Generalizarile ecuatiei lui Euler

Generalizarile ecuatiei lui Euler

In acest paragraf vom demonstra cateva generalizari ale ecuatiei lui Euler cu privire la numarul functiilor care apar sub Lagrangean,ordinul derivatei functiei care apare sub Lagrangeanul functionalei si cu privire la numarul variabilelor functiei necunoscute.

La inceputul urmatoarei teoreme,numita sistemul de ecuatii Lagrange-Euler ,vom generaliza rezultatul fundamental al lui Euler in cazul in care functionala (si ,de asemenea ,Lagrangeanul) depinde de multe functii necunoscute.Consideram ca functionala depinde de n functii necunoscute,fiecare depinzand de o singura variabila x,

unde .

Teorema:

Presupunem ca functionala I isi atinge valoarea extrema in functiile Atunci aceste functii satisfac urmatorul sistem de ecuatii:

(1)

Demonstratie

Presupunem ca n=2.De aceea,consideram functionala:

,unde si

Presupunand ca functionala isi atinge valoarea extrema in functiile ,trebuie sa demonstram ca aceste functii satisfac urmatorul sistem de ecuatii:

Consideram doua vecinatati ale functiilor si ,respectiv:

unde si sunt functii de clasa C pe intervalul si satisfac conditiile:

Calculam valoarea functionalei I pentru un punct arbitrar pentru oricare vecinatate:

Deci,putem scrie:

Pentru functia din prima vecinatate devine si functia din a doua vecinatate devine si functionala I are valoarea extrema pentru functiile si .In concluzie,punctul (0.0) este punctul de extrem pentru functia si trebuie satisfacuta conditia necesara de extrem:

Derivam in raport cu si integrala care defineste functia :

Tinand cont ca si ,obtinem:

si

Integram prin parti ultimele integrale din relatiile de mai sus.

Astfel,    

si

Dar,din ipoteza,avem: si atunci integralele devin:

In final,conditiile de extrem devin:

si respectiv

Pentru ambele integrale din membrul stang al acestor relatii,putem folosi lema fundamentala de unde rezulta:

si teorema e demonstrata.

O alta generalizare a ecuatiei lui Euler poate fi obtinuta considerand cazul in care functionala I depinde de o singura functie ,dar Lagrangeanul functionalei depinde de derivatele superioare ale functiei .Rezultatul apartine lui Poisson si Euler si este demonstrata in teorema urmatoare.Folosind consideratiile de mai sus,vom considera functionala I sub forma:

Teorema

Daca este fumctia in care functionala I, pentru care Lagrangeanul depinde de derivatele superioare ale lui ,isi atinge extremul,atunci satisface urmatoarea ecuatie: numita ecuatia Poisson-Euler.

Demonstratie

Pentru simplificarea calculelor,consideram doar cazul n=2.Asadar ,Lagrangeanul depinde de :   

Demonstram ca functia satisface ecuatia:

Imprwuna cu functia consideram o vecinatate de ordinul doi care contine functii de forma :, unde este un parametru mic si este o functie de clasa C pe intervalul care satisface: si

Pentru a arata ca valoarea functionalei I este extrema pentru functia ,calculam valoarea lui I pentru un punct arbitrar pentru vecinatatea de mai sus:

Astfel obtinem:

.

Dar pentru ,punctul vecinatatii devine chiar si functionala I isi atinge valoarea extrema in .Astfel,rezulta ca este punctul de extrem pentru functia si atunci,trebuie satisfacuta conditia necesara a extremului :

Introducem derivata sub integrala :

Folosind faptul ca ,obtinem:

Descompunem integrala din membrul stamg in trei integrale :

(2)

Integrand prin parti a doua integrala din (2) ,,obtinem:

Tinand cont ca ,rezulta:

Integram prin parti a treia integrala din (2):

Tinand cont ca ,rezulta:

Integram inca o data prin parti:

Dar,din ipoteza,avem si astefl integrala devine:

Cu forma gasita pentru si ,relatia (2) devine:

Acum,putem aplica lema fundamentala si relatia precedenta conduce la ecuatia:

care este ecuatia Poisson-Euler si teorema e demonstrata.

Ultima generalizare a ecuatiei lui Euler pe care o vom obtine se refera la numarul variabilelor independente.

Notam cu u functia necunoscuta si presupunem ca depinde de n variabile independente,

De asemenea,presupunem ca functionala depinde de o singura functie necunoscuta ,u,si Lagrangeanul depinde doar de functia u si prima derivata partiala:

,

unde x este o variabila vectoriala si este un domeniu in spatiul

n-dimensional ,astfel incat avem o integrala multipla.

Pentru simplificarea calculelor,dar tinand cont de generalitate ,consideram doar cazul n=2.In consecinta,functia necunoscuta u depinde doar de doua variabile,x si y ,Lagrangeanul depinde de functia necunoscuta u si de derivatele partiale si

Astfel,avem urmatoarea functionala:

Urmatoarea teorema care apartine lui Ostrogradski si Euler,da ecuatia verificata de functiia u care extremeaza functionala de mai sus.

Fie un domeniu in spatiul bidimensional avand frontiera Consideram ca functia necunoscuta u si Lagrangeanul L sunt functii obisnuite,si folosim cunoscuta notatie a lui Monge:

In consecinta,trebuie sa extremam urmatoarea functionala:

(3)

Teorema

Daca functia u extremeaza functionala I din (3) atunci satisface urmatoarea ecuatie:

,

numita ecuatia Ostrogradski-Euler.

Demonstratie

Impreuna cu functia u consideram o vecinatate de ordinul intai continand functii de forma:

,

unde este un parametru arbitrar mic si satisfacand conditia:

(4)

Ultima conditie inseamna ca fiecare functie din vecinatate are aceleasi capete ca u(x,y).

Calculam valoarea functionalei I pentru un punct arbitrar al vecinatatii:

Obtinem o functie care depinde doar de .Pentru =0,functia din vecinatate, se reduce la functia care este punctul de valoare extrema pentru functionala I astfel incat deducem ca trebuie sa satisfaca conditia necesara pentru extrem,

Introducand derivata sub integrala,

Daca tinem cont de faptul ca =0,relatia precedenta devine:

(5)

Acum,descompunem integrala in trei integrale si calculam prin parti ultimele doua:

In ceea ce priveste vom scrie:

si atunci:    (6)

De asemenea,in ceea ce priveste vom scrie:

si atunci:    (7)

Amintim acum cunoscuta formula a lui Green privind legatura dintre integrala simpla si integrala dubla.Astfel,daca este un domeniu marginit in spatiul cu frontiera care este o curba plana inchisa ,atunci formula lui Green afirma urmatoarea legatura:

Revenind la calculul integralelor,adunam ,membru cu membru,relatiile (6) si (7):

In prima integrala in membrul drept al relatiei precedente vom aplica formula lui Green:

unde folosim conditia (4).In acest mod,suma se reduce la :

Introducem aceste rezultate in (5) si obtinem:

Acum,putem folosi lema fundamentala astfel incat relatia precedenta conduce la:

care este ecuatia lui Ostrogradski-Euler.