Diferentiabilitate in sens Gateaux

Diferentiabilitate in sens Gateaux

Ideea fundamentala a calculului diferential este aproximarea locala a operatorilor neliniari cu operatori liniari.Multa vreme aceasta idee n-a fost pusa in evidenta datorita faptului ca in cazul dreptei reale (de fapt al oricarui spatiu real unidimensional) exista o corespondenta biunivoca intre functionalele liniare reale definite pe aceste spatii si numerele reale.Din acest motiv derivata unei functii reale de o variabila reala(intr-un punct) se defineste ca un numar.Data fiind si ,derivata lui f in punctul se defineste astfel:

(27)

In spiritul celor afirmate la inceput despre ideea fundamentala a calculului diferential,sa observam ca dreapta :

(28)

reprezinta    o aproximatie suficient de buna pentru f(x) daca x este suficient de aproape de ,asa cum se vede din formula :

(29)

Fie si .Este evident ca notiunea de derivata a lui f in introdusa cu (27) nu poate fi extinsa si la acest caz,pentru simplul motiv ca operatia nu are de data aceasta sens (nu se poate aduna un vector cu un scalar).Formula (27) sugereaza insa ideea de a defini derivatele partiale ale lui f in punctul ,dupa cum urmeaza:

Sa revenim la formula (27) .Fie Avem:

Interpretarea

are sens pentru f definita de la un spatiu vectorial X la un spatiu vectorial topologic Y,ceea ce conduce la urmatoarea definitie:

Definitie 8

Fie X un spatiu vectorial, Y un spatiu vectorial topologic si .Fie Se spune ca operatorul P este diferentiabil in sens Gateaux in punctul x dupa directia h daca exista urmatoarea limita:

(30)

Atunci se va numi diferentiala in sens Gateaux a operatorului P in punctul x dupa directia h.

Inspirati de cazul ,vom folosi in cele ce urmeaza notatia in loc de

.Uneori vom folosi terminologia    "G-diferentiabil" in loc de "diferentiabil in sens Gateaux".

Exemplul 1:

Operatorul este G-diferentiabil in orice punct dupa directia si Intr-adevar ,avem:

Exemplul 2:

Fie ,baza canonica din si Daca exista derivatele partiale ale lui f in punctul x ,,atunci f este diferentiabila in sens Gateaux in punctul x dupa directiile si

.

Intr-adevar,avem:

Exemplul 3:

Fie dupa cum urmeaza:

Este usor de vazut ca derivatele partiale ale lui f in punctul 0 exista si .

Conform rezultatului stabilit la exemplul 2 exista si avem :

Fie un vector oarecare din .Exista Pentru aceasta trebuie sa existe limita:

(31)

Se vede ca aceasta limita exista daca si numai daca h are una dintre formele:

si ca atunci:

(32)

Exemplul 3 arata ca pentru o functie existenta derivatelor partiale in punctul x nu este o conditie suficenta pentru ca f sa fie G-diferentiabila in punctul x dupa orice directie h.

Propozitie 3:

Fie X un spatiu vectorial,Y un spatiu vectorial topologic, si Daca P este G-diferentiabil in x dupa directia h,atunci P este G-diferentiabil in x dupa directia si :

. (33)

Demonstratie:

Daca sau ,propozitia este adevarata in virtutea exemplului 1.Putem presupune deci ca .Avem (utilizand faptul ca intr-un spatiu vectorial topologic inmultirea cu scalari este o operatie continua):

Definitie 9:

Se spune ca operatorul este G-diferentiabil in punctul daca este G-diferentiabil in x dupa orice directie Operatorul este G-diferentiabil pe X daca este G-diferentiabil in orice punct .

Fie G-diferentiabil in punctul si fie dupa cum urmeaza:

Operatorul se va numi diferentiala in sens Gateaux (G-diferentiabila) operatorului P in punctul x.Din propozitia 3 rezulta ca G-diferentiala lui P in punctul x este un operator omogen definit de la X la Y.In baza acestor observatii punem urmatoarea definitie:

Definitie 10:

Fie si multimea operatorilor omogeni definiti de la X la Y.Spunem ca P este G-diferentiabil pe X daca exista un operator astfel incat:

(34)

Notiunea de diferentiabilitate in sens Gateaux poate fi introdusa intr-un cadru mai general,anume pentru aplicatii ,X si Y fiind doua spatii vectoriale cu convergenta.Pentru scopul pe care il urmarim in lucrarea noastra ,cadrul spatiilor normate,reale este suficient.De aceea vom reformula definitia si vom obtine,in continuare cateva rezultate specifice.Inainte de a face acest lucru sa remarcam urmatoarele : in definitia diferentiabilitatii dupa Gateaux se pretinde ca numai in spatiul Y(spatiul in care P ia valori ) sa avem definita o topologie.Pe de alta parte,daca se introduce functia de variabila scalara

,

avem:

.

Aceasta a facut ca mult timp in analiza proprietatilor aplicatiilor G-diferentiabile sa se utilizeze numai proprietatile topologice ale dreptei reale R sau ale lui C.O serie de notiuni fundamentale,cum ar fi cea de convergenta,de exemplu,nu puteau fi insa discutate de o maniera convenabila.Aceasta a impus introducerea unei topologii si pe X.In cazul in care aceasta topologie este generata de o norma,chiar daca avem o micsorare a generalitatii,beneficiem de posibilitatea utilizarii puternicelor instrumente analitice de care dispune analiza functionala.

Fie asadar,X si Y doua spatii normate reale.Utilizam urmatoarele notatii:

-multimea operatorilor omogeni definiti de la X in

L(X,Y)-multimea operatorilor liniari definiti de la X in

. L(X,Y)- multimea operatorilor liniari si marginiti definiti de la X in

Definitie 11

Fie X si Y doua spatii normate reale si un operator (liniar sau neliniar).

a)      Operatorul P se numeste diferentiabil in sens Gateaux pe X(G-diferentiabil pe X) daca exista un operator (VP),

(35)

astfel incat:

(36)

b)      Daca exista un operator (DP),

(37)

astfel incat:

(38)

se spune ca P este G-diferentiabil cu diferentiabila in sens Gateaux liniara pe X.

c)      In sfarsit,daca exista P',

L    (X,Y)    (39)

astfel incat:

(40)

se spune ca P este derivabil in sens Gateaux pe X.

Evident,egalitatea (36) trebuie inteleasa astfel:

Semnificatii analoage pentru (38) si (40).

Daca in definitia 11 x apartine unei multimi , h ramanand arbitrar in X,se spune ca P este G-diferentiabil (respectiv G-diferentiabil cu diferentiala liniara,respectiv G-derivabil ) pe .Mai precis,avem urmatoarea definitie:

Definitie 12

Fie X si Y doua spatii normate reale si .Operatorul P se numeste G-diferentiabil pe multimea daca exista un operator (VP),

(41)

astfel incat:

(42)

Daca exista (DP),

(43)

astfel incat:

(44)

se spune ca P este G-diferentiabil pe ,cu diferentiala in sens Gateaux liniara.

In sfarsit,daca exista:

L   

astfel incat:

(46)

se spune ca P este derivabil in sens Gateaux pe .    (47)

Observatii

1.Daca este deschisa,definitia 12 are sens chiar daca P nu este definit pe tot spatiul ci doar pe .Fie,intr-adevar,.Exista o sfera deschisa astfel incat .Fie h arbitrar in X,.Pentru orice t cu ,punctul ,deci are sens si pentru a recalcula diferentiala in sens Gateaux a lui P in punctul x dupa directia h este suficient sa consideram:

2.Daca in definitia 12 se reduce la un punct,se obtine definitia diferentiabililtatii operatorului P intr-un punct.

3.Daca este liniar,atunci P este diferentiabil(cu diferentiala in sens Gateaux liniara pe X) si:

Intr-adevar,tinand seama de liniarittatea lui P,avem:

Evident,daca este liniar si marginit,atunci P este derivabil in sens Gateaux pe X si Aceasta ultima observatie arata ca diferentiabilitatea in sens Gateaux este o notiune interesanta numai pentru operatorii neliniari.

4.Observam ca daca in definitia 11 Y este dreapta reala cu norma data de modul,atunci se obtine definitia corespunzatoare pentru diferentiabilitatea in sens Gateaux a functionalelor neliniare pe spatii normate reale.In particular,definitia ce se obtine particularizand punctul c) al definitiei 11 va juca un rol important in cele ce urmeaza:

Definitie 13

Fie X un spatiu normat real,.Functionala f se numeste derivabila in sens Gateaux pe X daca exista operatorul

L   

astfel incat:

(48)