Rolul derivatelor in studiul functiilor

'Rolul derivatelor in studiul functiilor'

1. Originea geometrica si fizica a derivatei

1. Originea geometrica si fizica a derivatei

1.Problema tangentei

Fie o functie definita pe un interval I continua pe acest interval. Sa notam cu C graficul sau:

C=.

Graficul functiei este o curba in plan.

Fie un punct din I si (, f()) punctul corespunzator de pe grafic. Sa luam un punct oarecare x din I. Pe grafic ii corespunde punctul M(x,f(x)).

Unind punctele si M obtinem o dreapta care formeaza unghiul α cu axa Ox.

Paralela prin la Ox taie paralela prin M la Oy in punctul N. S-a format triunghiul dreptunghic NM care are cateta N de lungime x- si cateta MN de lungime f(x)-f() .

Coeficientul unghiular m=tg α al secantei M este dat de egalitatea

tgα=.

Luind alt punct din I, caruia ii corespunde pe grafic punctul (,f()), dreapta are coeficientul unghiular

tg=.

Pentru punctele x diferite, obtinem diferite secante M care au, in general, coeficienti un- ghiulari diferiti.

Daca x se apropie de , punctul M se apropie pe grafic de punctul . Se apropie oare si secanta M, ca pozitie de o dreapta T ? Sau, cu alte cuvinte, se apropie si coeficientul unghiular tg α al secantei M de o valoare tg?

Suntem astfel condusi sa consideram limita functiei tg α cand x, adica

.

Daca aceasta limita exista si este finita, spunem ca graficul C admite tangenta in punctul , si anume tangenta la grafic in punctul este, prin definitie, dreapta T al carei coeficient unghiular este

tg= .

Daca limita precedenta exista si este infinita (+ sau -), vom spune de asemenea ca graficul C admite tangenta in punctul , si anume tangenta la grafic in punctul este, prin definitie, dreaptaT paralela cu axa Oy ( dreapta a carei ecuatie este x= ).

2. Derivata

1.Definitia derivatei

Problema tangentei din paragraful precedent, ca de altfel si alte probleme din fizica , ne conduc, toate, la la cercetarea existentei limitei unui raport de forma . Data fiind importanta teoretica si practica a acestor probleme diferite, vom studia dintr-un punct de vedere unitar limita raportului considerat, independent de concreta din care provine.

Rezultatele obtinute pe aceasta cale se interpreteaza apoi pt. fiecare problema in parte, dupa specificul ei.

Fie o functie definita pe un interval I si un punct din I. Pentru fiecare punct din I, sa consideram raportul

R(x)= .

R(x) este o functie definita pentru toate punctele cu exceptia lui , in care numitorul (ca si numaratorul) se anuleaza. Desi functia R(x) nu este definita in , se pune problema existentei limitei acestei functii in punctul , deoarece este un punct de acumulare al multimii I-.

Definitie. Se spune ca functia f:IR este derivabila in punctulI, daca raportul R(x) are in punctul limita finita. Limita insasi se numeste derivata functiei f in punctul si se noteaza cu(

.

Pentru derivata ) se foloseste de asemenea notatiile:

si Df().

Pentru a se pune in evidenta argumentul x, se spune adesea ca ) este derivata lui f in raport cu x in punctul . In acest caz, mai ales, se foloseste notatia

si .

Daca limita raportului este infinita(sau -), ea se numeste de asemenea derivata functiei f in punctul si se noteaza tot cu ). In acest caz nu mai spunem insa ca functia este derivabila in . Vom distinge astfel expresia " functia f are derivata (fiind finita sau infinita)" de expresia "functia f este derivabila".

Tinand seama de diferitele definitii echivalente alae limitei , cu siruri, cu vecinatati, sau cu si,egalitatea

este echivalenta cu fiecare din propozitiile urmatoare:

1) oricare ar fi sirul ,(), avem

2) pentru orice vecinatate U a lui (), exista o vecinatate V a lui , astfel incat, oricare ar fi xVI ,, sa avem

.

3) daca () este finit,: pentru orice >0, exista un nr. =>0, astfel incat oricare ar fi xI, , cu <, sa avem

<.

Din studiul problemei tangentei rezulta urmatoarea interpretare geometrica a derivatei:

Daca functia f are derivata in punctul , graficul sau admite tangenta in punctul corespunzator ; daca derivata aste finita, coeficientul unghiular al acestei tangente este egal cu derivata (); daca derivata este infinita , tangenta este paralela cu axa Oy.

3.Derivata de ordin superior

1.Derivate de ordin superior

Fie f o functie definita pe un interval I ( sau pe o reuniune de intervale ) si un punct din I.

Daca functia f este derivabila pe o vecinatate V a lui , derivata sa , definita pe V, poate fi la randul sau derivabila in .

Definitie. Daca derivata este derivabila in punctul se spune ca funtia f este derivabila de doua ori in punctul ;derivata lui in se noteaza cu sau sau si se numeste derivata a doua ( sau derivata de ordinul 2) a functiei f in punctul :

.

Pentru a face deosebire , derivata () se mai numeste si derivata de ordinul intai a functiei f in punctul .

Observatie. Daca functia f este derivabile numai in punctul (sau pe o multime care nu are pe ca punct de acumulare), nu se mai poate defini derivata a doua a lui f in punctul . Asadar, daca functia f este derivabila de doua ori in , asta inseamna ca derivata intai este derivabila de doua ori in , aceasta inseamna ca derivata intai exista pe o intreaga vecinatate a lui .

Daca functia f este derivabila de doua ori pe intervalul I,se defineste derivata a doua a functiei f, pe intervalul I, ca fiind functia care asociaza fiecarui punct xI numarul .

Se definesc in mod asemanator derivata a treia, derivata a patra, etc.

Se defineste prin recurenta derivata de un ordin n oarecare (n N)

Definitie Daca functia f este derivabila de n-1 ori pe o vecinatate V a lui , si daca derivata este derivabila in , se spune ca functia f este derivabila de n ori in ; derivata lui in punctul se noteaza cu sau sau si se numeste derivata de ordinul n a functiei f in punctul :

.

2. Puncte de extrem ale unei functii

Fie o functie reala f definita pe un interval I.

Teorema lui Fermat afirma ca intr-un punct de extrem din interiorul intervalului, derivata functiei se anuleaza ( daca funcia este derivabila in acest punct).

Stim insa ca din ()=0 nu rezulta ca este un punct de extrem.

Se va arata mai departe ca, studiind semnul derivatei intr-o vecinatate a lui , putem decide daca este sau nu punct de extrem, si, in caz afirmativ, daca este punct de maxim sau de minim.

Daca nu cunoastem semnul derivatei in punctele din jurul lui, putem folosi derivatele de ordin superior ale functiei in punctul ( si numai in ) pentru a vedea daca este punct de extrem.

Teorema. Fie f o functie derivabila de n ori, n2, intr-un punct a I, astfel incat:

1) Daca n este par, atunci a este punct de extrem a lui f; daca (a)<0 atunci a este punct de maxim, iar daca (a)>0, atunci a este punct de minim.

2) Daca n este impar, iar a este punct interior al intervalului I, atunci a nu este punct de extrem al functiei f.

Corolarul 1.Fie f o functie derivabila de doua ori in punctul aI, astfel incat,(0)=0 si (a)0.

Daca (a)<0, atunci a este un punct de maxim.

Daca (a)>0, atunci a este un punct de minim.

Corolarul urmator stabileste o propritate reciproca:

Corolarul 2.Daca f este derivabila de doua ori intr-un punct interior aI si daca f are in a un minim, atunci (a)0, iar daca f are in a un maxim, atunci (a)0.

Corolarul 3.Daca f este derivabila de trei ori in punctul interior aI si daca (a)=0, (a)=0,(a)0, atunci a nu este un punct de extrem al functiei f.

Derivatele de ordinul intai si de ordinul doi ne dau indicatii importante asupra comportarii functiilor.

1.Derivata intai. Intervale de monotonie. Puncte de extrem

Fie f o functie definita pe o multime E, care este o reuniune (finita si infinita) de intervale.

Vom presupune ca functia f este derivabila pe multimea E, cu exceptia unei multimi finite sau numarabile de puncte din E.

Fie de asemenea o reuniune finita sau infinita de intervale.

Reamintim urmatoarele rezultate:

Daca derivata este strict pozitiva pe un interval I, atunci functia f este srict crescatoare pe I.

Daca derivata este strict negativa pe un interval I, atunci functia f este srict descrescatoare pe I.

Daca derivata nu se anuleaza pe un interval I, atunci pastreaza acelasi semn pe intreg intervalul I.

Din aceste proprietati deducem ca functia f este strict monotona pe aceleasi intervale pe care derivata nu se anuleaza.

Rezulta astfel calea de urmat pentru a determina intervalele pe care functia f este srict monotona (intervale de monotonie ale functiei):

1) Se determina multimea E pe care functia f este derivabila, si se

aza derivatacalculepe multimea .

2)Se determina punctele din , in care derivata se anuleaza (radacinile derivatei), adica se rezolva ecuatia

(x)=0 x

Se descompune multimea E in intervale dijuncte astfel incat pe nici un asemenea interval derivatanu se mai anuleaza. Aceste intervale, pe care derivata nu se anuleaza, se obtin din intervalele multimii E pe care este definita functia, impartindu-le mai departe prin punctele in care functia nu este derivabila si prin punctele in care derivata se anuleaza (presupunand ca derivata nu se anuleaza pe un interval intreg).

4) Pe fiecare interval I pe care derivata nu se anuleaza, ea pastreaza acelasi semn. Se determina semnul derivatei pe I , calculand valoarea derivatei intr-un singur punct din I.

5) In functie de semnul derivatei pe un interval I, se determina daca functia f este strict crescatoare sau strict descrescatoare pe I: daca are semnul +, f este strict crescatoare,iar daca f are semnul -, f este srict descrescatoare.

Rezulta apoi si punctele de extrem ale functiei:

a) Fie un punct interior al multimii E, in care functia f este continua, si fie I intervalul din E care-l contine pe si astfel ca derivata nu se mai anuleaza pe I, cu exceptia, eventual, a lui (daca f este derivabila in ).

Daca pe I functia f este srict crescatoare la stanga lui si este strict descrescatoare la dreapta lui , atunci este un punct de maxim al functiei.

Intr-adevar, deoarece f este strict crescatoare la stanga lui , functia are limita la stanga in si

f(x)<f(-0) daca x<, xI.

Deoarece f este srict descrescatoare la dreapta lui , functia are limita la dreapta in si

f(+0)>f(x) daca <x, xI.

Deoarece f este continua in avem f(-0)=f(+0)=f(),deci

f(x)<f(),oricare ar fi xdin I,

adica este un punct de maxim al functiei.

Se demonstreaza la fel ca:

Daca pe I functia f este strict descrescatoare la stanga lui si strict crescatoare la dreapta lui , atunci este un punct de minim al functiei.

Din aceste observatii rezulta urmatoarea regula:

Daca pe I, derivata are semnul + la stanga luisi semnul - la dreapta lui , atunci este un punct de maxim al functiei f; daca pe I, derivata are semnul - la stanga lui si semnul + la dreapta lui , atunci este punct de minim al functiei f.

Daca derivata are acelasi semn de o parte si de alta a lui , atunci nu este punct de extrem al functiei.

Daca functia f este derivabila in punctul de extrem ,atunci, conform teoremei lui Fermat, avem in mod necesar ()=0.

b) Sa presupunem ca punctul E este extremitatea stanga a unui interval IE, in interiorul caruia derivata nu se mai anuleaza, si ca functia f este continua in . Sa presupunem de asemenea ca nu este extremitate dreapta a unui interval din E. In aceste conditii:

Daca pe I (la dreapta lui ) derivata are semnul -, atunci este un punct de maxim;

Daca pe I (la dreapta lui ) derivata are semnul +, atunci este un punct de minim.

Intr-adevar, in primul caz, functia este strict descrescatoare la dreapta lui ,deci

f()=f(+0)>f(x) pentru xI,

adica este un punct de maxim, iar in al doilea caz functia este stric crescatoare la dreapta lui , deci

f()=f(+0)<f(x) pentru xI,

adica este punct de minim.

c) Sa presupunem ca punctul E este extremitatea dreapta a unui interval I (din care este formata multimea E) in interiorul caruia derivata nu se mai anuleaza , ca functia este continua in si ca nu este extremitate stanga a nuci unui interval din E. In aceste conditii:

Daca pe I ( la stanga lui ) derivata are semnul -, atunci este punct de minim;

Daca pe I (la stanga lui ) derivata are semnul +, atunci este punct de maxim.

Demonstratia este analoga cu cea a cazului precedent.

Observatie. In ultimele doua cazuri, functia f poate fi derivabila in , fara ca derivata sa se anuleza in .

Rezultatele privitoare la intervalele de monotonie si la punctele de extrem, se trec intr-un tablou cu trei linii: in prima linie se trec punctele care delimiteaza intervalele multimii E, punctele in care derivata nu exista si punctele in care derivata se anuleaza. In linia a doua se trece semnul derivatei . In linia a treia se trec extremele functiei, si se indica prin sageti comportarea functiei ( daca este strict crescatoare si daca este strict descrescatoare).

Exemplu. Fie functia f(x)=-x definita pe R.

Avem (x)= -1 pentru orice xR. Ecuatia -1=0 are solutia x=0. Intervalele pe care derivata nu se anuleaza sunt(-,0) si (0,+);pe primul interval avem (x)<0 deoarece (-1)=--1<0; pe al doilea interval avem (x)>0 deoarece (1)=-1>0.

Punctul 0 este punct de minim al functiei fsi f(0)==1. Tabloul variatiei functiei este :

X 0

- - - 0 + + +

f 1

Deoarece minimul functieie este 1, rezulta ca f(x) 1 pentru orice xR, adica -x 1 sau

x+1, xR.

Atunci, cu atat mai mult

>x, pentru orice xR.

Acest rezultat a fost obtinut anterior pe alta cale.

2. Derivata a doua. Convexitate si concavitate. Puncte de inflexiune.

Simpla cunoastere a faptului ca o functie f este, de exemplu, strict crescatoare pe un interval I, nu este totdeauna suficienta pentru a ne da seama de foram graficului sau.

De exemplu, functia f(x)=definita pe (0,+) este strict crescatoare, insa acest fapt nu este suficient pentru a decide daca graficul sau are forma indicata cu linie continua sau cea indicata cu linie intrerupta in fig1.

Y    x fig1 fig2

O functie derivabila f: IR poate fi strict crescatoare pe I in doua moduri, dupa cum tangenta la grafic, in fiecare punct, se afla sub grafic sau deasupra graficului. (fig2).

De asemenea, functia derivabila f poate fi strict descrescatoare pe I in daua moduri, dupa cum tangenta la grafic, in fiecare punct, se afla sub graficsau deasupra graficului (fig3).

In primul caz, graficul este o curba

convexa, iar in al doilea caz este o curba y

concava.

Vom da acum o definitie precisa a

concavitatii si convexitatii si vom arata ca

derivata a doua (daca exista) ne da indicatii

precise in aceasta privinta.

Fie f o functie derivabila pe un inter-

val I si un punct din I.

Tangenta la graficul functiei inpunctul

( ,f())are ecuatia 0

y=f()+()(x-). Fig3 x

Functia liniara

F(x)=f()+()(x-)

(definitape R)are ca grafic tangentaT (fig4)

Spunem ca tangenta T se afla sub grafic daca

F(x) f(x) pentru orice xI

si se afla strict sub grafic daca

F(x)<f(x) pentru orice xdin I.

Spunem ca tangenta se afla deasupra graficului daca

F(x) f(x) pentru orice xI

si se afla strict deasupra graficului daca

F(x)>f(x) pentru orice xdin I.

Definitie Functia f este convexa (respectiv strict convexa) pe intervalul I, daca tangenta dusa in orice punct al graficului se afla sub grafic (respectiv strict sub grafic).

Functia f este concava (respectiv strict concava) pe intervalul I, daca tangenta dusa in orice punct al graficului se afla deasupra graficului (respectiv strict deasupra graficului).

Spunem ca graficul functiei f este o curba convexa(strict convexa)sau concava (strict concava) daca functia are proprietatea y

respectiva.

Exemplu.O functie liniara f(x)=ax+b

are ca grafic o dreapta. Ea este in acelasi timp   

convexa si concava, deoarece tangenta intr-un T

punct oarecare al graficului coincide cu grafi-

cul, deci se afla in acelasi timp sub grafic si

deasupra graficului.

Reciproc,daca functia f este si concava

si convexa pe I, atunci tangenta intr-un punct f(x) F(x)

oarecare al graficului coincide cu graficul,deci

graficul este un segment de dreapta si deci func- 0 x x

tia este liniara.    Fig4

Fie f o functie derivabila de doua ori pe un iunterval I.

Daca functia f este convexa pe I, derivate a doua este pozitiva pe I.

Daca functia f este concava pe I, derivate a doua este negativa pe I.

Intr-adevar, sa presupunem ca f este convexa pe I si sa aratam ca derivata intai este crescatoare pe I, de unde va rezulta ca derivata sa este pozitiva pe I.

Fie <doua puncte oarecare din I.

Ducand tangenta la grafic in punctul (,f()), avem

(x) f(x) pentru orice xI,

unde (x)=f()+()(x-).

In particular, () f() adica

f()+()(-) f(). (1)

Ducand tangenta la grafic in punctul (,f()), avem de asemenea

(x) f(x) pentru orice xI,

unde (x)=f()+()(x-).

In particular, () f() adica

F()+ ()(-) f() (2).

Adunand membru cu membru inegalitatile (1) si (2) obtinem:

()(-)+ () (-)

sau

[()- ()](-)

si deoarece ->0, rezulta ()- () 0 sau () () adica derivata este crescatoare pe I si deci derivata a doua este pozitiva pe I.

In cazul cand f este concava, demonstratia se face la fel.

Observatie.Daca f este strict convexa pe I nu rezulta ca derivata a doua este srict pozitiva pe I.

Este posibil ca functia f sa fie strict convexa si derivata a douasa se anuleze in unele puncte.

Reciproc, avem insa urmatoarea

Propozitie.Fie f o functie derivabila de doua ori pe intervalul I.

Daca derivata a doua este pozitiva pe I, functia f este convexa pe I.

Daca derivata a doua este strict pozitiva pe I, functia f este strict convexa pe I.

Daca derivata a doua este negativa pe I, functia f este concava pe I.

Daca derivata a doua este strict negativa pe I, functia f este strict concava pe I.

Fie o functie f definita pe o multime E care este o reuniune (finita sau infinita) de intervale. Vom presupune ca functia f este de doua ori derivabila pe E, cu exceptia unei multimi finite sau numarabile de puncte din E. Multimea E, pe care f este derivabila de doua ori, este, de asemenea reuniune (finita sau infinita) de intervale.

Din propozitia precedenta deducem ca functia f este strict convexa sau strict concava pe acelasi interval pe care derivata a doua pastreaza acelasi semn. Deoarece derivata a doua are, de asemenea , proprietatea lui Darboux, deducem ca functia f este strict convexa sau strict concava pe acelasi intervale pe care derivata a doua nu se anuleaza.

Rezulta astfel calea de urmat, pentru determinarea intervalelor pe care functia este strict concava sau strict convexa:

1)Se determina multimeaE pe care functia f este derivabila de doua ori, si se calculeaza derivata a doua pe multimea .

2)Se determina punctele din in care derivata a doua se anuleaza, adica se rezolva ecuatia

(x)=0, x.

3)Se descompune multimea E in intervale disjuncte, astfel incat, pe nici un asemenea interval, derivata a doua sa nu se mai anuleze. Aceste intervale pe care derivta a doua nu se mai anuleaza se obtin din intervalele multimii E pe care este definita functia, impartindu-le mai departe prin punctele in care deivata a doua se anuleaza (presupunand ca derivata a doua nu se anuleaza pe un intreg interval).

4)Pe fiecare interval I pe care derivata a doua nu se mai anuleaza, ea pastreaza acelasi semn. Se determina semnul derivatei a doua pe intregul interval I calculand valoarea ei intr-un singur punct din I.

5)In functie de semnul derivatei a doua pe un interval I se determina daca functia f este strict convexa sau strict concava: daca are semnul +, f este strict convexa, iar daca are semnul-, f este strict concava.

La tabloul in care se trec rezultatele privind intervalele de monotonie si extremele unei functii se mai adauga o linie in care se trece semnul derivatei a doua . In prima linie trebuie trecute atunci si valorile argumentului in care functia nu este derivabila de doua ori, cum si radacinile derivatei a doua.

Exemplu. Fie functia f(x)= definita pe R-.

Avem:(x)= - si pentru orice x0

x - 0 +

- - - - - - - f 0 - + 0 - - - + + + + Pe intervalul (-,0) functia este concava, iar pe intervalul (0,+) functia este convexa.

In tablou am trecut si limitele functiei in punctele - si +:

=0 si =0,

cum si limitele laterale in punctul 0 :

.

Putem acum trasa graficul functiei (fig 5) y

De mai multe ori s-a vorbit inainte

despre puncte de inflexiune, si anume cu

ocazia definiriiderivatelor infinite si cu   

ocazia determinarii punctelor de extrem   

ale functiei cu ajutorul valorilor derivatelor   

succesive intr-un punct. 0 x

Fie f o functie definita pe un inter-

val I si un punct interior a lui I.

Definitie.Se spune ca punctul

interior este punct de inflexiune

al functie f, daca functia are derivata

(finita sau infinita) in punctulsi fig5

daca functia este convexa de o parte a lui

si concava de cealalta parte a lui .

Daca este un punct de inflexiune al functiei, punctul de pe grafic se numeste punct de inflexiune al graficului.

Geometric, a spune ca este un punc de inflexiune al graficului inseamna ca graficul admite tangenta in punctul (paralela sau neparalela cu axa Oy) si ca de o parte a lui graficul este o curba convexa, iar de cealalta parte a lui graficul este o curba concava sau ca de o parte a luitangenta se afla sub grafic, iar de cealalta parte a lui tangenta se afla deasupra graficului.

Rezulta ca tangenta dusa intr-un punct de inflexiune al graficului traverseaza graficul, deoarece de o parte a lui tangenta se afla sub grafic, iar de cealalta parte a lui tangenta se afla deasupra graficului.

Dupa ce s-au determinat intervalele pe care functia este strict convexa sau strict concava rezulta si punctele de inflexiune ale functiei:

Fie f o functie definita pe o multime E care este reuniune (finita sau infinita) de intervale, siun punct din interiorul unui interval al multimii E, astfel incat derivata exista (finita sau infinita).

Daca de o parte si de alta a lui derivata a doua are semne diferite, atunci este punct de inflexiune al functiei f.

Daca derivata a doua are acelasi semn de o parte si de alta a lui , atunci nu este punct de inflexiune al functiei.

Daca intr-un punct de inflexiune functia este derivabila de doua ori, atunci avem in mod necesar ()=0.

Intr-adevar, este punct de extrem al derivatei , deci derivata a lui se anuleaza in , conform teoremei lui Fermat.

Observatie.Daca derivata a doua se anuleaza intr-un punct , nu rezulta ca este punct de inflexiune.

Punctele de inflexiune in care derivata a doua se anuleaza se pot identifica fara a studia semnul derivatei a doua in jurul acestor puncte, ci semnul derivatelor succesive numai in aceste puncte:

Propozitie. Fie f o functie derivabila de n ori intr-un punct interior a al unui interval I. Daca :

, n

si n este impar, atunci a este un punct de inflexiune al functiei.

Corolar. Daca intr-un punct interior , avem

atunci a este punct de inflexiune al functiei f .

3. Asimptote

Fie o functie definita pe o multime E care este reuniune (finita sau infinita) de intervale .

In cazul cand functia f este nemarginita, sau multimea E este nemarginita, graficul functiei este o multime nemarginta de puncte din plan (in sensul ca nu exista nici un dreptunghi sau nici un cerc care sa contina graficul in intregime).

Spunem in acest caz ca graficul functiei are ramuri nemarginite.

Daca o ramura nemarginita a graficului se apropie necontenit (intr-un sens care va fi precizat mai departe) de o anumita dreapta, spunem ca aceasta dreapta este asimptota la graficul functiei. Pentru studiu, asimptotele se impart in doua categaorii: asimptote verticale (sau paralele cu axa Oy) si asimptote oblicae (sau neparalele cu axa Oy0

a)Asimptote verticale. Asiptotele verticale se definesc pentru functii nemarginite chia daca sunt definite pe multimi marginite.

Daca este punctul de acumulare (finit) al multimii E si daca cel putin una din limitele laterale f(-0) si f(+0) exista si este infinita, spunem ca dreapta

X=,

paralela cu axa Oy, este asimptota verticala la graficul functiei f.

Evident, daca xE si daca functia f este continua in , atunci limitele laterale sunt egale cu f(), deci sunt finite. Asadar, asimptotele verticale trebuie cautate in punctele de discontinuitate ale functie (mai precis in punctele de discontinuitate de speta a doua) si in punctele de acumulare ale lui E care nu apartin lui E (deci in care functia nu este definita).

Observatie Daca dreapta x= este asimptota verticala la graficul functiei f, distanta dintre grafic si asimptota, masurata pe orizontala, descreste necontenit cand punctul de pe grafic se departeaza necontenit (cand abscisa punctului de pe grafic se apropie de )

b) Asimptote oblice. Asimptotele oblice se definesc pentru functii definite pe multimi nemarginite, chiar daca functiile sunt marginite.

Daca multimea E pe care este definita functia este nemarginita la dreapta (nemajorata), atunci +este punct de acumularte al multimii E. In acest caz:

Spunem ca dreapta y=mx+n este asimptota (oblica) la ramura spre +a graficului daca

[f(x)-mx-n]=0.

In loc de "asimptota la ramura + a graficului" vom spune mai simplu "asimptota la +"

Daca multimea E este nemarginita la stanga (neminorata), atunci -este punct de acumulare al multimii E. in acest caz:

Spunem ca dreapta y=x+este asimptota (oblica) la ramura spre - a graficului daca

.

In loc de "asimptota la ramura - a graficului" vom spune mai simplu "asimptota    la -"

Vom studia intai asimptotele la +. Asimptotele la - se studiaza la fel.

Sa presupunem deci ca multimea E este nemajorata si ca dreapta y=mx+n este asimptota la +, adica

[f(x)-mx-n]=0.

Avem atunci

f(x)-mx=[f(x)-mx-n]+n

deci:

[f(x)-mx]=n.

Mai departe, pentru x>0, avem

,

deci

si, deoarece

=[-m]=m

rezulta

=m

Asadar, daca dreapta y=mx+n este asimptota la +, coeficientul unghiular m si ordonata la origine n verifica egalitatile urmatoare:

m= , n= [f(x)-mx] .

Reciproc, sa presupunem ca:

exista = m si este finita;

exista [f(x)-mx]=n si este finita;

atunci dreapta y=mx+n este asimptota la +.

Intr-adevar, in acest caz,

[f(x)-mx-n]= [f(x)-mx]-n=0.

Observatii. Daca nu exista sau este infinita, graficul functiei nu are asimptota la .

Daca exista =m si este finita, dar [f(x)-mx] nu ezista sau este infinita, graficul functiei nu are asimptota la .

Daca exista f(x)=a si este finita, atunci dreapta y = a este asimptota la , paralela cu axa Ox (asimptota orizontala).

Intr-adevar, [f(x)-a]=0.

3) Daca f(x) nu exista (nici finita, nici infinita), atunci graficul functiei nu are asimptota la .

Asadar, o conditie necesara ( dar nu suficienta) pentru ca graficul sa aiba asimptota la +este sa existef(x) (finita sau infinita). In cazul cand aceasta limita nu exista , este inutil a mai cauta asimptota la +

Din consideratiile precedente rezulta calea de urmat pentru a vedea daca exista asimptota la +, iar in cazul cand exista pentru a o determina :

1)Se cauta f(x).

Daca exista f(x)=a si este finita, atunci dreapta y=a este asimptota la +.

Daca exista limita f(x)si este infinita, atunci:

2)Se cauta .

Daca exista =m si este finita., atunci:

3)Se cauta [f(x)-mx].

Daca exista [f(x)-mx]=n si este finita, atunci dreapta y=mx+n este asimptota la +.

Sa presupunem ca multimea E este neminorata. Facand consideratii asemanatoare cu cele din cazul precedent, rezulta calea de urmat pentru a vedea daca exista asimptota la -,iar in cazul cand exista pentru a o calcula.

1)Se cauta f(x).

Daca exista f(x)=a si este finita, atunci dreapta y=a este asimptota la -.

Daca exista limita f(x) si este infinita, atunci:

2)Se cauta .

Daca exista = si este finita., atunci:

3)Se cauta [f(x)- x].

Daca exista [f(x)- x]= si este finita, atunci dreapta y=x+ este asimptota la -.

Observatii.Daca nu exista f(x), graficul functiei nu are asimptota la -.

Daca exista f(x) (finita sau infinita), dar nu exista sau nu este finita , atunci graficul functiei nu are asimptota la -.

Daca exista f(x) (finita sau infinita), si daca exista =m si este finita, dar [f(x)- mx] nu exista sau este infinita, atunci graficul functiei nu are asimptota la -.

4.Reprezentarea grafica a functiilor

Cercetarile cuprinse in cadrul acestui paragraf sunt suficiente pentru a putea trasa graficul unei functii care admite derivata de ordinul doi in toate punctele sau cu exceptia unei multimi numarabile de puncte. De cele mai multa ori se pune problema trasarii graficului unei functii elementare. In acest scop se procedeaza pe etape in modul urmator:

I) Domeniul de definitie.

1)Daca domeniul de definitie a unei functii elementare nu este specificat, se subintelege ca este domeniul maxim de definitie, format din toate punctele pentru care operatiile au sens. Se determina acest domeniu maxim de definitie.

2)Se calculeaza f(0) daca functia este definita in 0. In punctul (0,f(0)) graficul taie axa Oy.

3)Se rezolva f(x)=0. Solutiile acestei ecuatii, daca exista, reprezinta abscisele punctelor in care graficul taie axa Ox.

4)Daca domeniul de definitie este nemajorat, se cerceteaza f(x), iar daca domeniul de definitie este neminorat, se cerceteaza f(x).

II) Asimptotele.

1)Se cerceteaza daca exista asimptote verticale si, daca exista, se calculeaza aceste asimptote.

2) Se cerceteaza daca exista asimptote oblice si, daca exista, se calculeaza aceste asimptote.

III) Derivata intai.

1)Se determina multimea pe care functia f este derivabila si se calculeaza derivata intai .

2)Se rezolva ecuatia (x)=0. Radacinile derivatei intai pot fi puncte de extrem ale functiei.

3)Se determina intervalele pe care derivata intai pastreaza acelasi semn si se determina semnul derivatei intai pe aceste intervale.

IV) Derivata a doua.

1)Se determina multimea pe care functia f este derivabila de doua ori; se calculeaza derivata a doua.

2)Se rezolva ecuatia (x)=0. Radacinile derivatei intai pot fi puncte de inflexiune.

3)Se determina intervalele pe care derivata a doua pastreaza acelasi semn si se determina semnul derivatei a doua pe aceste intervale.

V) Tabloul.

Rezultatele obtinute anterior se trec, pentru sistemetizare, intr-un tablou cu linii orizontale.

1)In linia intai se trec valorile remarcabile ale argumentului, obtinute anterior (radacinile functiei, derivatei intai si derivatei a doua, punctele in care functia si derivatele nu sunt definite, extremitatile intervalelor pe care functia este definita, etc.). Daca domeniul de definitie este nemarginit, se trec si punctele +si -.

2)In linia a doua se trec rezultatele privind derivata intai; se trage o linie verticala in dreptul punctelor in care functia este definita, dar derivata intai nu este definita: de o parte si de alta a acestei linii se scriu limitele laterale ale derivatei intai, daca exista. Se scrie 0 in dreptul radacinilor derivatei si se trece semnul derivatei.

3)In linia a treia se trec valorile functiei in dreptul valorilor argumentului din linia intai. Se marcheaza cu sageti crestera sau descresterea functiei. Se trage o linie verticala in punctele in care functia nu este definita. De o parte si de alta a acestei linii se trec, daca exista, limiotele laterale ale functiei.

In dreptul lui +si - se trec limitele functieie in aceste puncte. Se marcheaza cu m, M si I, respectiv punctele de minim., de maxim si de inflexiune ale functiei.

4)In linia a patra se trec rezultatele privind derivata a doua; se trage o linie verticala in dreptul punctelor in care f sau derivata intai este definita, dar drivata a doua nu este definita. Se scrie 0 in dreptul radacinilor derivatei a doua. Se trece semnul derivatei a doua.

VI) Graficul.

Rezultatele sistematizate in tablou permit trasarea graficului functiei pe o bucata de hartie pe care s-a desenat un sistem de axe ortogonale Ox si Oy. Se traseaza intai asimptotele. Se trec apoi punctele (x,f(x)) care rezulta din tablou. In punctele de extrem ale graficului se traseaza un mic segment de dreapta orizontal. In punctele