NUMERE, FUNCTII SI SERII COMPLEXE. SERII FOURIER

NUMERE, FUNCTII SI SERII COMPLEXE. SERII FOURIER

Motto Cel mai fascinant lucru in

matematica este faptul ca .

1. Numere si functii complexe

este numar complex algebric.    (alg)

Numarul complex se numeste conjugatul numarului complex z. Numarul complex z poate fi scris sub forma trigonometrica:

(trig)

si sub forma exponentiala:

(exp)

in care modulul si argumentul sunt date de relatiile

si

Numerele complexe sunt egale daca si

Accent: Retinem cele trei forme ale numerelor complexe (alg), (trig), (exp).

1.1. Operatii cu numere complexe

Fie numerele complexe:

1.2. Functii complexe de variabila reala

Functia se numeste functie complexa de variabila reala. Daca A este un interval si f este o functie continua atunci functia se numeste curba. Notam variabile cu t. Cum vom folosi pentru f(t) notatia: z(t) = x(t) + iy(t).

Ecuatia

(1)

reprezinta ecuatia in complex a curbei. Ecuatia (1) poate fi inlocuita de ecuatiile

(2)

numite ecuatiile parametrice ale curbei (t se numeste parametru).

Diagrama unei functii complexe de variabila reala z = z(t) este curba plana reprezentata grafic, insotita de un procedeu grafic de corespondenta intre valorile parametrului t si punctele de pe curba. Curba se numeste suportul diagramei.

Diagramele rezolva doua probleme:

Pentru momentul t se determina punctual pe curba.

Fiind dat punctual de curba, determinam momentul caruia ii corespunde acest punct.

1.3. Functii complexe de variabila complexa

Daca D este un domeniu din C, aplicatia se numeste functie complexa de variabila complexa (numele functiei este dat de codomeniu ).

Consideram variabila complexa z = x + iy functia are forma

Daca implica si reciproc, pentru orice atunci f(z) este univalenta pe D. Functia f(z) este uniforma pe D daca isi conserva valoarea din punctul si la revenirea variabilei z in dupa ce in prealabil a descris un contur din D pentru orice Daca nu este uniforma atunci f(z) este multiforma. Vezi functia radical si logaritmic.

Functia f(z) derivabila in se numeste monogena in . Functia f(z) monogena in orice punct din D se numeste olomorfa pe D.

Teorema. Functia f(z) = U (x,y) + iV(x,y) este monogena in din D daca si numai daca sunt indeplinite conditiile:

numite conditiile Cauchy - Riemann

Tipuri de puncte

Definitie.

(a)    Punctul a este punct ordinar al functiei f(z) daca exista un domeniu D de olomorfie a functiei f(z) care-l contine pe a.

(b)   Punctele din C care nu sunt ordinare pentru f(z) se numesc puncte singulare pentru f(z).

(c)    Punctul z = a este pol de ordinul p pentru f(z) daca este punct ordinar pentru functia

Natura punctului de la infinit pentru functia f(z) este data de natura punctului

z = 0 pentru

.

Functiile rationale au numai singularitati de tip poli.

Functia radical

(3)

Este inversa functiei putere

(4)

Daca , atunci (3) are solutii distincte

(5)

Argumentele lui din (5) se scriu (pentru )

(6)

Atunci, planul (z) va fi impartit in sectoare prin semidreptele de ecuatie

(7)

Toate semidreptele din (7) au ca imagine in planul (w) semidreapta

Functia (4) este univalenta in sectoarele

si sunt puncte critice algebrice .

Functia exponentiala este functia

Deoarece rezulta ca este periodica de perioada . Este definita in tot planul (z) exceptand punctul .

Observatie: si

Functii construite cu ajutorul functiei exponentiale. Din relatiile lui Euler

se obtin extinderile in complex

(8)

Functiile hiperbolice

(9)

Functiile (8) si (9) sunt olomorfe in orice domeniu care contine punctul de la infinit. Se folosesc aceleasi reguli de derivare ca in cazul real.

Functia logaritmica este inversa exponentialei. Ecuatia are solutia z = ln w. Daca obtinem

Pentru k intreg rezulta ca functia logaritm este multiforma cu o infinitate de ramuri si are ca puncte critice z = 0 si z = , numite puncte critice logaritmice.

2. Aplicatii la numere complexe

Determinati astfel incat R: Facand efectiv calculele obtinem -2x = 0, deci z = iy.

Determinati modulul si argumentul pentru i, -2i, -3, 3.

Determinati multimea punctelor pentru care:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h) .

Precizati intersectia curbelor

a)

b)

Ce reprezinta multimea solutiilor ecuatiei

R: Elipsa cu focarele in z = 2i si z = 4i.

Aratati ca in C au loc relatiile:

a)

b)

c) (legea paralelogramului).

2.1. Aplicatii diverse

Operatii cu numere complexe

1. a) Determinati valorile intregi ale lui n pentru care puterile:

sunt reale.

b). Determinati valorile intregi ale lui n pentru care puterile respective sunt imaginare

2. Ce curba va descrie imaginea lui z = x + iy daca are partea reala constanta?

3. Ce curba va descrie imaginea lui z = x + iy daca

2.2. Solutii

Operatii cu numere complexe

1.

2. Sa se demonstreze urmatoarele identitati in C :

a)

b)

c)

d)

e)

Indicatie: Se foloseste relatia

3. Daca atunci

a)

b)

Solutie:

Deci implica .

3. Aplicatii la olomorfie

Enunturi

4.1. a) Stabiliti domeniul de olomorfie al functiilor

b) Reprezentati in planul complex domeniul respectiv

4.2. a) Demonstrati ca functia poate fi parte imaginara a unei functii f(z) olomorfe.

b) Determinati functia f(z) stiind ca f(0)=1.

c) Determinati expresia lui f(z) in functie de z.

4.3. Fie functiile:

a)

b)

c)

Demonstrati existenta unei functii f(z) monogene pe un domeniu (care se va determina) si stabiliti expresia functiei respective.

Indicatii si solutii

4.1. daca

Deci

Conditiile Cauchy-Riemann

vor deveni

cu solutiile y = 0, x > 0.

Domeniul de monogenitate este semiaxa pozitiva a axei reale.

Daca

atunci

de unde

Conditiile Cauchy-Riemann ne vor conduce la sistemul:

cu solutia unica

care reprezinta originea sistemului de axe, dar care nu apartine domeniului de definitie al functiei.

Deci functia data nu e monogena in nici un punct din planul complex.

Domeniul de monogenitate este multimea vida. Pentru

Deci

si

Conditiile Cauchy-Riemann ne conduc la sistemul:

sau

Din ultima ecuatie avem x = -1 sau sau y = 1. Pentru x = -1 rezulta (din prima ecuatie) y = 0, dar punctul (-1,0) nu apartine domeniului de definitie al functiei.

Pentru Pentru Deci

domeniul de monogenitate al functiei este format din punctele: .

4.2. a) Pentru ca sa fie parte imaginara a unei functii olomorfe, trebuie sa fie functie armonica, adica sau

Se verifica usor.

b) Determinarea functiei f(z) se face folosind conditiile Cauchy-Riemann, din care se obtine functia u(x,y).

Ultimul termen reprezinta o constanta, deci

Din conditia data deci

c)

SERII COMPLEXE

A. Seria Laurent. Aceasta teorie este necesara pentru pregatirea teoremei reziduurilor

1. Preliminarii. In acest paragraf ne punem de acord cu

terminologia.

Convergenta absoluta a seriei

convergenta seriei

Daca este convergenta si seria nu este convergenta atunci spunem ca seria este semiconvergenta.

Observatie. Cu criteriul lui Cauchy se observa ca orice serie absolut convergenta este convergenta (sau criteriul comparatiei.).

Fie

Notam se numeste multimea de convergenta a sirului de functii.

In general, rapiditatea de convergenta in difera de la un punct la altul.

In cazul in care rapiditatea este aceeasi, adica

astfel incat si

spunem ca converge uniform la u.

Scriem

Cealalta convergenta este convergenta simpla si notam

Daca spunem ca seria de functii este convergenta. se numeste restul seriei si pe ,

Dam fara demonstratie urmatoarea

Teorema. Daca sunt functii continue pe E si pe E atunci

(i) suma seriei S este continua pe E.

(ii) daca arcul atunci seria este convergenta si

O serie de puteri sau serie intreaga este o serie de forma

cu

Forma domeniului de convergenta a seriei de puteri se deduce din:

Teorema lui Abel; Daca seria este convergenta in si divergenta in , atunci ea este convergenta in interiorul cercului si divergenta in domeniul

Demonstratie. Vom nota si numim raza de convergenta a

seriei de puteri. Conform teoremei lui Abel seria de puteri este convergenta in interiorul cercului de convergenta (cercul de raza R) si divergenta in exterior. Pe cerc, in unele puncte avem convergenta in altele divergenta.

Pentru calculul razei de convergenta este suficient sa deducem marginea superioara a punctelor de convergenta de pe semiaxa reala pozitiva R, adica sa calculam raza de convergenta a seriei care stim de la seriile de puteri reale ca este:

unde ,

B. Seria Taylor.

Fie f o functie olomorfa intr-un domeniu D si , cercul de centru a si de raza .

Teorema. Oricare ar fi z cu

(numita formula lui Taylor a functiei f(z) in punctul z = a).

Demonstratie. Din formula integrala a lui Cauchy,

oricare ar fi z cu

C. Seria Laurent.

Fie f(z) o functie olomorfa intr-un domeniu multiplu conex D si o

coroana circulara cu centrul in a, : avand frontiera formata din cercurile si , de ecuatii

Vom presupune ca sunt continute in D, si f(z) nu este olomorfa

in interiorul cercului

Cautam pentru f(z) o dezvoltare in serie, in care vor exista si puteri negative ale lui z-a, valabila in coroana circulara .

Conform formulei lui Cauchy referitoare la domenii multiplu conexe, pe avem:

Pentru integrala pe , unde avem: dezvoltarea in serie geometrica a lui decurge ca in cazul seriei Taylor, deci vom obtine si aici:

cu expresii analoage pentru coeficienti

valorile neexprimandu-se cu ajutorul derivatelor, deoarece f(z) nu este olomorfa in interiorul cercului .

Observatie. serie care se numeste seria Laurent a functiei f(z) relativa la coroana de centru z = a.

Partea formata cu puterile negative se numeste partea principala a seriei Laurent, iar cea de-a doua, partea intreaga sau partea tayloriana.

Puncte singulare

Clasificarea punctelor singulare izolare in functie de diferite "forme" ale seriei Laurent.

a) Daca seria Laurent nu contine decat partea tayloriana, deci pentru n=-1,-2,., atunci exista si singularitatea nu provine decat din faptul ca valoarea lui f in este diferita de .

In acest caz singularitatea in se poate inlatura, modificand valoarea lui f in luand

Din acest motiv o numim singularitate inlaturabila.

b) Daca partea principala contine p termeni, este pol de ordine p.

c) Cand partea principala are o infinitate de termeni, punctul se numeste punct singular esential.

Serii importante: Seria geometrica.

cu R = 1 (1)

Functiile , sin z, cos z, au urmatoarele serii:

Seria binomiala: Pentru avem dezvoltarea

Daca atunci egalitatea are loc.

Daca este fractionar si irational, atunci membrul intai este o functie multiforma, iar suma seriei din partea dreapta este o functie uniforma. Egalitatea va avea loc daca in partea stanga luam determinarea care se reduce la 1 pentru z = 0.

Aplicatii:

1. Determinati raza de convergenta a seriei

si studiati comportarea seriei pe cercul de convergenta.

R : Daca atunci Seria este absolut convergenta in domeniul

Pe cercul de convergenta , seria devine

Cu criteriul comparatiei, seriile: sunt convergente

deoarece si seria armonica este convergenta. Deci seria converge pe

2. Aflati razele de convergenta ale seriilor:

2.1.     R: 2

2.2.     R:

2.3.     R:

2.4.     R:

2.5.

3. Daca 0 si raza de convergenta a seriei este 1, atunci este convergenta pe cercul exceptie ar putea sa faca z =1 (Rezultatul ii apartine lui Picard).

Solutie: Sa aratam ca este sir Cauchy.

Cum deducem ca

4. Determinati multimea de convergenta pentru urmatoarele serii:

4.1. (inclusiv z = 1)

4.2.     (inclusiv z = 1)

4.3.    

4.4.    

Indicatie:

Metoda I, cu rezultatul Picard.

Metoda a II-a. Studiem seriile obtinute scriind

deci

5. Aratati ca:

5.1.

5.2.

5.3. pe domeniul

R: Cele trei serii fiind uniform convergente de domeniul sunt valabile teoremele de derivare si integrare termen cu termen.

5.1.

5.2.

5.3.

6. Scrieti seriile Taylor in jurul punctelor indicate :

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

Solutii:

6.1. Cu substitutia z - 4 = u, pentru avem

R=1

6.2. a)

b)

Am tinut cont de faptul ca

si

6.4.

In discursul din

obtinem

Pentru dezvoltarea in jurul lui z = -1 avem:

Daca atunci si avem

si deci

Pentru dezvoltarea in jurul lui z = 1 avem

Daca atunci si deci

Pentru dezvoltarea in jurul lui z=2, pentru avem

si

se dezvolta corespunzator si avem

6.5.

Din faptul ca:

obtinem

7. Fie

Dezvoltati dupa puterile lui z in domeniile

7.1.

7.2.

7.3.

Solutie: Descompunand in fractii simple, avem

si pe fiecare din cele trei domenii, folosim dezvoltarea in serie geometrica

convergenta pentru

Obtinem astfel seria Taylor

daca deci seria Laurent

daca

8. Sa se gaseasca pe domeniile circulare seriile de puteri in z ale functiei

Solutie f(z) ale polii

daca

daca

daca

daca Tinand seama de aceste dezvoltari, obtinem trei dezvoltari diferite ale lui f corespunzatoare celor trei domenii.

9. Sa se gaseasca dezvoltarile in jurul punctului ale functiilor

9.1.

9.2.

9.3.

9.4.

9.5.

9.6.

si sa se indice natura acestui punct, tinand seama de forma dezvoltarii.

Solutie A dezvolta functia f(z) in jurul lui , inseamna a gasi o serie de puteri ale lui z ale acestei functii, convergenta in exteriorul unui cerc de raza arbitrar de mare. Daca aceasta serie contine

a)      numai puteri negative, este punct arbitrar b) punct singular in caz contrar

b)      pol daca numarul termenilor cu puteri pozitive este finit

c)      punct singular esential izolat in caz contrar (daca numarul termenilor de puteri pozitive este finit)

9.1. (care s-ar dezvolta pentru Dar noi avem nevoie de dezvoltare in jurul lui deci pentru . De aceea vom scrie in continuare astfel).

este punct ordinar.

este pol simplu.

9.3. coincide potrivit definitiei cu dezvoltarea sa in jurul lui care este polinom de ordinul n.

9.4.

este pol de ordinul doi.

9.5. Dezvoltam in jurul lui derivata functiei f(z).

pentru Revenind la functia initiala obtinem

Cum

si este punct ordinar.

pentru Deci este punct ordinar.

SERII FOURIER

Sensul vietii se inrudeste

Cu convergenta seriei.

Pornind de la discutia asupra coardei vibrante inceputa in anii 1750 intre Euler si d'Alambert, se ajunge la ideea lui D. Bernoulli de a reprezenta o curba definita pe intervalul [] printr-o serie de sinusuri si cosinusuri. Prin 1805 Fourier propune formulele pentru coeficientii acestei serii. Descoperirea lui Fourier produce un efect extraordinar si de-a lungul secolului al XIX-lea, este considerata ca una din cele mai importante teoreme ale analizei. Convergenta seriei Fourier nu a putut fi demonstrata decat prin 1829 de catre Dirichlet, utilizand functia monotona pe portiuni introdusa in 1821 de catre Cauchy.

Polinoamele lui Legendre sunt introduse de Legendre prin 1785 pentru rezolvarea ecuatiei lui Laplace in coordonate sferice. Prin lucrarile lui D. Hilbert (1906-1911), este posibila generalizarea teoriei dezvoltarilor ortogonale.

1. Sisteme ortogonale si coeficientii corespunzatori

Studiul sistemelor de functii

(T):

(E):

pe intervalul

Sistemul (T) il vom numi sistem trigonometric, iar sistemul (E) sistem exponential.

Definitie. Dat sistemul de functii definit pe intervalul spunem ca este sistem ortogonal daca produsul scalar pentru deci pentru daca F este sistemul real, respectiv pentru in caz complex.

Lema 1:

Consecinta: Sistemele (T) si (E) sunt sisteme ortogonale pe .

In continuare facem referiri la (2) si (5) din paragraful precedent (utilizand sistemele (T) si (E)).

Teorema 1. Daca f are exprimarea (2) sau (5) pe un interval de lungime al axei reale (de exemplu pe atunci:

(1)

respectiv

(2)

Demonstratie. Inmultind "exprimarea" (2) respective (5) cu cosmx si sinmx, respectiv si integrand de la la obtinem conform lemei formulele (1) si (2).

Remarca: Exprimarile (2) sau (5) pot avea loc intelegand diferite tipuri de convergenta: punctuala, uniforma sau in diferite norme cu care dotam spatiile functionale in care studiem seriile trigonometrice.

Vom spune ca avem o exprimare uniforma daca avem o convergenta uniforma. In teorema anterioara este vorba de exprimare uniforma. In acest caz " sunt premise" toate operatiile care apar in demonstratie (cum ar fi integrarea termen cu termen a unei serii uniform convergente).

Exprimari pe Sistemele (C) si (S) si coeficientii corespunzatori

Lema 2. Pe intervalul sistemele de functii:

(C) 1, cosx, cos2x,.,cosnx,.

(S) sinx, sin2x, . , sinnx, .

sunt ortogonale.

Demonstratie:

pentru .

Teorema 2. Daca pe :

(a) f are exprimarea uniforma atunci

(b) daca f are exprimarea atunci

Observatie: Teorema 2 poate fi completata cu urmatorul rezultat: f se poate prelungi pe toata axa reala pana la o functie periodica de perioada para incat

in cazul (a) si la o functie impara in cazul (b) cu exprimarea corespunzatoare. Intr-adevar, definind

(3)

si este para.

Definind

(4)

si este impara.

Prelungirea la toata axa se face prin periodicitate. In plus, functiile construite prin (3) si (4) le vom nota tot cu f in loc de si , fara a crea confuzii.

1.4. Un criteriu de convergenta uniforma

Teorema. Daca seria este convergenta, atunci

este absolut si uniform convergenta pe R spre o functie continua de perioada .

Demonstratie: Tinem cont de inegalitatea,

si teorema lui Weierstrass. Periodicitatea functiei suma rezulta din periodicitatea termenilor.

2. Serii trigonometrice Fourier

2.1. Seria corespunzatoare lui f de perioada T

Definitie. Coeficientii si definiti in teorema 1 se numesc coeficientii Fourier reali ai functiei f, iar seria corespunzatoare, seria trigonometrica Fourier. Analog, coeficientii se numesc coeficientii Fourier complecsi iar seria corespunzatoare, seria Fourier complexa a functiei f.

Daca f este o functie de perioada in formulele de definire ale lui si , respectiv , putem inlocui intervalul de integrare cu , fiind numar real oarecare.

Faptul ca atasam functiei f seria sa trigonometrica Fourier il vom nota

(5)

sau pe scurt in cazul real si sistemul (T), respectiv

(6)

sau f() in cazul complex cu sistemul (E).

Mai general, daca f este de perioada T atunci functiei f i se poate asocia seria trigonometrica Fourier

unde

(7)

Prin urmare, in acest caz folosim sistemul trigonometric care este ortogonal pe orice interval de forma unde pulsatia In mod analog, folosind sistemul exponential putem atasa seria sa trigonometrica

unde

Cand vrem sa punem in evidenta functia pentru care calculam coeficientii Fourier, notam

2.2. Liniaritatea coeficientilor ca functionale. Exprimari particulare ale coeficientilor

In cele ce urmeaza vom prezenta cateva prioritati ale coeficientilor Fourier.

Propozitia 1. Coeficientii si sunt functionale liniare, adica si analoagele

Demonstratie: se utilizeaza liniaritatea integralei definite. Proprietatea urmatoare se refera la cazurile particulare cand f este para, respective impara.

Propozitia 2. (i) Daca f este para de perioada T atunci

(9)

(ii) Daca f este impara de perioada T atunci

(10)

Demonstratie: Luam si din (7) deducem (9) si (10) tinand cont ca integrala definita pe un interval simetric dintr-o functie impara este nula si dintr-o functie para este de doua ori integrala pe jumatatea pozitiva a intervalului. Prezentam alte proprietati in paragraful seriilor Fourier in spatii Hilbert.

3. Aplicatii

1. Fie periodica de perioada pentru Scrieti seria Fourier corespunzatoare.

Solutie. F fiind para, conform formulelor (9) avem:

Deci

2. Fie Sa se prelungeasca f pana la o functie periodica, para, de perioada si apoi sa se dezvolte in serie Fourier trigonometrica.

Solutie: Conform formulelor (3) putem prelungi f prin paritate la

si pe R prin periodicitate.

si

Deci si

Sapte aplicatii Fourier

1. Se da functia prin

a)      Sa se determine seria Fourier asociata acestei functii pe intervalul .

b)      Sa se determine seria Fourier numai de cosinusuri asociata functiei pe .

Solutie

Functia f este continua pe R, este integrabila pe orice interval compact,

deci problema determinarii seriei Fourier asociate ei pe un anumit interval are sens.

a) Lungimea intervalului este . In acest caz formulele generale care ne dau coeficientii sunt

Rezulta ca seria Fourier asociata functiei f pe intervalul este

b) Pentru determinarea coeficientilor Fourier ai seriei numai de cosinusuri asociata functiei f pe avem , si

deci seria ceruta este

2. Sa se dezvolte in serie Fourier functia

Solutie

Functia f este o functie periodica de perioada de perioada si para, deci este suficient sa studiem problema numai pe . Functia este nemarginita pe acest interval, deci va trebui sa aratam ca este absolut integrabila in sens propriu pe . Dar f este integrabila Riemann pe orice interval deoarece este continua.

Apoi

deci in baza criteriului comparatiei rezulta ca f este absolut integrabila pe , deci putem determina coeficientii Fourier.

Functia f verifica conditiile din criteriul lui Lipschitz, deci seria Fourier asociata converge in catre , unde arbitrar, deci f este dezvoltabila in seria Fourier pe

deci

Inlocuind aici obtinem

deci

3. Sa se dezvolte in serie numai de sinusuri pe intervalul functia data prin

Solutie

deci pentru

4. Sa se dezvolte in serie Fourier functia

Solutie

Functia f(x) verifica conditiile din criteriul lui Dirichlet-Jordan pe este o functie para.

Scriind toate relatiile pentru n = 1, 2, ., n si adunand-le obtinem

deci

5. Fie

Sa se dezvolte in serie Fourier pe intervalul

Solutie

Functia data este continua pe si f(0) = f(3) = 1. Functia este monotona pe [0, 1], [1, 2] si [2, 3], deci este cu variatie marginita pe aceste intervale, deci si pe [0, 3] , deci este dezvoltabila in serie Fourier uniform convergenta pe acest interval.

daca n = 3k,