Preliminarii asupra functiilor convexe de o variabila reala

Preliminarii asupra functiilor convexe de o variabila reala

Fie Aplicatia

(1)

este un omeomorfism al lui [0,1] pe .Deci orice punct se reprezinta in mod unic sub forma ,cu .

Definitie 1

Fie H o parte a lui R,.Se numeste grafic(sau multime reprezentativa ) a functiei f,si se noteaza urmatoarea multime de puncte din :

(2)

Definitie 2

Fie H o parte a lui R, .Se spune ca punctul din se afla deasupra(respectiv strict deasupra) graficului functiei f daca si

(respectiv ).

O definitie corespunzatoare pentru punctele din care se afla sub(respectiv strict sub) graficul functiei daca si (respectiv ).

Lema 1

Fie si doua puncte din astfel incat Fie urmatoarea aplicatie liniara:

(3)

Atunci graficul functiei f este urmatoarea multime de puncte din

Demonstratie

Conform definitiei 1,graficul functiei f definite de (3) este:

(5)

Tinand seama insa ca orice punct se reprezinta in mod unic sub forma

,

si ca aplicatia

,

este un omeomorfism al lui pe ,din (5) rezulta (4).

Observatie

Este usor de vazut ca,geometric,graficul functiei f definita de (3) reprezinta multimea punctelor din plan situate pe segmentul inchis ce uneste punctele si .Tinand seama de aceasta observatie ,rezulta ca (4) este reprezentarea parametrica a segmentului inchis ce uneste punctele si

Definitie 3

Fie un interval al dreptei reale si fie o functie numerica finita.Functia f se numeste convexa in I daca pentru orice doua puncte si orice are loc relatia:

In cele ce urmeaza vom da o interpretare geometrica definitiei 3.Fie punctele si .Conform lemei 1, multimea punctelor din plan situate pe segmentul inchis se scrie astfel(vezi (2)):

(7)

Sa consideram pe de alta parte restrictia lui f la segmentul .Graficul acestei restrictii este:

(8)

Comparand (6),(7),(8),putem reformula definitia 3 astfel:

Definitie 4

Se spune ca functia numerica finita f,definita intr-un interval ,este convexa in I,daca pentru orice doua puncte ,orice punct cu al graficului functiei f se afla sub segmentul .

Definitie 5:

Se spune ca o functie numerica f,definita intr-un interval ,este strict convexa

in I ,daca pentru orice doua puncte si orice astfel incat

(9)

Evident,cu aceleasi argumente folosite pentru a obtine varianta geometrica a definitiei 3 sub forma definitiei 4,definitia 5 poate fi reformulata astfel:

Definitie 6

Se spune ca functia numerica finita f,definita intr-un interval ,este convexa in I,daca pentru orice doua puncte ,orice punct al graficului lui f cu se afla strict sub segmentul (sau,ceea ce este acelasi lucru,orice punct al segmentului diferit de extremitati se afla strict deasupra graficului lui f ).

Propozitie 1:

Daca f este continua pe ,atunci definitia 3 este echivalenta cu urmatoarea:

f este convexa pe daca pentru orice doua puncte :

(10)

Demonstratie

Este usor de vazut ca una dintre implicatii este imediata:daca (6) este adevarata pentru orice si orice ,atunci,pentru din (6) rezulta (10).Reciproc,vom dovedi ca daca f este continua in I si daca (10) este adevarata pentru orice ,atunci (6) este adevarata pentru orice ,si orice .Fie astfel:

(11)

A dovedi ca (6) este adevarata,pentru orice ,revine la a dovedi ca:

Presupunem ca nu este asa ,deci ca exista cel putin o valoare pentru care Este evident ca aplicatia este continua pe .

Fie Avem ,deoarece Fie cea mai mica valoare a lui din pentru care este atins:

Este clar ca deoarece in timp ce

Asadar,Exista deci un astfel incat si astfel incat in intervalul sa nu se mai gaseasca nici un alt punct in afara de care sa realizeze maximul lui pe

Scriind inegalitatea (10) pentru:

,rezulta

,

ceea ce contrazice faptul ca Asadar,negarea proprietatii conduce la contradictie.Rezulta ca ,ceea ce revine la (6).

In cele ce urmeaza,in afara unor cazuri ce vor fi mentionate special,functiile convexe sunt considerate conform definitiei 3.

Lema 2:

Fie f o functie numerica finita,definita intr-un interval si fie un punct interior al lui I.Daca f este convexa(respectiv strict convexa) in I,atunci aplicatia:

(12)

este crescatoare(strict crescatoare).

Demonstratie:

Fie Va trebui sa dovedim ca (respectiv ) .Avem: (13)

Deoarece ,sunt posibile numai urmatoarele trei cazuri:

1.;

2.

3.

Fie cazul 1 si fie f convexa.Atunci sunt adevarate urmatoarele:

a)      exista unic, astfel incat

;

b)

Tinand seama de 1,a si b in (13) rezulta:

egalitatea cu zero fiind consecinta a faptului ca din a) rezulta :

Se intelege,daca f este strict convexa,atunci b) se scrie sub forma:

,

Si cu acelasi rationament ca mai sus,din 1.a,c rezulta :

Demonstratia corespunzatoare cazurilor 2 si 3 se face cu o tehnica analoaga.

Teorema 1:

Fie un interval al dreptei reale,, o functie numerica finita convexa in I, un punct interior al lui I.Atunci exista derivata la dreapta a lui f in punctul (),exista derivata la stanga a lui f in punctul () si:

(14)

Demonstratie:

Conform lemei 2,aplicatia:

este crescatoare.Sa notam:

si consideram restrictia lui la ,pe care o vom nota .Aceasta restrictie este evident crescatoare pe si,in plus,marginita inferior.Fie,intr-adevar,.Utilizand lema 2,pentru orice avem:

(15)

Din faptul ca este crescatoare si marginita inferior pe rezulta ca exista si este finita urmatoarea limita:

(16)

cu alte cuvinte, exista si este finita.Pe de alta parte din (15) si (16) rezulta ca pentru orice :

(17)

Aceasta inegalitate arata ca ,care este evident crescatoare,este marginita superior si,deci exista si este finita urmatoarea limita:

(18)

cu alte cuvinte,exista si este finita Din (17) si (18) rezulta (14).Teorema este demonstrata.

Din teorema 1 rezulta imediat:

Corolar 1:

Fie un interval al dreptei reale, o functie numerica finita,convexa in I.Atunci f este continua in orice punct interior al lui I.

Demonstratie:

Fie un punct interior al lui I.Conform teoremei 1,exista ,deci f este continua la dreapta in punctul ,exista ,deci f este continua si la stanga in ,deci f este continua in .

Corolar 2:

Fie I un interval al dreptei numerice, f o functie numerica pe I convexa in I(respectiv strict convexa in I), si doua puncte interioare ale lui I astfel incat

Atunci:

, (19)

respectiv:

(20)

Demonstratie:

Sa observam ca si exista,in conformitate cu teorema 1.Vom analiza,mai intai,cazul f convexa.Deoarece si sunt puncte interioare ale lui
I cu ,fie

Aplicatia fiind crescatoare (din lema 1) rezulta:

,

de unde

(21)

Analog,aplicatia

fiind crescatoare rezulta :

,

de unde

(22)

Din (21) si (22) rezulta (19).

Sa presupunem acum ca f este strict convexa in I.Rezultatul exprimat de (19) si obtinut in ipoteza ca f este convexa ramane valabil si in cazul in care f este,mai mult,strict convexa.Ceea ce se vrea este intarirea acestui rezultat pana la (20).Fie Atunci,din partea stanga a dublei inegalitati (19) in care se inlocuieste b cu c,rezulta:

. (23)

Pe de alta parte, f fiind acum strict convexa in I,aplicatia :

este strict crescatoare,deci:

(24)

La fel,aplicatia :

este strict crescatoare,deci:

care se scrie,evident:,

(25)

Din partea dreapta a dublei inegalitati (19), in care se inlocuieste a cu c,rezulta:

(26)

Din (23),(24),(25) si (26) rezulta:

care contine,evident,dubla inegalitate (20).

Corolar 3:

Fie f o functie numerica finita pe intervalul ,convexa (respectiv strict convexa) in I.Atunci:

a) si sunt functii crescatoare (respectiv strict crescatoare) pe interiorul lui I;

b) multimea punctelor lui I in care f nu este derivabila este cel mult numarabila.

Demonstratie:

a)Fie,intr-adevar, si doua puncte interioare ale lui I cu Din teorema 1 (vezi (14)) si corolarul 2(vezi (19)),rezulta:

din care obtinem:

si .

In cazul in care f este strict convexa,in locul inegalitatii (19) se utilizeaza inegalitatea (20) si cu aceeasi tehnica ca mai inainte,obtinem:

si .

b)Fie E multimea punctelor interioare ale lui I in care f nu este derivabila.Se stie ca (vezi teorema 1) in orice punct interior al lui I, si exista si .De aceea,a spune ca x este punct interior al lui I si f nu este derivabila in x inseamna a spune ca x este un punct interior al lui I si .Asadar:

x interior lui I,

Sa consideram ,pentru fiecare punct ,intervalul deschis .Dat fiind ca , este nevid.Pentru orice doua puncte cu avem ,oricare ar fi si oricare ar fi .Intr-adevar,

Tinand seama de ceste inegalitati si de corolarul 2(vezi (19)) rezulta:

,

ceea ce demonstreaza afirmatia.Ori ,daca pentru orice cu avem ,oricare ar fi si oricare ar fi .,aceasta inseamna ca atunci cand x parcurge E,intervalele deschise ,nevide, sunt doua cate doua fara puncte comune.Multimea acestor intervale este deci numarabila,ceea ce atrage ca E insusi este o multime numarabila.

Fie f o functie convexa in I, un punct interior al lui I si (d) o dreapta ce trece prin punctul a carei ecuatie este:

Daca este astfel incat

,

atunci orice punct al graficului lui f se afla deasupra dreptei (d).Daca f este strict convexa,atunci punctul este singurul punct comun al lui cu (d).Intr-adevar,fie x un punct interior al lui I,.Tinand seama de corolarul 2(vezi(19)),avem:

,

de unde rezulta:

sau ,inca:

,

adica Daca x este punct interior al lui I astfel incat ,cu acelea;i argumente ca mai sus,avem:

sau inca

Afirmatia referitoare la cazul in care f este strict convexa se demonstreaza cu aceeasi tehnica,utilizand in locul inegalitatii (19) pe (20).

Reciproc, fie f convexa pe I, un punct interior al lui I, si dreapta (d) de ecuatie:

Daca graficul lui f este deasupra dreptei (d),atunci:

.

Intr-adevar,daca pentru orice ,avem:

,

adica

,

atunci,pentru ,din aceasta ultima inegalitate rezulta:

care atrage , iar pentru rezulta:

care atrage ,deci,

Definitie 7

Fie f o functie numerica finita pe un interval O dreapta (d) ce trece printr-un punct al graficului lui f se numeste dreapta suport la in acel punct daca toate punctele lui sunt situate deasupra lui (d).

Tinand seama de aceasta definitie si de rationamentul anterior ei,putem enunta:

Propozitie 2

Fie I un interval al dreptei numerice , o functie numerica finita,convexa in I, un punct interior al lui I.Necesar si suficient pentru ca o dreapta ce trece prin punctul sa fie dreapta suport pentru f in acel punct este ca coeficientul ei unghiular

sa satisfaca .Daca f este derivabila in ,atunci exista o singura dreapta suport la in punctul ,anume tangenta in acest punct la si reciproc.