REZOLVAREA NUMERICA A SISTEMELOR DE ECUATII NELINIARE

REZOLVAREA NUMERICA A SISTEMELOR DE ECUATII NELINIARE

1. Metoda aproximatiilor succesive

Consideram sistemul de ecuatii neliniare:

(3.1)

unde .

(3.2)

Metoda aproximatiilor succesive implica punerea sistemului (3.2) sub forma echivalenta

(3.3)

a.i. cele doua sisteme sa aiba aceleasi solutii si sa fie indeplinite conditiile prescrise de urmatorul rezultat, ce constituie o consecinta a teoremei 2.3.6.

Teorema 3.1.1.:

Fie a.i. , convexa si inchisa este astfel incat

(3.4)

unde

, ( 3.5)

atunci, urmatoarele afirmatii sunt adevarate:

sirul definit prin relatia de recurenta:

(3.6)

este convergent.

este unicul punct fix al lui .

(3.7)

(3.8)

2. Metoda Newton-Raphson

Generalizarea metodei tangentei (2.3.3) conduce la una dintre cele mai simple metode de rezolvare numerica a sistemelor de ecuatii neliniare.

In cazul multidimensional, conditiile de convergenta sunt mult mai severe decat in cazul unidimensional, iar eficienta metodei depinde de alegerea aproximatiei initiale cat mai "aproape" de solutia exacta.

a) Descrierea metodei:

Consideram sistemul de ecuatii neliniare: (3.1)(3.2) a.i. , convexa, inchisa si marginita.

Presupunem ca s-a separat , unica solutie a sistemului in .

Fie , aproximatia initiala a solutiei exacte .

Dezvoltand , in serie Taylor in jurul lui , putem considera urmatoarele aproximari:

(3.9)

suficient de "apropiat" de .

Atunci, solutia a sistemului (3.1) va putea fi aproximata de solutia sistemului:

(3.10)

(3.11)

(3.12)

unde

(3.13)

este matricea Jacobi asociata functiei .

Presupunem . Atunci, obtinem sistemul

(3.14)

echivalent cu (3.12), a carui solutie reprezinta in general, o mai buna aproximatie decat a solutiei exacte .

Pentru a imbunatati calitatea aproximarii solutiei exacte , se considera sirul , definit prin urmatoarea relatie de recurenta:

(3.15)

(s.n. metoda Newton-Raphson).

Observatia 3.2.1.:

(3.15) reprezinta un mare inconvenient si anume calcularea la fiecare iteratie, a matricei . Cum astfel, a.i. , . Inlocuind in (4.65), obtinem:

(3.16)

(s.n. metoda Newton modificata).

Pentru sisteme ce au mai multe de doua ecuatii, se prefera, in locul calcularii matricei , rezolvarea sistemului de ecuatii liniare:

(3.17)

unde .

b) Convergenta metodei

Lema 3.2.2.:

Daca si , atunci exista astfel ca si .

Teorema 3.2.3.:

In ipotezele lemei 3.2.2, sirul definit prin (3.15) are urmatoarele proprietati:

, .

Exista astfel incat (i.e. ordinul de convergenta al lui la este 2, .