Modelul econometric pentru y

UNIVERSITATEA DIN ORADEA

FACULTATEA DE STIINTE ECONOMICE

SPECIALIZAREA MARKETING

Modelul econometric pentru..y..

CUPRINS

Introducere

Dispunem de 36 observatii asupra marimii lui y si x.

Reprezentam grafic norul de puncte:

Cometarii privind aspectul norului de puncte.

Pentru analiza exportului am ales urmatorul model:

unde:

y_t = din luna t

x_t = in luna t

ε_t = variabila reziduala

Ecuatia (1) se poate scrie sub forma matriciala:

cu    ,

Am notat:

1. Ipoteze fundamentale

H₀ : Ipoteza de liniaritate: modelul este liniar in X_t

H₁ : Ipoteze asupra variabilelor X si Y:

(i) x_t si y_t reprezinta valori numerice ale variabilelor X si Y rezultate prin observarea statistica, neafectate de erori sistematice;

(ii) Y este variabila endogena aleatoare, pentru ca este functie de

(iii) X, variabila explicativa, este considerata ca fiind o variabila determinista in model, nealeatoare;

H₂ : Ipoteze asupra erorilor ε:

(i) ε are o distributie independenta de timp, de speranta matematica nula, respectiv:

E (ε_t) = 0, ( ) t = 0, 1, 2, ., T

V (ε_t) = E[ε_t - E(ε_t)]² = =

altfel spus, modelul este homoscedastic.

(ii) Independenta erorilor. Doua erori ε_t si ε_t' sunt independente liniar intre ele, adica

respectiv

(iii) Variabila ε are o distributie normala.

H₃ : Ipoteze privind variabila exogena X:

(i)        cov(x_t, ε_t) = 0, t - erorile sunt independente de X;

(ii)     Se presupune ca pentru T , primele doua momente empirice ale variabilei X sunt finite, respectiv

Speranta matematica

Varianta

2. Determinarea estimatorilor de regresie liniara prin metoda celor mai mici patrate

Aplicam metoda celor mai mici patrate pentru determinarea coeficientilor.

=

=

Ecuatia de regresie se prezinta astfel:

Y= *X-

3. Testarea validitatii modelului

Testarea validitatii modelului presupune parcurgerea urmatoarelor etape:

Testarea validitatii modelului de regresie folosind metoda descompunerii variantei;

Calculul raportului de corelatie si testarea semnificatiei lui;

Inferenta statistica pentru parametrii modelului de regresie;

Verificarea ipotezelor modelului de regresie.

Testarea validitatii modelului de regresie folosind metoda descompunerii variantei

Dispersia totala verifica urmatoarea relatie:

Termenii relatiei se definesc prin:

- varianta totala a variabilei Y determinata de toti factorii sai de influenta;

- varianta fenomenului Y determinata numai de variatia factorului X, considerat factorul principal al variabilei Y, adica variatia lui Y explicata de modelul econometric;

- variatia reziduala, sau variatia fenomenului Y generata de catre factorii nespecificati in model, acesti factori fiind considerati - in etapa de specificare - drept factori cu influenta intamplatoare, neesentiali pentru a explica variatia fenomenului Y

Descompunerea variantei - Metoda ANOVA

Pe baza datelor din tabel se pot testa urmatoarele ipoteze:

H : s²_Y/X s² , cele doua dispersii sunt aproximativ egale, influenta factorului X nu difera semnificativ de influenta factorilor intamplatori.

H : s²_Y/X s² , influenta factorului X si a factorilor intamplatori - masurata prin cele doua dispersii - difera semnificativ si, deci, se poate trece la discutia similitudinii, a verosimilitatii modelului teoretic in raport cu modelul real.

Acceptarea ipotezei H₀ este echivalenta cu respingerea modelului (modelul nu este valid).

Testarea semnificatiei dintre doua dispersii se face cu ajutorul distributiei teoretice Fisher-Snedecor, respectiv cu testul F.

Cunoscand cele doua valori, =

si F_α,v1,v2=4.17 valoarea teoretica a variabilei F, preluata din tabelul repartitiei Fisher - Snedecor, in functie de un prag de semnificatie α si un numarul gradelor de libertate = k; = n-k-1, regula de decizie se scrie:

- se accepta H₁ si se respinge H₀ daca F_calc >F_α, , deci modelul este valid.

3.2. Calcularea coeficientului de corelatie R², a coeficientului de corelatie corectat si testarea reprezentativitatii lui

Coeficientul de corelatie R² exprima rolul jucat de ansamblul variabilelor exogene asupra variabilei endogene. Cu cat valoarea acestuia este mai apropiata de 1, cu atat legatura dintre variabile este mai intensa.

=

Aceasta expresie nu tine cont de numarul observatiilor si nici de numarul variabilelor explicative din model. O definitie mai precisa a lui R² , care tine cont de numarul observatiilor t = 36 si numarul variabilelor exogene p = 1 este urmatoarea (R² corectat):

Testarea reprezentativitatii lui

H₀: = 0

H₁: ≠ 0

Se compara valoarea calculata a lui F cu cea tabelara (din anexa 6, in functie de t-p-1 si p grade de liberate, si probabilitatea 95%). Regulile de decizie sunt urmatoarele:

- daca F_calc > F_tab, ipoteza nula este cea care se respinge, acceptandu-se cea alternativa.

Intrucat F_calc>F_tab rezulta ca si la nivelul populatiei totale intre variabile exista legatura, iar aceasta legatura este de intensitate medie.

3.3. Teste si regiuni de incredere

3.3.1.Testarea validitatii estimatiei coeficientilor

Pentru testarea validitatii estimatiei coeficientilor a_i se utilizeaza testul Student. In general :

H₀ : a_i = 0, cu alternativa

H₁ : a_i ≠ 0

Daca atunci H₀ se respinge, iar coeficientul a_i este semnificativ diferit de 0.

Pentru parametrul a emitem ipotezele:

H₀ : a = 0, cu alternativa

H₁ : a ≠ 0

Dupa efectuarea calculelor, obtinem:

si stim ca t_tab = 1.96

Comparam cele doua valori si tragem concluzia ca se accepta ipoteza H₁ cu o probabilitate de 95%, ceea ce inseamna ca modelul este valid.

H₀ : b = 0, cu alternativa

H₁ : b     ≠ 0

Dupa efectuarea calculelor, obtinem:

si stim ca t_tab = 1.96

Comparam cele doua valori si tragem concluzia ca se accepta ipoteza H₁ cu o probabilitate de 95%, ceea ce inseamna ca modelul este valid.

3.3.2. Intervale de incredere pentru coeficienti

Acestea se stabilesc cu un prag de semnificatie α = 0,05.

deci

Dupa efectuarea calculelor obtinem urmatoarele intervale de incredere, cu o probabilitate de 95%:

0.54≤a≤0.96

-8254.8≤b≤-4324.7

3.4. Testarea ipotezelor fundamentale referitoare la variabila aleatoare ε

Pe langa influenta factorilor esentiali, asupra marimii .. (Y) isi exercita influenta si alti factori, care sunt surprinsi prin variabila ε. Acesti factori ar putea fi:..

. Ipoteza de homoscedasticitate a variabilei reziduale - Testul White

Testul White - etape:

- estimarea parametrilor modelului initial si calculul valorilor estimate ale variabilei reziduale, εt

- construirea unei regresii auxiliare, bazata pe prespunerea existentei unei relatii de dependenta intre patratul valorilor erorii, variabila exogena inclusa in modelul initial si patratul valorilor acesteia:

- calcularea coeficientului de corelatie estimat, corespunzator acestei regresii auxiliare

- testarea semnificatiei raportului de corelatie. Daca acesta este semnificativ diferit de zero, atunci ipoteza de heteroscedasticitate a erorilor este acceptata.

LMcalc = TR²

Daca LMcalc > (k grade de libertate, k - numarul de variabile exogene) , erorile sunt heteroscedastice, in caz contrar, sunt homoscedastice.

3.4.2. Ipoteza independentei valorilor variabilei reziduale ε_t

Aceasta ipoteza presupune verificarea relatiei:

Depistarea autocorelarii erorilor se poate face utilizand Testul Durbin - Watson. Functia de autocorelatie descrie intensitatea analogiei dintre doi termeni y_t si y_{t-k .}In ceea ce priveste autocorelarea valorilor variabilei reziduale, a fost elaborat in 1950, de catre Durbin J. si Watson G. S. un test intens utilizat si in prezent. Se obtine:

Valoarea empirica, d_calc, se compara cu doua valori teoretice, d₁ si d₂, citite din tabelul distributiei Durbin - Watson in functie de un prag de semnificatie , convenabil ales, ( = 0,05 sau = 0,01), de numarul de variabile exogene, k si de valorile observate T, T

Regulile de decizie a testului sunt:

3.4.2.Testarea normalitatii distributiei variabilei aleatoare ε

O modalitate de verificare a ipotezei de normalitate a erorilor o constituie testul Jarque - Berra, care estel un test asimptotic, valabil in cazul unui esantion de volum mare, ce urmeaza o distributie hipatrat cu cu 2 grade de libertate, avand urmatoarea forma:

unde:

n - numarul de observatii;

coeficientul de asimetrie (skewness), ce masoara simetria distributiei erorilor in jurul mediei acestora (medie care este nula), avand urmatoarea relatie de calcul:

β - coeficientul de boltire al lui Pearson (kurtosis), ce masoara boltirea distributiei in raport cu distributia normala, ce are urmatoarea relatie de calcul:

Testul Jarque - Berra se bazeaza pe ipoteza ca distributia normala are un coeficient de asimetrie egal cu zero, = 0, si un coeficient de aplatizare egal cu trei, β = 3.

Daca , atunci ipoteza de normalitate a erorilor este respinsa.

4. Previziunea variabilei y