Metoda puterii pentru calculul celei mai mari valori proprii in modul a unei matrici

Metoda puterii pentru calculul celei mai mari valori proprii in modul a unei matrici

Fie matricea A de dimensiune n n. Presupunem ca A admite n valori proprii distincte in modul si anume:

(3.15)

Acest fapt implica existenta unui sistem de n vectori liniar independenti:

Atunci, un vector arbitrar y poate fi scris ca o combinatie liniara de vectori din baza:

Deci:

Urmeaza

. . . . . . . . . . . . (3.16)

Notam:

unde

Notam spatiul generat de y prin E_n, adica E_n = si fie e₁, e₂, , e_n o baza oarecare a lui E_n. Rezulta

Deci

sau schimband ordinea de sumare

Deci

iar

Rezulta

Tinand cont ca

rezulta

Deci putem aproxima pe λ₁ prin

adica

Observatie 3.5.1 Alegerea vectorului y este esentiala pentru ca in cazul cand nu este bine ales s-ar putea ca limita

sa nu existe. Acest lucru se observa dupa valorile rapid crescatoare ale acestui raport.

Observatie 3.5.2 Se poate accelera convergenta utilizand drept valori ale lui m puteri naturale ale lui 2 (se ia m = 2^k), adica:

valoarea λ₁ calculandu-se aproximativ ca fiind

Observatie 3.5.3 Vectorul este valoarea aproximativa a vectorlui propriu al matricii A asociat valorii proprii λ₁. Sa aratam acest fapt.

Din formulele (3.16) avem

unde x^(j) sunt vectorii proprii ai lui A.

Urmeaza

Cum

(pentru j > 1),

pentru m suficient de mare avem:

Deci vectorul A^my nu se distinge de vectorul propriu x⁽¹⁾ decat printr-un factor numeric.

Exemplu 3.5.1 Sa se determine valoarea proprie cea mai mare in modul a matricii:

Consideram drept vector y, vectorul

Avem:

; ; ;

; ; ;

; .

Deci

Ca prim vector propriu se poate lua

Acest vector normalizat ne da:

Sa consideram acum cazul cand radacina cea mai mare in modul este multipla, adica avem urmatoarea situatie:

Deci:

Daca si tinand cont ca

urmeaza

adica

Observatie 3.5.4 La fel ca in cazul radacinii simple cea mai mare in modul este unul din vectorii proprii aproximativi ai matricii A asociati lui λ₁.

Observasie 3.5.5 Un alogoritm mai rapid de cautare a valorii proprii λ₁ cea mai mare in modul, in cele doua cazuri, este:

a)      Formam sirul de matrici A, A², . , .

b)      Stiind ca

avem pentru cazul radacinilor simple

Deci

Cand     se obtine

adica

pentru m suficient de mare.

Observatie 3.5.6 Se poate evita extragerea radicalului de ordin mare m astfel:

a)     

b)     

Tinand cont ca     putem aproxima: