Functia de gradul al doilea

Functia de gradul al doilea

Functia se numeste functia de gradul al doilea (sau functia patratica) cu coeficienti a,b,c. Mentionam ca ecuatia de gradul al II -lea s-a rezolvat in gimnaziu.

Sa se determine functia

Conditiile date conduc la sistemul de ecuatii: Monotonia functiei de gradul al doilea

Functia , daca a>0 atunci functia este strict descrescatoare pe si strict crescatoare pe

Tabelul de variatie al functiei este

V_min

Daca a<0 este strict crescatoare pe si strict descrescatoare pe

Forma canonica a functiei de gradul al doilea:

Exemplu:

a)      Sa se scrie functia de gradul doi sub forma canonica si sa se deduca valoarea extrema a functiei in cazurile:

Rezolvare:

b)

Daca a=1>0, f are un minim V_min X_min=-;

Y_min=-;

La fel pentru a) si c).

Graficul functiei de gradul al doilea

Graficul functiei de gradul al doilea se numeste parabola.

Cuplul si este tocmai varful parabolei.

Sa se reprezinte grafic functia:

Etape: a) Intersectia cu axele de coordonate:

Int. cu

Int. cu

b)      Daca a>0f. are un minim.

V_min X_min=-; Y_min=-; V_min

c)      Tabel de valori

d) Graficul - trasarea lui . De retinut axa de simetrie este

Sa se traseze graficul urmatoarelor functii:

;

Functiei de gradul doi I se ataseaza ecuatia de gradul II

Cu radacinile (distincte sau nu)

Relatiile lui Viete (relatiile intre radacini si coeficienti)

, S= suma radacinilor

, P=produsul radacinilor

Se demonstreaza ca si ;

Exemplu : Sa se determine parametrul m daca intre radacinile ecuatiei

exista relatia Se ataseaza sistemul:

inlocuim in a treia ecuatie si obtinem 8m²-m+11=0, care nu are radacini reale

Semnul functiei de gradul doi f(x)=,

Daca atunci si semnul este dat de tabelul

2) Daca , atunci si semnul este dat in tabelul

3) Daca atunci , semnul

Aplicatii: Rezolvare de inecuatii:

a)

Rezolvam b) atasam ecuatia o rezovam

Rezolvarea sistemelor simetrice de forma

Atunci ecuatia in suma si produs este

Exemple:

atunci care dau tocmai solutia sistemului (2, 5) si (5, 2)

Rezolvarea sistemelor formate dintr-o ecuatie de gradul I si o ecuatie de gradul 2 sau intersectia dintre o dreapta si o parabola , de forma

Exemplu:

Sa se rezolve sistemele: 1) 2) 3)

Test de evaluare:

1. Sa se determine functia daca punctele A(4,0), B(2,0), C(5,12) apartin graficului functiei.
2. Sa se determine parametrul m incat intre radacinile x₁ si x₂ ale ecuatiei sa existe relatia
3. Sa se rezolve inecuatia:
4. Sa se determine semnul expresiei :   
5. Rezolvati sistemul simetric:
6. Reprezentati grafic functia: