Functii

Functii

1 Functii.

Fie A, B doua multimi oarecare. O functie definita pe A cu valori in B este o relatie unara pe A B ( adica G A B) cu proprietatea ca pentru orice xIA exista un element yIB si numai unul, astfel incat (x, y)IG. Vom nota o functie G A B prin f : A B, simbolul f avand semnificatia urmatoare: fiecarui element xIA ii corespunde un singur element f(x)IB astfel incat (x, f(x))I, multime ce poarta denumirea si de graficul functiei.

A se numeste domeniul de definitie al functiei f : A B si B se numeste domeniul valorilor lui f.

Date fiind functiile f : A B si g : B C, prin compunerea lor se intelege functia
g o f : A C, definita de (gof )(x) = g( f(x)), pentru orice xIA

A f B

h gof g

C

Compunerea functiilor este asociativa: pentru functiile f : A B, g : B C, h : C D, avem relatia h o (g o f) = (h o g o f

Pentru orice multime A, functia identica 1_A : A A este definita de 1_A(x) = x, pentru orice xIA

Functia f : A B este injectiva daca pentru orice x, yIA, avem:

f x) = f(y) T x = y.

Evident aceasta relatie este echivalenta cu

x y f(x) f(y)

Observatie: Functia f : A B este injectiva daca orice paralela la axa Ox intersecteaza graficul functiei in cel mult un punct.

Pentru a arata ca o functie este injectiva din relatia f(x ) = f(x ) se deduce x = x daca f este injectiva.

Functia f : A B este surjectiva daca pentru orice yIB, exista xIA, astfel incat f(x) = y.

Observatie: Functia f : A B este surjectiva daca orice paralela la axa Ox intersecteaza graficul functiei in cel putin un punct.

Pentru a arata ca o functie f : A B este surjectiva se rezolva ecuatia f(x) = y in functie de x si se obtine x =g(y). Daca pentru orice yIB rezulta ca x=g(y)IA, atunci f este surjectiva.

O functie injectiva si surjectiva se numeste bijectiva.

Observatie: Functia f : A B este bijectiva daca orice paralela la axa Ox intersecteaza graficul functiei intr-un singur punct.

Pentru aceste trei categorii de functii se folosesc si denumirile: injectie, surjectie si bijectie.

O functie f : A B este inversabila, daca exista o functie g : B A cu proprietatile
gof = 1_A si fog = 1_B.

Functia g : B A cu aceste proprietati se numeste inversa lui f si se noteaza f ^-1. Deci avem relatiile

f ^-1o f = 1_A, f o f = 1_B

Deci (f ^-1o f x = f ^-1(f(x)) = f ^-1(y) = x =1_A(x) si (f o f )(y) = f ( f ^-1 (y)) = f (x) = y =1_B(y)

Pentru a calcula inversa f ^-1 a lui f se procedeaza in felul urmator. Se rezolva ecuatia si se obtine . Pentru se alege dintre solutiile aceea pentru care si atunci f ^-1 (x) = g(x).

Exemplu: Fie f bijectiva si atunci din se obtine .

Observatie: Orice functie bijectiva admite o inversa.

Exermple de modalitati de a descrie o functie

a) Fie diagrama:

Multimea A Multimea B

Atunci functia corespunzatoare acestei diagrame, notata f : A B, este exprimata astfel:

Aceasta functie este injectiva dar nu si surjectiva.

b) O functie poate fi definita printr-o expresie analitica (aritmetica, de obicei), ca in exemplul:

f : A B, f(x)=x² +1, oricare ar fi .

Imaginea unei functii

Fie f : A B. Atunci definim imaginea lui f , notata Im f , ca fiind:

.

Proprietati ale functiilor numerice

a) Marginire:

f este marginita daca oricare ar fi exista , astfel incat

sau

f este marginita daca oricare ar fi exista , astfel incat .

b) Paritate si imparitate.

f este para daca . In acest caz graficul functiei f     este simetric fata de axa Oy.

f este impara daca. In acest caz graficul functiei f     este simetric fata de origine.

c Periodicitate

f este periodica, cu perioada , daca .

d) Monotonia unei functii.

f este crescatoare (respectiv strict crescatoare), si se mai noteaza f , daca oricare ar fi rezulta ca .

f este descrescatoare (respectiv strict descrescatoare), si se mai noteaza f , daca oricare ar fi rezulta ca .

f este monotona (respectiv strict monotona) daca f este crescatoare (respectiv strict crescatoare) sau f este descrescatoare (respectiv strict descrescatoare).

Observatie. Monotonia unei functii se poate studia in felul urmator:

Pentru se studiaza semnul expresiei si daca atunci f este crescatoare (respectiv strict crescatoare) iar daca atunci f este descrescatoare (respectiv strict descrescatoare).

Facem precizarea ca monotonia unei functii poate fi studiata relativ usor cu ajutorul semnului derivatei a intaia a functiei.

2 Functii definite pe multimea numerelor naturale (siruri de numere reale).

Modalitati de a definii un sir

Fie f o functie definita pe multimea numerelor naturale cu valori in multimea numerelor reale t, deci . O astfel de functie se numeste sir de numere reale si in loc de notatia specifica functiilor expresie arirmetica se foloseste notatia expresie arirmetica sau expresie arirmetica, etc.

Spre exemplu, oricare ar fi este un sir de numere reale. se numeste termenul general al sirului si prin atribuirea de valori lui se obtin termenii sirului: , , .., etc.

Sirurile se vor studia in detaliu la analiza matematica, dar si in capitolul privitor la progresii.