FUNCTII - Exemple de functii elementare

FUNCTII

Prin functie (aplicatie) f definita pe multimea A cu valori in multimea B se intelege orice procedeu (lege sau conventie) prin care oricarui element x din A i se asociaza un unic element y notat cu f(x) din B.

       A - multimea pe care este definita functia sau domeniul de definitie al functiei;

       B - multimea in care ia valori functia sau domeniul valorilor functiei sau codomeniul functiei;

       f - lege sau procedeu sau conventie;

       f: AB sau A B sau xf(x) - "f definita pe A cu valori in B";

       xIA - variabila independenta sau argument;

       y=f(x)IB - imaginea lui x prin functia f sau valoarea lui f in x sau variabila dependenta;

       Im(f)= - imaginea functiei f.

Moduri de a defini o functie:

a)       sintetic - numind pentru fiecare element in parte din A elementul ce i se asociaza din multimea B;

b)       analitic - specificand o proprietate ce leaga elementul x din A de elementul y=f(x) din B.

Graficul unei functii: G_f=.

Tabel de valori:

Injectivitate: f injectiva sau injectie daca

1)       'x₁,x₂IA, xy T f(x₁)f(x₂); sau

2)       'x₁,x₂IA, f(x₁)= f(x₂) T x₁= x₂; sau

3)       orice paralela dusa la axa OX prin codomeniu intersecteaza graficul functiei in cel mult un punct.

Surjectivitate: f surjectiva sau surjectie daca

1)       'yIB $xIA astfel incat f(x)=y; sau

2)       orice paralela dusa la axa OX prin codomeniu intersecteaza graficul functiei in cel putin un punct.

Bijectivitate: f bijectiva sau bijectie daca

1)       injectiva + surjectiva; sau

2)       orice paralela dusa la axa OX prin codomeniu intersecteaza graficul functiei intr-un singur punct.

Compunerea functiilor:

       f: AB, g: BC, h: AC, h(x)=(g○f)(x)=g(f(x));

       f: AB, g: BC, h: CD T h○(g○f)=(h○g)○f.

Functii inversabile:

       f: AB, g: BA, (f○1_A)(x)=f(x) si (1_A○g)(x)=g(x);

       f: AB - inversabila daca $ g: BA astfel incat (f○g)(x)=1_B(x) si (g○f)(x)=1_A(x);

       f inversabila f bijectiva;

       g(x)=f ^-1(x);

       graficele functiilor f si f ^-1 sunt simetrice fata de prima bisectoare y=x.

Functii pare si impare:

       f para daca f(-x)=f(x), are graficul simetric fata de axa OY;

       f impara daca f(-x)=-f(x), are graficul simetric fata de origine.

Functii periodice: f: A|R, A|R

       f periodica daca $T>0 astfel incat 'xIA f(x+T)=f(x) si x+TIA;

       T este perioada lui f;

       cel mai mic T este perioada principala.

Restrictia unei functii: f: AB, CA este functia f_C: CB astfel incat f_C(x)=f(x).

Functii egale: f₁ : A₁ B₁ , f₂ : A₂ B₂ se numesc egale daca : A₁= A₂ , B₁=B₂, si 'xI A₁ f₁(x)= f₂(x).

Functii monotone: f: AB, 'x₁,x₂IA

       f strict crescatoare pe A (x₁<x₂ T f(x₁)<f(x₂));

       f strict descrescatoare pe A (x₁<x₂ T f(x₁)>f(x₂));

       f strict monotona pe A daca f este strict crescatoare sau strict descrescatoare pe A;

       f crescatoare pe A (x₁x₂ T f(x₁) f(x₂));

       f descrescatoare pe A (x₁x₂ T f(x₁) f(x₂));

       f monotona pe A daca f este crescatoare sau descrescatoare pe A;

       x₁<x₂ , R(x₁,x₂)= - rata cresterii (descresterii) functiei f.

Exemple de functii elementare:

1)       f: A|R, A|R, 'xIA f(x)=0 - functia nula;

2)       1_A:AA, 'xIA 1_A(x)=x - functia identica;

3)       f: |R|R, f(x)=a, aI|R - functia constanta;

4)       f: |R|R, f(x)=|x |= - functia modul;

5)       f: |R|R, f(x)=ax+b, a, bI|R, a0 - functia de gradul intai;

6)       f: |R|R, f(x)=ax²+bx+c, a, b, cI|R, a0 - functia de gradul al doilea;

7)       f: |R-|R, f(x)=, P(x), Q(x)I|R[x] polinoame - functia rationala;

8)       f: |R ₊|R ₊, f(x)= sau f: |R |R, f(x)= - functia radical;

9)       f: (0, )(0, ), f(x)=x ⁿ, nI|R - functia putere;

10)   f: |R(0, ), f(x)=a ^x, a>0, a1, aI|R - functia exponentiala;

11)   f: (0, )|R, f(x)=log_ax , a>0, a1, aI|R - functia logaritmica;

12)   f: |R[-1, 1], f(x)=sin x (restrictia f: [-, ][-1, 1]) - functia sinus;

13)   f: [-1, 1] [-, ], f(x)=arcsin x - functia arcsinus;

14)   f: |R[-1, 1], f(x)=cos x (restrictia f: [0,p][-1, 1]) - functia cosinus;

15)   f: [-1, 1] [0, p], f(x)=arcosin x - functia arcosinus;

16)   f: |R-|R, f(x)=tg x (restrictia f: (-, )|R) - functia tangenta;

17)   f: |R (-, ), f(x)=arctg x - functia arctangenta;

18)   f: |R-|R, f(x)=ctg x (restrictia f: (0,p)|R) - functia cotangenta;

19)   f: |R (0, p), f(x)=arcctg x - functia arccotangenta;

20)   f:|R, f(x)=sign(x)=- functia signum (semn);

21)   f:|R, f(x)=- functia lui Heaviside (treapta unitate);

22)   f:|RZ, f(x)=[x]= - functia parte intreaga;

23)   f:|R[0, 1)Z, f(x)=x-[x] - functia parte zecimala;

24)   f:|R|R, f(x)=sh x= - functia sinus hiperbolic;

25)   f:|R|R, f(x)=ch x= - functia cosinus hiperbolic;

26)   f:|R|R, f(x)=th x= - functia tangenta hiperbolica;

27)   f:|R|R, f(x)=cth x= - functia cotangenta hiperbolica;