Rezolventa

Rezolventa

1. Vom continua aici studiul ecuatiei

    (1)

totusi spre deosebire de paragraful precedent ne va interesa acum cazul in care ea admite o solutie unica.

Fie o valoare nesingulara a operatorului U. Operatorul definit din relatia

    (2)

se numeste rezolventa operatorului U. Pentru vom pune

Daca se are in vedere spectrul si respectiv multimea valorilor regulate atunci in locul lui este mai comod sa se considere operatorul

    (3)

care are sens pentru toate valorile regulate ale operatorului U. Operatorul va fi numit tot rezolvanta. Pericolul de confuzie a celor doua notiuni este exlus deoarece va fi intotdeauna clar din context despre care dintre rezolvante este vorba; in afara de aceasta cele doua rezolvante pot fi distinse prin faptul ca sunt notate in mod diferit. Sa remarcam ca rezolvanta se intalneste adesea in teoria ecuatiilor integrale , unde este numita rezolvanta Freedholm pe cand in teoria in analiza functionala prin rezolvanta se intelege de obicei .

Daca evident

   

Invers din egalitatea

obtinem

Prin urmare pentru

Relatiile (4) si (6) permit reformularea pentru a tuturor propozitiilor demonstrate pentru si reciproc

2. Sa studiem comportarea rezolvantei pentru mici. Sa consideram seria

Daca seria converge in spatiul de operatori B (X,X) atunci conform observatiei la teorema lui Banach suma ei este adica

de unde ca urmare a relatiei (5)

Aceasta formula are loc pentru acele valori ale lui pentru care seria (7) converge daca

si diverge daca

Ajungem astfel la teorema urmatoare.

Teorema 1. Rezolvanta admite dezvoltarea (8) in serie dupa puterile lui a carei raza de convergenta este

Daca trecem cu ajutorul relatiilor (4) de la rezolvanta la rezolvanta obtinem :

Corolar. Rezolvanta admite dezvoltarea in serie dupa puterile lui

3. Raza de convergenta a seriei (8) poate fi exprinata si in functie de localizarea multimii caracteristice in planul complex.

Vom demonstra mai intai doua propozitii ajutatoare.

Lema 1. Pentru orice are loc egalitatea

Demonstratie. Din relatia (5) avem

Inmultind la dreapta aceasta egalitate cu si apoi la stanga cu obtinem

si prin urmare

ceea ce trebuie demonstrat.

Corolar. Operatorii comuta, adica

Se demonstreaza analog ca pentru toti

Lema 2. Rezolvanta este functie continua de parametrul in orice punct al multimii adica daca atunci

Demonstratie. Vom demonstra intai ca functia reala este continua pe . Daca U =0, atunci si afirmatia este demonstrata. Daca atunci ceea ce permite demonstrarea continuitatii functiei .

Din (9) obtinem

Prin urmare

de unde obtinem rezultatul dorit.

Sa stabilim acum continuitatra lui . Deoarece multimea este deschisa , iar exista un disc continut in intregime in . Functia continua este marginita pe acest disc, fie de exemplu

Conform relatiilor (9) si (10) ,

lema este astfel demonstrata.

Teorema 2. Raza de convergenta r a seriei (8) este egala cu distanta de la punctul la multimea caracteristica

Demonstratie. In primul rand, deoarece discul converge si prin urmare , pentru acesti rezolvanta exista, discul respectiv este continut in multimea valorilor nesingulare. De aceea

Sa luam acum un element arbitrar si o functie arbitrara si sa consideram functia de variabila complexa

Sa demonstram ca este regulata pe multimea . Intradevar daca atunci in virtutea relatiei (9)

Cand membrul drept are limita . Astfel exista derivata continua

Sa dezvoltam functia in seria Taylor in vecinatatea punctului

Aceasta dezvoltare are sens in orice disc care nu contine puncte singulare ale lui si deci cu atat mai mult in discul Deoarece in virtutea relatiei (8)

In plus ca urmare a cunoscutei teoreme din teoria functiilor de variabila complexa , seriile coincid astfel incat seria (12) converge pentru

Sa luam arbitrar. Din convergenta seriei (12) pentru rezulta ca

si prin urmare , deoarece f este arbitrara

Dar un sir slab convergent este marginit (VIII.1.1.)

Deoarece aceasta inegalitate este indeplinita pentru orice iar spatiul X este complet, atunci conform teoremei VII.1.1,

De aceea

si

Deoarece poate fi luata arbitrar de aproape de . Tinand seama si de inegalitatea , demonstrata mai sus obtinem de aici ceea ce trebuie demonstrat

Observatia 1. Fie o valoare nesingulara a operatorului U. Ca si mai sus se poate observa dezvoltarea

care are loc in discul unde este distanta de la punctul pana la multime caracteristica sau, ca si in teorema 1

Inlocuind rezolvanta prin rezolvanta obtinem urmatorul rezultat.

Corolar 1 . Dezvoltarea

are loc pentru este raza celui mai mic disc cu centrul in origine care contine in intregime spectrul.

Numarul 1 r se numeste raza spectrala a operatorului U.

Observatia 2. Daca U este un operator autodjunct in spatiul Hilbert atunci conform punctului IX.5.3. Impreuna cu rezultatul corolarului la teorema 1 aceasta ne conduce la relatia interesanta

Corolar 2. Spectrul al unui operator liniar continuu U intr-un spatiul Banach complex, nevid.

Demonstratie. Daca atunci luand in considerare legatura intre obtinem ca multimea a valorilor nesingulare este intreg planul complex. Deoarece putem considera avem pentru orice operatorul . Fie Sa luam .

Analog cu demonstratia teoremei 2 obtinem functia

este regulata in tot planul complex

Deoarece continuu de unde obtinem ca in lema 2 ca pentru Pr in urmare in virtutea relatiei (6),

Asadar este marginita, de unde conform teoriei lui Liouville este identic egala cu o constanta care evident nu poate fi decat zero. Totusi Contradictia obtinuta demonstreaza corolarul.

Sa remarcam ca daca am fi incercat sa definim spectrul unui operator U intr-un spatiu real intr-un mod analog celui folosit la punctul 3.1. spectrul ar fi putut fi multimea vida. Aceasta este principala cauza pentru care consideram cazul complex.

Sa aplica rezultatul demonstrat la studiul convergentei metodei aproximatiilor succesive pentru ecuatia

    (15)

Dupa cum s-a aratat in sectiunea V.5.1. convergenta seriei

    (16)

asigura convergenta metodei aproximatiilor succesive pentru orice aproximatie initiala cu care se incepe procesul de aproximare succesiva. Punand in relatia (14) ajungem la urmatorul criteriu de convergenta a metodei aproximatiilor succesive pentru relatia (15)

Teorema 3. Daca spectrul operatorului U se afla in discul atunci metoda aproximarilor succesive pentru ecuatia (15) converge pentru orice si orice aproximare initiala Daca insa exista puncte de spectru in afara discului atunci exista o multime reziduala astfel incat pentru procesul de aproximatii succesive pentru ecuatia (15) incepe de la O, diverge

Avem de demonstrat doar partea a doua a teoremei. Sa observam ca in acest caz

si ca urmare a observatiei la teorema VII.1.1

    (17)

pentru toti cu exceptia poate, doar a unei multimi G de prima categorie in X. Dar convergenta procesului de aprximatii succesive inceput de la este echivalenta cu convergenta seriei

iar conform relatiei (17) aceasta serie diverge daca

Observatia 1. Daca operatorul U este astfel incat toate punctele diferite de O ale spectrului sau sunt valori proprii atunci teorema poate fi data intr-o forma mai precisa. Anume in acest caz , pentru convergenta metodei aproximatiilor succesive este necesar si suficient ca toate valorile proprii ale operatorului U sa se afle in discul

Intradevar conform teoremei demonstrate , daca metoda aproximatiilor succesive converge, spectrul operatorului U se afla in discul . Daca presupunem ca exista o valoare proprie pe cercul atunci punand in ecuatia (15) unde este un vector propriu corespunzator valorii proprii si alegand abtinem urmatoarea expresie pentru aproximatia de ordin n

care nu are limita.

Observatia 2. Rezultatul teoremei si observatiei 1 se simplifica considerabil daca operatorul U din ecuatia (15) este operator autoadjunct intr-un spatiu Hilbert. Tinand cont de observatia 2 din sectiunea 3. avem in acest caz : pentru convergenta metodei aproximarilor succesive pentru ecuatia (15) este suficient ca Daca toate punctele diferite de zero ale spectrului sunt valori proprii, atunci aceasta conditie este si necesara.

Sa reformulam teorema 3 in termeni de multime caracteristica.

Teorema Daca multimea caracteristica a operatorului U se afla in discul metoda aproximarilor succesive pentru ecuatia (15) converge spre orice si orice aproximatie initiala Daca in discul se gasesc puncte ale multimii caracteristice , atunci exista a multime reziduala astfel incat daca procesul de aproximare succesiva inceput de la diverge. In legatura cu aceasta teorema se pot face observatii analoage observatiilor 1. 2

5. Daca U este un operator compact , atunci rezultatelor teoremelor 1 si 2 li se adauga fapte mai fine , relative la comportarea rezolvantei in vecinatatea unor valori caracteristice.

Un operator liniar continuu V va fi numit finit-dimensional daca el aplica spatiului X intr-un subspatiu finit-dimensional Sa alegem in un sistem complet de elemente liniar independente Prin definitie , pentru arbitrar

Coeficientii depind evident de x. Punand ne convingem ca functionalele sunt liniare si continue.: liniaritatea nu ridica nici un dubiu iar continuitatea rezulta din faptul ca daca un sir de elemente ale unui spatiu normat finit-dimensional converge catre zero atunci si fiecare coordonata tinde catre zero.

Obtinem astfel

    (18)

Reciproc orice operator V reprezentabil sub forma (18) va fi desigur finit-dimensional.

Sa remarcam ca un operator finit-dimensional este in mod necesar compact.

Sa consideram acum un operator finit compact U si fie o valoare caracteristica a sa. Este variabila :

Teorema Operatorul U poate fi reprezentat sub forma

unde este un operator finit-dimensional, este compact iar multimea caracteristica a operatorului se compune doar din punctul pe cand multime caracteristica a lui se obtine prin inlaturarea punctului din multimea caracteristica a lui U.

punerea operatorului U in suma indicata in teorema 1.1. indeplineste conditiile date.

Vom folosi notatiile din teorema 1.1. Sa verificam ca operatorul are unica valoare caracteristica Intradevar daca si prin urmare , pe baza definitiei operatorului

si este valoarea caracteristica a operatorului

Daca

pentru un atunci deoarece vom avea si prin urmare astfel ca dar

In virtutea egalitatii (19)

ceea ce este posibildoar pentru

Astfel unica valoare caracteristica a operatorului este

Sa demonstram acum afirmatia teorema asupra multimii caracteristice operatorului

Deoarece conform teoremei 1.1. operatorul are invers 1 nu este valoarea caracteristica a operatorului Fie o valoare catacteristica a operatorului U si un vector propriu corespunzator . Daca cumva atunci rationand ca si mai sus, am obtine

De aceea in descompunerea

trebuie sa avem In virtutea unicitatii descompunerii (20) din relatia

obtinem adica este valoarea caracteristica a operatorului

Invers , fie o valoare caracteristica operatorului si este un vector propriu asociat . Deoarece

avem adica este valoarea caracteristica a operatorului U.

Ce lelalte afirmatii ale teoremei sunt continute in teorema 1.1.

Teorema este astfel demonstrata.

6. O imagine mai completa a comportarii rezolvantei in vecinatatea unei valori caracteristice se poate obtine pe baza urmatoarei teoreme.

Teorema 5. Fie o valoare caracteristica a operatorului U. Atunci intr-o vecinatate suficient de mica a punctului are loc dezvoltarea

aici r este rangul valorii caracteristice ; iar operatorii sunt finit-dimensionali; operatorul

Seria din numarul drept al relatiei (21) converge in spatiul de operatori B(X, X)

Demonstratie. Ca si in demonstratia teoremei precedente, vom considera Sa remarcam de la inceput ca , pe baza lemei 2, din sectiunea 1.1. rangul valorii caracteristice este finit. Folosind notatiile teoremei 1.1. pe baza observatiei la aceasta teorema , vom observa ca

Reprezentand elementul sub forma

si asociind elementul x elementului si elementul vom construi operatorii , proiectorii apatiuluiX pe subspatiile In virtutea aceastei estimari (9) din cap. 1 , acesti operatori sunt continui. Sa remarcam ca

Sa consideram un element arbitrar . Elementul este solutia ecuatiei

Inlocuind aici si tinand cont ca putem pune ecuatia (22) sub forma unui sistem de doui ecuatii

Observand ca , prima ecuatie se poate scrie sub forma

unde am notat, . In virtutea teoremei 4, este valoare regulata a operatorului . De aceea pe baza observatiei la teoreme 2 daca este suficient de mic, rezolvanta admite deuvoltarea

unde seria din membrul drept converge in spatiul . Astfel putem scrie

unde si seria din membrul drept converge ca si mai anainte in spatiul .

Sa ne ocupam acum de a doua ecuatie (23)

Sa formam spatiul cat

si sa notam onomorfismul natural al spatiului . Spatiul este evident finit-dimensional. Sa alegem in el un sistem complet de elemente liniar independente si fie elemente ale lui astfel incat Elementele fac parte din . Pe langa aceasta imaginile lor sunt liniar independente deoarece daca

atunci

altfel spus,

si prin urmare

ceea ce este posibil doar pentru

Sa competam sistemul de elemente cu elemente astfel ca sa obtinem o baza in . Sa alegem apoi astfel ca

Continuand sa rationam in acest fel construim pentru fiecare elementele astfel ca

In plus elementele

formeaza pentru fiecare baza in spatiul

Sa notam

Ca urmare a relatiilor (25)

Vom demonstra acum ca elementele formeaza un sistem complet de elemente liniar independente in

Fie

Deoarece prin aplicarea operatorului obtinem

si prin urmare Ne convingem analog ca si ceilalti coeficienti sunt egali cu zero. Sa consideram acum un element arbitrar Elementul si de aceea exista coeficientii astfel incat

De aceea

Continuand prin aceste rationamente asemanatoare obtinem in cele din urma ca exista astfel incat

si prin urmare

Fie x un element arbitrar din X . Elementul , de unde

si dupa cum s-a observat in sectiunea 5. coeficientii sunt functionale liniare. Daca notam

atunci pe baza celor spuse va fi operator continuu din X pe iar

Luand in considerare relatia vom scrie membrul drept al celei de a doua ecuatii (23) sub forma dupa care vom inlocui operatorul

Aplicand ambilor membri ai acestei egalitati operatorul , tinand cont de (28) obtinem

dar

de aceea ca urmare a incluziunii (26)

Folosind aceasta relatie putem scrie ecuatia (29) intr-o forma mai simpla

Din (30) gasim

si prin urmare , pe baza ecuatiei (31)

si in general pentru orice

Din egalitatile obtinute deducem

unde sunt constante si Introducand aceasta in (32) obtinem

unde operatorii sunt combinatii liniare de operatori de forma si pe baza punctului b) din teorema 1.1., rezulta ca operatorii

aplica spatiul X in si prin urmare , sunt finir dimensionali. Apoi din egalitatea (32) se vede ca

De aceea daca de exemplu atunci din relatiile (25)

astfel incat

Din relatiile (24) si (33) obtinem dezvoltarea dorita a rezolvantei . Teorema este in intregime demonstrata.

Observatie. Daca U este operator autoadjunct intr-un spatiu Hilbert, teorema poate fi intrucatva precizata , deoarece in acest caz r = 1 si prin urmare , in dezvoltarea (21) va aparea doar un singur termen cu exponent negativ al lui anume Nu vom da formularea amanuntita a rezultatului corespunzator deoarece a fost deja formulat in sectiunea IX.5