Inegalitati referitoare la distanta de la un punct la varfuri sau laturi

Inegalitati referitoare la distanta de la un punct la varfuri sau laturi

Aplicatia II.8.1: Sa se arate ca aria unui triunghi este strict mai mica decat semisuma patratelor distantelor unui punct din interiorul triunghiului la varfuri.

Solutie:

Fie triunghiul oarecare ABC si un punct P situat in interiorul triunghiului lui ABC (fig.II.8.1). Notam cu: x=PA, z=PB, z=PC,

; ,

, atunci:

fig.II.8.1

Aplicatia II.8.2: Daca triunghiul ABC este un triunghi isoscel cu , atunci pentru orice punct , are loc inegalitatea: .

Solutie:

Consideram triunghiul ABC in care

si un punct (fig.II.8.2). Atunci unul

dintre sau este mai mare sau egal

cu . Presupunem ca . Prin

urmare, in triunghiul ADC, conform aplicatiei

II.3.1, si deci ,

conform teoremei II.1.3, dar si

deci, . fig.II.8.2

Daca , atunci in triunghiul ABD, obtinem ceea ce implica , conform teoremei II.1.3.

Aplicatia II.8.3: Fie triunghiul ABC si un punct D situat in interiorul triunghiului ABC astfel incat . Sa se arate ca in aceste conditii, .

Solutie:

Fie triunghiul ABC si un punct D situat in interiorul triunghiului ABC astfel incat . (fig.II.8.3).

Notam cu:

Triunghiul ABD fiind isoscel avem:

. Prin urmare,

(deoarece unghiurile de

la baza triunghiului isoscel nu pot fi obtuze

sau drepte) ceea ce implica .

Rezulta ca in triunghiul ADF, fig.II.8.3

si conform teoremei II.1.3. obtinem , dar si ceea ce implica

Aplicatia II.8.4: Se considera un triunghi ABC si trei drepte concurente AM, BM, CM care intersecteaza suporturile laturilor triunghiului ABC in A', B' si respectiv C'. Sa se demonstreze ca:

Solutie:

Fie triunghiul ABC si astfel incat si (fig.II.8.4). Din teorema lui Ceva, , iar din inegalitatea mediilor, ceea ce implica: Egalitatea are loc pentru: , adica atunci cand A', B', C' sunt mijloacele laturilor (BC), (AC), si respectiv (AB), deci cand punctul M este centrul de greutate al triunghiului ABC.

Aplicatia II.8.5: Fie triunghiul ABC si . Sa se demonstreze ca: .

Solutie:

Fie triunghiul ABC si (fig.II.8.5). In triunghiurile OAB, OBC si OAC au loc relatiile: , , , conform teoremei II.1.7. Adunand membru cu membru cele tei relatii obtinem: (*).

Fie acum . In triunghiurile AOD si BDC, conform teoremei II.1.7, avem: si . Prin urmare: si, deci:

. In mod asemanator, se obtine: si . Adunand membru cu membru ultimele trei inegalitati, deducem , adica: (**).

Din inegalitatile (*) si (**), obtinem relatia din enunt.