Inegalitati intre unghiuri si alte elemente ale triunghiului

Inegalitati intre unghiuri si alte elemente ale triunghiului

Aplicatia II.4.1: Fie triunghiul ABC si M,N doua puncte astfel incat si . Sa se demonstreze ca: .

Solutie:

Fie triunghiul ABC si punctele ,

astfel incat si (fig.II.4.1).

In aceasta situatie este unghi exterior

triunghiului ABM, este unghi exterior

triunghiului ACN. Conform teoremei unghiului

exterior, , .

Deci:

de unde

rezulta: .

fig.II.4.1

Aplicatia II.4.2: Se considera triunghiul ABC, in care si punctul D astfel incat . Sa se arate ca pentru orice M, are loc inegalitatea:

.

Solutie:

Fie triunghiul ABC (fig.II.4.2) astfel incat

iar . De asemenea consideram

astfel incat si sunt semidrepte opuse.

In triunghiul ABC, conform teoremei II.1.2,

. Utilizand teorema II.1.1

pentru triunghiul MCD, obtinem

si, deci .

Prin constructie, prin urmare,

, dar

(unghiuri opuse la varf), ceea ce implica

. In final obtinem

. fig.II.4.2

Aplicatia II.4.3: Fie un triunghi dreptunghic ABC cu . Sa se demonstreze ca daca D este mijlocul catetei AB, atunci: .

Solutie:

Fie triunghiul ABC cu si , astfel incat (fig.II.4.3).

Fie E mijlocul ipotenuzei (BC). Atunci (DE) este linie mijlocie in si prin urmare si . Avand in vedere ca iar (conform teoremei II.1.4) rezulta ca in triunghiul CED obtinem (conform teoremei II.1.2). Dar (alterne interne) prin urmare, , ceea ce implica .

fig.II.4.3 fig.II.4.4

Aplicatia II.4.4: Fie un triunghi ABC si D mijlocul laturii BC. Sa se arate ca:

a) ;

b) , daca si numai daca .

Solutie:

Fie triunghiul ABC si astfel incat .

a) Consideram astfel incat . Deci este linie mijlocie in triunghiul ABC si . In triunghiul ADF, conform teoremei II.1.7 avem:

.

b) Deoarece FD este linie mijlocie in triunghiul ABC obtinem , iar din constructie . Dar conform teoremei II.1.2. si cum (alterne interne)

.

Aplicatia II.4.5: Fie un triunghi ABC cu r raza cercului inscris in triunghi si R raza cercului circumscris triunghiului ABC. Demonstrati ca: cu egalitate , unde a,b,c sunt lungimile laturilor triunghiului ABC.

Solutie:

.

Deci , de unde obtinem:

Aplicatia II.4.6: Fie triunghiul ascutitunghic ABC, S aria lui si R raza cercului circumscris triunghiului ABC. Sa se demonstreze ca:

Solutie:

Inegalitatea se mai scrie: , si folosind inegalitatea mediilor, pentru cazul adica si alegem , , , obtinem , dar din , deci .