si raza r > 0, multimea:

.

Definitia I.1.5 (disc inchis)

Se numeste disc inchis de centru x₀ I E si raza r > 0, multimea:

.

Definitia I.1.6 (sfera)

Se numeste sfera de centru x₀ I E si raza r > 0, multimea:

.

Definitia I.1.7 (vecinatate)

Se numeste vecinatate a punctului x₀ I E, orice submultime V a lui E care contine un disc deschis de centru x₀.

In continuare vom nota cu V(x₀) multimea vecinatatilor punctului x₀.

V(x₀) =

Propozitia I.1.8

Intr-un spatiu metric (E,d), orice disc deschis este vecinatate pentru orice punct al sau.

Demonstratie:

Fie D(x₀,r) un disc deschis de centru x₀ si raza r > 0.Trebuie sa aratam ca, pentru orice y I D(x₀,r), exista r_y astfel incat D(y, r_y) Ì D(x₀,r).

Intr-adevar, sa luam r_y = r - d(x_0,y).

Deoarece d(x₀,r) < r, rezulta ca r_y > 0 si atunci, pentru orice z I D(y, r_y) rezulta:

d(z, x₀) £ d(z, y) + d(y, x₀) < r_y+ d(x_0,y) = r, deci d(x₀, z) < r, adica z I D(x₀,r).

Cum z a fost ales arbitrar in D(y, r_y), rezulta D(y, r_y) Ì D(x₀,r) Þ D(x₀,r) I V(y).

Propozitia I.1.9

Multimea V(x₀) a vecinatatilor punctului x₀ are urmatoarele proprietati:

V₁: Daca VIV(x₀) Þ x₀IV

V₂: Daca VIV(x₀) si U VÞ UIV(x₀)

V₃: Daca V_1, V₂IV(x₀) ÞV₁ V₂IV(x₀)

V₄: Daca VIV(x₀) Þ WIV(x₀), astfel incat     yIW, WIV(y)

Demonstratie:

Primele trei proprietati sunt consecinte directe ale Definitiei I.1.7.

Pentru a demonstra pe V₄ este suficient sa luam W = D(x₀,r) Ì V si sa aplicam Propozitia I.1.8.

Propozitia I.1.10

Daca A Ì E, atunci:

. VIV(x₀), V A ¹ Ø Û D(x₀,r), D(x₀,r) A ¹ Ø

. VIV(x₀), V A = Ø Û D(x₀,r), D(x₀,r) A = Ø

Demonstratie:

Presupunem ca pentru     VIV(x₀), V A ¹ Ø.

Cum     r > 0, D(x₀,r) IV(x₀) Þ D(x₀,r) A ¹ Ø.

Reciproc, presupunem ca r > 0, D(x₀,r) A ¹ Ø. Atunci, daca V I V(x₀),     r₁ > 0 astfel incat D(x₀, r₁) Ì V.

Cum D(x₀, r₁) A ¹ Ø Þ V A ¹ Ø.

Presupunem ca V I V(x₀) astfel incat V A = Ø.

Deoarece V I V(x₀), D(x₀,r) Ì V si atunci, evident D(x₀,r) A = Ø.

Reciproc, presupunem ca D(x₀,r) astfel incat D(x₀,r) A = Ø. Luand V =     D(x₀,r) I V(x₀), rezulta V A=Ø.

Definitia I.1.11 (multime deschisa)

Se numeste multime deschisa in E, orice submultime D     E care este vecinatate pentru orice punct al sau.

D este deschisa in E Û D Ì E si     x I D, D I V(x).

Definitia I.1.12 (topologie)

Se numeste topologie pe E, multimea tuturor deschisilor din E. Se noteaza cu t (E,d).

Prin definitie multimea vida este considerata deschisa.

Definitia I.1.13 (multime inchisa)

Se numeste multime inchisa in E orice submultime    F E a carei complementara este deschisa in E.

F este inchisa in E Û E-F este deschisa in E.

Fie A o submultime a lui E.

Definitia I.1.14 (punct interior)

Un punct x I A se numeste punct interior al multimii A, daca A este vecinatate a punctului x.

Definitia I.1.15 (interiorul multimii)

Se numeste interiorul lui A, notat Å sau IntA, multimea punctelor interioare lui A.

Å =

Definitia I.1.16 (punct exterior)

Un punct x I E se numeste punct exterior multimii A, daca x este punct interior pentru complementara multimii A.

Definitia I.1.17 (exteriorul multimii)

Se numeste exteriorul lui A, notat ExtA, multimea punctelor exterioare lui A.

ExtA=

Definitia I.1.18 (punct aderent)

Un punct x I E se numeste punct aderent al lui A, daca orice vecinatate a lui x are intersectia nevida cu A.

Definitia I.1.19 (aderenta multimii).

Se numeste aderenta lui A, notata A, multimea punctelor aderente lui A.

A =

Definitia I.1.20 (punct de acumulare)

Un punct x I E se numeste punct de acumulare al multimii A, daca este un punct aderent al multimii A

Definitia I.1.21 (multime derivata)

Se numeste multime derivata a lui A, notata A', multimea punctelor de acumulare ale lui A.

Definitia I.1.22 (punct frontiera)

Un punct x I E se numeste punct frontiera a lui A, daca x este punct aderent multimii A si complementarei lui A.

Definitia I.1.23 (frontiera multimii)

Se numeste frontiera lui A, notata FrA sau A, multimea:

FrA =

Definitia I.1.24 (punct izolat)

Un punct x I A se numeste punct izolat al multimii A, daca exista o vecinatate a lui x a carei intersectie cu multimea A este

Multimea punctelor izolate ale lui A se noteaza cu IzA.

IzA = { x I E / V I V(x), V A = }

Observatia I.1.25

In baza Propozitiei I.1.10 se pot obtine definitii echivalente daca se inlocuieste expresia "vecinatate a punctului x" cu "disc deschis de centru 0 si raza r".

Cu alte cuvinte, vecinatatile unui punct x I E pot fi privite ca discuri deschise de centru x.

Propozitia I.1.26

Fie (E,d) un spatiu metric. Pentru orice submultime A a lui E, au loc urmatoarele proprietati:

1 . Å Ì A

2 . ExtA = IntCA

. A Ì A

. A' Ì A

. FrA = E - (Å È ExtA)

. IzA = A- A'.

Demonstratie:

Rezulta imediat din definitiile anterioare.

Propozitia I.1.27. Intr-un spatiu metric (E,d), oricare doua puncte distincte admit vecinatati distincte.

Demonstratie:

Fie x,y I E, x ¹ y. Fie r = ½ d(x,y).

Atunci, discurile deschise D(x,r), D(y,r) sunt vecinatati disjuncte ale punctelor x,y.

Propozitia I.1.28

Intr-un spatiu metric (E,d), un punct x₀ I E este punct de acumulare al multimii A Ì E, daca si numai daca orice vecinatate a lui x₀ contine o infinitate de puncte din A.

Demonstratie:

Presupunem ca x₀ I A', dar ca exista totusi V₀ I V(x₀), care contine un numar finit de puncte din A, diferite de x_0.

Deoarece V₀ I V(x₀), exista un disc deschis     D(x₀,r) Ì V₀, care va contine de asemenea un numar finit de puncte din A, diferite de x₀.

Fie x₁,x₂, ., x_n aceste puncte.

Daca luam r' = min atunci discul deschis D(x₀,r') I V(x₀) nu contine nici un punct din A diferit de x₀, ceea ce contrazice ipoteza ca x₀ I A'.

Daca D(x₀,r) nu contine nici un punct din A, atunci x₀ Ï A' (contradictie).

Asadar, orice vecinatate a lui x₀ contine o infinitate de puncte din A.

Reciproc, este evident ca daca in orice vecinatate a lui x₀ se afla o infinitate de puncte din A, cel mult unul coincide cu x₀, iar celelalte sunt diferite de x₀.

Prin urmare, in orice vecinatate a lui x₀ exista puncte din A diferite de x₀, deci x₀ I A'.

Propozitia I.1.29

Fie (E,d) un spatiu metric si A Ì E. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

i) A I t (E,d)

ii) A = Å.

Demonstratie:

i)Þ ii) Presupunem ca A I (E,d), adica A este deschisa. Atunci, din definitia multimii deschise, rezulta ca A I V(x), x I A.

Conform definitiei punctului interior, x I Å,     x I A Þ A Ì Å. Cum si Å Ì A Þ A= Å.

ii) Þ i) Presupunem ca A = Å si fie x I A.   

Cum x I Å Þ A I V(x), x I A, deci A I (E,d).

Propozitia I.1.30

Fie (E,d) un spatiu metric si A Ì E. Atunci A =A È A'.

Demonstratie:

Din Propozitia I.1.26 se stie ca A Ì A si A'Ì A deci A È A'Ì A.

Fie x I A. Atunci V I V(x), V A ¹ Æ, daca x I A Þ x I A È A'.

Daca x Ï A Þ (V - } A ¹ Æ, adica x I A' si deci x I A È A'. Cum x este arbitrar din A Þ A Ì A È A.

Din cele doua incluziuni obtinem A = A È A'.

Propozitia I.1.31

Fie (E,d) un spatiu metric si A Ì E. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

i)      A este inchisa

ii)    A = A

iii)   A A'

iv)  A A.

Demonstratie:

i)Þ ii) Presupunem ca multimea A este inchisa. Atunci conform definitiei multimii inchise rezulta CA I t(E,d).

Va trebui sa demonstram ca A Ì A, cealalta incluziune fiind demonstrata in Propozitia I.1.26. Dar A Ì A Û CA Ì C A.

Fie x I CA, care este deschisa. Atunci,conform definitiei multimii deschise, CA I V(x). Insa CA A = Æ. Rezulta x Ï A, deci x I C A.

ii)Þ i) Presupunem ca A = A. Fie x I CA = CA. Atunci x Ï A, deci exista V₀ I V(x) cu proprietatea V₀ A = Æ Û V₀ Ì CA. Din Propozitia I.1.9. rezulta CA I V(x), xICA, deci    CA I t(E,d) , adica A este inchisa.

ii)Þ iii) Presupunem ca A = A. Din Propozitia I.1.30. rezulta ca A = A È A'Û A A'.

iii)Þ ii) Daca A' = A, atunci A = A È A'. Insa A = A È A', deci A = A.

iii)Þiv) Presupunem ca A' Ì A. Atunci A = A. Conform definitiei frontierei A = A , deci A = A .

Insa A È A = (A È A ) (A È ) = A E = A Û A Ì A.

iv) Þ iii) Presupunem ca A Ì A. Atunci :

A = A È A = A È (A ) = (A È A) (A È ) = A E = A = A È A',

deci A = A È A'Û A'Ì A.

Definitia I.1.32 (multime marginita)

Se spune ca o multime A Ì E este marginita, daca este o multime marginita in R.

A marginita Û l I R astfel incat x,y I A, d(x,y) £ l

Definitia I.1.33 (diametrul unei multimi)

Se numeste diametru al unei multimi A, marginea superioara a multimii .

d(A) = sup

Propozitia I.1.34

O multime A Ì E este marginita, daca si numai daca A este inclusa intr-un disc.

Demonstratie:

Presupunem ca A este o multime marginita si fie a I A. Pentru orice x I A, d(x, a) £ d(A).

Daca luam r = d(A) + e, cu e > 0, atunci A Ì D(a,r).

Reciproc, presupunem ca A Ì D(c,r).

Atunci, pentru orice x,y I A are loc: d(x, y) £ d(c, x) + d(c, y) < 2r, deci A este marginita.

Definitia I.1.35 (metrici echivalente)

Se spune ca doua metrici d₁, d₂, pe multimea E, sunt echivalente, daca exista l > 0 si m > 0, astfel incat:

l d₁(x,y) £ d₂(x,y) £ m d₁(x,y), x,y I E

Observatie I.1.36

Se demonstreaza ca notiunea de echivalenta a matricilor este o relatie de echivalenta in multimea matricilor pe E.

Definitia I.1.37 (metrici topologic echivalente)

Se spune ca doua metrici d₁, d₂, pe multimea E, sunt topologic echivalente, daca (E, d₁) si (E, d₂) au aceeasi topologie:

Observatie I.1.38

Se poate demonstra ca notiunea de echivalenta topologica a metricilor este o relatie de echivalenta in multimea metricilor pe E.

Propozitia I.1.39

Doua metrici echivalente sunt topologic echivalente.

Demonstratie:

Fie d₁, d₂ doua metrici echivalente pe multimea E. Atunci conform definitiei echivalentei a doua metrici, l > 0 si m > 0 astfel incat:

l d₁(x,y) £ d₂(x,y) £ m d₁(x,y), x,y I E

Aratam ca pentru orice a I E si r > 0, r₁ > 0 si r₂ > 0 astfel incat:

Intr-adevar, daca luam r₁ = r/m, atunci y I rezulta:

d₂(a,y) £ m d₁(a,y) < m r/m = r,

Daca luam r₂ = l r, atunci yI rezulta:

d₁(a,y) £ l d₂(a,y) < 1/l lr = r,

Observatia I.[P1] 

Reciproca propozitiei anterioare nu este adevarata. Intr-adevar, urmatorul exemplu arata acest fapt:

Fie (E,d) un spatiu metric si θ: R₊ R , definita prin θ(t) = ln(1+t/(1+t)).

Atunci:

a)      aplicatia d: ExE R, definita prin d = θ ◦ d, este o metrica pe E.

b)      metricile d si d sunt topologic echivalente.

c)      metricile d si d nu sunt echivalente, daca (E,d) este nemarginit.

Indicatie:

a) Pentru a demonstra inegalitatea triunghiului, ne folosim de faptul ca θ este o functie strict crescatoare si θ (a+b) £ θ (a) + θ (b).

Pentru a arata inegalitatea precedenta, observam ca θ = u ◦ v, unde:

u : R₊ R₊ este definita prin u(t) = t/(1 + t).

v : R₊ R₊ este definita prin v(t) = ln(1 + t).

Atunci:

θ (a+b) = (u ◦ v) (a + b) = v(u (a + b)) £ v(u (a) + u (b)) £ v(u (a) + v(u (b)) = θ (a) + θ (b).

b) Ne folosim de echivalenta d(x,x₀) < r Û d(x, x₀) < θ (r).

c) Deoarece 0 £ θ (t) £ ln2, t I R₊ , (E,d) este marginit si cum (E,d) este nemarginit, cele doua metrici nu pot fi echivalente.

Observatia I.1.41

Fie (E,d) un spatiu metric si A Ì E. Atunci:

a)      A este deschisa Û A A = Æ

b)      x₀ I E, d(x₀,A) = 0 Û x₀IA, unde d(x₀, A) = inf .

c)      Daca A este o multime marginita, atunci A este marginita si d(A) = d(A).

Demonstratie: Exercitiu.