Exercitii si probleme propuse - Probabilitati

Exercitii si probleme propuse

1. Se aruncǎ o monedǎ de patru ori. Fie evenimentul ca marca sǎ aparǎ de douǎ ori, evenimentul ca marca sǎ aparǎ cel puti o datǎ, evenimentul ca marca sǎ aparǎ la aruncarea a doua. Sǎ se determine:

a)      spatiul al probelor,

b)      probele care favorizeazǎ respectiv aparitiile evenimentelor , si ,

c)      evenimentele , , , , , , , , , , , , , , ,

d)      probabilitǎtile evenimentelor de la punctele precedente.

Rǎspunsuri.a) ; d)

2. Un client cumpǎrǎ dintr-un magazin patru articole de imbrǎcǎminte. Fie , , , respectiv evenimentele ca primul, al doilea, al treilea si al patrulea articol sǎ nu continǎ defectiuni. Sǎ se exprime cu ajutorul acestor evenimente, urmǎtoarele evenimente:

a)      nici un articol nu prezintǎ defectiuni,

b)      cel putin un articol prezintǎ defectiuni,

c)      exact un articol prezintǎ defectiuni,

d)      exact douǎ articole prezintǎ defectiuni,

e)      cel mult douǎ articole prezintǎ defectiuni.

Rǎspunsuri. a) ; b) ;

c) ;

d)

e)

3. Un lacǎt are un cifru format din patru cifre. Sǎ se calculeze pobabilitatea de a ghici cifrul lacǎtului dacǎ:

a)      lacǎtul functioneazǎ perfect,

b)      ultima cifrǎ, din cauza unei defectiuni nu trebuie sǎ coincidǎ cu ultima cifrǎ a combinatiei considerate,

c)      prima si ultima cifrǎ nu trebuie sǎ coincidǎ cu prima respectiv ultima cifrǎ a combinatiei considerate.

Rǎspunsuri. a) ; b) ; c) .

4. La o conferintǎ de presǎ participǎ 7 ziaristi strǎini si 17 ziaristi autohtoni(8 femei si 9 bǎrbati). stiind cǎ la conferinta de presǎ vor pune intrebǎri 6 ziaristi luati la intamplare din cei 24 prezenti, se cere probabilitatea ca intrebǎrile sǎ fie puse de:

a)      2 ziaristi strǎini si 4 autohtoni;

b)      2 ziaristi strǎini si 4 autohtoni(2 femei si 2 bǎrbati);

c)      1 ziarist strǎin si 5 autohtoni (2 femei si 3 bǎrbǎti).

Rǎspunsuri. a) ; b) ; c) .

5. Piesele produse de o masinǎ prezintǎ rebut in procente 2%. Pentru controlul calitǎtii produselor, se iau la intǎmplare 10 piese. Sǎ se calculeze probabilitatea ca:

a)      nici o piesǎ sǎ nu fie defectǎ,

b)      cel mult douǎ piese sǎ fie defecte.

Rǎspunsuri. a)

b)

6. Se stie cǎ un magazin de cosmetice are acelasi numǎr de clienti bǎrbati, respectiv femee. Se considerǎ primii 12 clienti ai magazinului dintr-o zi fixatǎ. Sǎ se calculeze probabilitatea ca 12 dintre cei 12 clienti:

a)      patru sǎ fie femei,

b)      sǎ fie cel mult patru femei.

Rǎspunsuri. a);

b).

Se aruncǎ un zar de 15 ori. Sǎ se calculeze probabilitatea ca de 5 ori sǎ aparǎ numǎr prim, de 8 ori sǎ aparǎ numǎr compus si de 2 ori sǎ aparǎ fata cu un punct.

Rǎspuns. .

8. La o loterie s-au vandut 85 bilete loto, din care o persoanǎ a cumpǎrat 10 bilete. Stiind cǎ din cele 85 bilete trei sunt castigǎtoare, sǎ se calculeze probabilitatea ca persoana care a cumpǎrat cele 10 bilete:

a)      sǎ nu fi castigat,

b)      sǎ aibǎ un bilet castigǎtor,

c)      sǎ aibǎ cel putin un bilet castigǎtor.

Rǎspunsuri. a); b)

c)

9. Intr-un magazin cu autoservire, pe un raft se aflǎ cate 10 ciocolate care costǎ respectiv 1 mie lei, 3 mii de lei, 5 mii de lei si 10 mii de lei. O persoanǎ ia la intamplare 5 ciocolate. Sǎ se determine probabilitatea ca suma plǎtitǎ sǎ fie 25 mii de lei.

Rǎspuns. .

10. Se aruncǎ cinci zaruri, dintre care unul are o fatǎ coloratǎ in alb si celelalte in negru, altul are douǎ fete colorate in alb si celelalte in negru, altul are trei fete colorate In alb si celelalte in negru, altul are patru fete colorate in alb si celelalte in negru, iar altul are cinci fete colorate in alb si celelalte in negru. Sǎ se calculeze probabilitatea:

a)      sǎ se obtinǎ pe trei din cele cinci zaruri culoarea albǎ,

b)      sǎ se obtinǎ cel putin pe douǎ zaruri culoarea albǎ.

Rǎspunsuri. a) ;

b) , unde si , .

11. Se stie cǎ 3 din patru clienti care intrǎ intr-o unitate alimentarǎ fac cumpǎrǎturi de la unitatea respectivǎ. Sǎ se calculeze probabilitatea ca:

a)      primul cumpǎrǎtor sǎ aparǎ dupǎ trei clienti carea au pǎrǎsit magazinul fǎrǎ sǎ cumpere nimic din unitatea respectivǎ,

b)      panǎ la al doilea cumpǎrǎtor doi clienti sǎ nu fi efectuat cumpǎrǎturi.

Rǎspunsuri. a); b) .

12. Zece aparate de acelasi tip sunt date in folosinta , trei provenind de la unitatea , cinci de la unitatea , iar douǎ de la unitatea . Se supun aceste aparate unei probe de verificare. Cele care provin de la unitatea trec proba cu probabilitate de 0,9, cele de la cu probabilitatea 0,75, iar cele de la cu probabilitatea 0,85. Se ia un aparat la intamplare si se cere probabilitatea ca:

a)      aparatul sǎ treacǎ proba de verificare,

b)      aparatul sǎ provinǎ de la unitatea dacǎ se stie cǎ a trecut proba de verificare.

Rǎspunsuri. a) ; .

13. Consumul zilnic de energie electricǎ intr-o unitate comercialǎ este normal cu probabilitatea . Fie numǎrul zilelor din sǎptǎmanǎ cand consumul este normal. Sǎ se scrie distributia variabilei aleatoare

Rǎspuns.

14. Se aruncǎ o monedǎ de trei ori. Se noteazǎ cu si respectiv numǎrul aparitiilor mǎrcii in cele trei aruncǎri si numǎrul de mǎrci consecutive apǎrute in cele trei aruncǎri. Sǎ se scrie distributiile:

a)    variabilelor aleatoare si ,

b)    vectorului aleator ,

c)    variabilelor aleatoare si .

Rǎspunsuri. a) respectiv

b)

c)

15. La o librǎrie s-au primit 10 exemplare dintr-o carte, din care 4 prezintǎ mici defectiuni. Trei cumpǎrǎtori iau la intamplare cate o carte din cele 10. Fie numǎrul cǎrtilor cu defectiuni vandute celor trei cumpǎrǎtori. Sǎ se scrie distributia variabilei aleatoare si functia de repartitie corespunzǎtoare variabilei aleatoare , iar apoi sǎ se reprezinte grafic functia de repartitie.

Rǎspuns. Legea hipergeometricǎ:

16. O persoanǎ cumpǎrǎ pe rand bilete loz in plic panǎ cand obtine un bilet castigǎtor. Stiind cǎ un bilet este castigǎtor cu probabilitatea si notand cu numǎrul biletelor necastigǎtoare cumpǎrate, sǎ se scrie distributia variabilei aleatoare si functia repartitie atasatǎ variabilei aleatoare .

Rǎspuns.

1 Variabila aleatoare de tip continuu are densitatea de probabilitate

unde este o constantǎ realǎ. Sǎ se determine:

a)      constanta realǎ ,

b)      functia de repartitie corespunzǎtoare,

c)      probabilitǎtile si

Rǎspunsuri. a); b)

c)

18. Se considerǎ vectorul aleator cu densitatea de probabilitate

Sǎ se determine:

a)      constanta realǎ

b)      densitǎtile de probabilitate si respectiv pentru variabilele aleatoare si

c)      probabilitǎtile si

Rǎspunsuri. a)

b)

c)

19. Variabila aleatoare urmeazǎ legea normalǎ Sǎ se determine densitǎtile de probabilitate respectiv variabilele aleatoare si

Rǎspuns.

20. O persoanǎ doreste sǎ deschidǎ un lacǎt si are chei, dintre care numai una se potriveste. Pentru aceasta, incearcǎ la intamplare deschiderea lacǎtului cu aceste chei. Fie numǎrul de incercǎri efectuate pentru deschiderea lacǎtului. Sǎ se scrie distributia variabilei aleatoare , iar apoi sǎ se calculeze valoarea medie si dispersia variabilei aleatoare , dacǎ:

a)      cheile incercate se pun impreunǎ cu celelalte,

b)      cheile incercate se inlǎturǎ.

Rǎspunsuri. a)

b)

21. La patru unitǎti alimentare din oras se poate gǎsi zilnic paine proaspǎtǎ cu probabilitǎtile , , si respectiv Fie numǎrul unitǎtilor alimentare din cele patru la care se gǎseste paine proaspǎtǎ intr-o zi fixatǎ. Sǎ se determine:

a)      distributia variabilei aleatoare ,

b)      valoarea medie, dispersia, abaterea medie pǎtraticǎ, mediana si modul variabilei aleatoare .

Rǎspunsuri. a)

b)

22. Fie coordonatele unui punct luminos ce reprezintǎ o tintǎ pe un ecran radar circular si care urmeazǎ legea uniformǎ pe domeniul Sǎ se determine valoarea medie si dispersia distantei de la centrul ecranului panǎ punctul luminos.

Rǎpuns.

23. Variabila aleatoare urmeazǎ legea beta. Sǎ se calculeze momentele initiale, iar apoi valoarea medie, dispersia si abaterea medie pǎtraticǎ a variabilei aleatoare .

Rǎspuns.

24. Fie punctul fixat si punctul aleator care urmeazǎ legea uniformǎ pe intervalul Sǎ se determine corelatia dintre si distanta de la la , iar apoi sǎ se determine valoarea lui pentru care variabilele aleatoare si sunt necorelate.

Rǎspuns.

25. Folosind inegalitatea lui Cebisev, sǎ se arate cǎ

dacǎ variabila aleatoare are densitatea de probabilitate

Rǎspuns.

26. Probabilitatea ca o persoanǎ sǎ gǎseascǎ loc la un hotel este In decursul unei luni de zile, la hotelul respectiv s-au prezentat 4000 de persoane. Fie numǎrul persoanelor care au gǎsit loc la hotel din totalul de 4000. Sǎ se determine probabilitatea ca:

a)      numǎrul persoanelor care au gǎsit loc la hotel sǎ fie cuprins intre 3000 si 3400,

b)      numǎrul persoanelor care au gǎsit loc la hotel sǎ nu depǎseascǎ pe 3000,

c)      numǎrul persoanelor care nu au gǎsit loc la hotel sǎ fie mai mic decat 500.

Rǎspunsuri. a) (inegalitatea lui Cebisev), (teorema lui Moivre-Laplace); b) (teorema Moivre-Laplace); c) (teorema Moivre-Laplace).

2 Probabilitatea ca o persoanǎ sǎ fie admisǎ la examenul de sofer amator este Intr-o lunǎ se prezintǎ un numǎr de candidati la acest examen. Sǎ se determine numǎrul astfel incat sǎ putem afirma cu o probabilitate de cel putin 0,95 cǎ frecventa relativǎ a promovatilor sǎ se abatǎ de la probabilitatea mai putin de 0,01, utilizand atat inegalitatea lui Cebisev, cat si teorema Moivre-Laplace.

Rǎspuns. (inegalitatea lui Cebisev), (teorema Moivre-Laplace).

28. Probabilitatea ca o piesǎ luatǎ la intamplare sǎ fie defectǎ este Sunt testate 100 de piese. Sǎ se evalueze probabilitatea ca:

a)      cel putin 5 piese sǎ fie defecte,

b)      mai putin de 5 piese sǎ fie defecte,

c)      numǎrul pieselor defecte sǎ fie cuprins intre 5 si 10.

Rǎspunsuri. a) (teorema Moivre-Laplace);

b) (teorema Moivre-Laplace);

c) (teorema Moivre-Laplace).

29. Probabilitatea ca o piesǎ luatǎ la intamplare sǎ fie defectǎ este Un lot de piese este respins dacǎ contine cel putin 10 piese defecte. Sǎ se determine numǎrul de piese ce trebuie testate pentru ca un lot sǎ fie respins cu probabilitatea 0,8

Rǎspuns. (teorema Moivre-Laplace).

30. Sǎ se arate cǎ sirul de variabile aleatoare independente, care au distributiile

urmeazǎ legea numerelor mari.

Rǎspuns. Se aplicǎ teorema lui Markov.