REPREZENTAREA DREPTEI

REPREZENTAREA DREPTEI

1.PROIECTIILE DREPTEI

Reprezentarea unei drepte se realizeaza prin proiectiile ortogonale ale dreptei din spatiu pe planele de proiectie.

Pentru a determina proiectiile unei drepte D (figura 1), se proiecteaza doua puncte A si B care apartin dreptei, iar prin unirea proiectiilor de acelasi nume ale punctelor, se obtin proiectiile dreptei: ab - proiectia orizontala ; a'b' - proiectia verticala.

Proiectia unei drepte poate fi considerata si intersectia unui plan cu planul de proiectie, cu conditia ca acel plan sa contina dreapta si sa fie perpendicular pe planul de proiectie (figura 1, a).

Din reprezentarea unei drepte, rezulta ca, daca un punct apartine unei drepte, atunci proiectiile lui sunt situate pe proiectiile de acelasi nume ale dreptei: (figura 1).

URMELE DREPTEI

Urmele dreptei se numesc punctele in care dreapta intersecteaza planele de proiectie, purtand denumirea si notatia corespunzatoare planului respectiv (figura 2).

Punctul in care dreapta intersecteaza planul orizontal de proiectie se numeste urma orizontala a dreptei si se noteaza cu litera H. Fiind un punct continut de planul orizontal (figura 2, a), coincide cu proiectia orizontala h, iar proiectia verticala h' este situata pe axa Ox si proiectia laterala h' pe axa Oy.

Punctul in care dreapta intersecteaza planul vertical de proiectie se numeste urma verticala a dreptei si se noteaza cu litera V. Fiind un punct continut de planul vertical, coincide cu proiectia verticala , iar proiectia orizontala v si laterala , sunt situate pe axa Ox si Oz.

a.                                                 b.

Figura 2

Urma laterala W (w, w', w') se numeste punctul in care dreapta intersecteaza planul lateral de proiectie.

Pentru a determina in epura (figura 2, b), urma orizontala a dreptei, se prelungeste proiectia verticala d' pana intersecteaza axa Ox in punctul , iar din acest punct se traseaza linia de ordine pana intersecteaza proiectia orizontala d in punctul h, care reprezinta urma orizontala a dreptei.

Pentru a determina urma verticala a dreptei, se prelungeste proiectia orizontala d pana intersecteaza axa Ox in punetul v, iar din acest punct se traseaza linia de ordine pana intersecteaza proiectia verticala d' in punctul v', care reprezinta urma verticala a dreptei.

Pentru determinarea urmei laterale a dreptei, se prelungeste proiectia verticala d' pana intersecteaza axa Oz in punctul , iar din acest punct se traseaza linia de ordine paralela cu Ox pana interseeteaza proiectia laterala d' in punctul w', care reprezinta urma laterala a dreptei.

Urmele dreptei determina diedrele sau triedrele prin care trece dreapta.

In cazul din figura 2, dreapta trece prin diedrele IV, I si II sau prin triedrele IV, I, II si VI.

3. REGIUNILE SPATIULUI STRABATUT DE DREAPTA

Cunoscand proiectiile unei drepte (epura dreptei) se pot preciza regiunile spatiului strabatut de dreapta, daca se construies urmele dreptei. (adica se cunosc punctele in care drepta intersecteaza planele de proiectie ce impart spatiul in regiuni - diedre si triedre).

Pentru precizarea diedrelor strabatute de o dreapta se procedeata astfel:

se construiesc urmele h si ;

se considera arbitrar puncte pe dreapta situate intre urme si in afara urmelor;

se analizeaza semnul coordonatelor y si z.

Pentru precizarea octantilor strabatuti de o dreapta se procedeaza astfel:

se construiesc urmele h si ale dreptei;

se construiesc punctele de intersectie ale dreptei cu planele bisectoare (pentru care );

se aleg arbitrar puncte pe dreapta situate intre aceste puncte si in afara lor;

se analizeaza semnul coordonatelor y si z precum si relatia dintre ele ( sau ).

Pentru stabilirea triedrelor strabatute de o dreapta se procedeaza astfel:

se construiesc toate urmele dreptei;

se considera arbitrar puncte pe dreapta situate intre urme si in afara lor;

se analizeaza semnul coordonatelor x, y, si z ale punctelor.

4. POZITIILE PARTICULARE ALE DREPTEI

4.1.Drepte paralele cu planele de proiectie

Dreapta de nivel sau orizontala se numeste dreapta care este paralela cu planul orizontal de proiectie (figura 3). Proiectia verticala d' este paralela cu axa Ox, deoarece toate punctele dreptei D au aceeasi cota. Un segment AB, continut de dreapta D, se proiecteaza in adevarata marime pe proiectia orizontala d ; ab = AB. Unghiul , format de dreapta cu planul vertical, se proiecteaza in adevarata marime pe planul orizontal, fiind egal cu unghiul format de proiectia orizontala d cu axa Ox.

a. b.

Figura 3

Dreapta de front sau frontala se numeste dreapta paralelai cu planul vertical de proiectie (figura 4). Proprietatile mentionate la dreapta de nivel se regasesc in mod analog si la dreapta de front.

Dreapta de profil se numeste dreapta care este paralela cu planul lateral de proiectie (figura 5). Proiectiile d si d' sunt perpendiculare in acelasi punct pe axa Ox. Pozitia unei drepte de profil este determinata prin doua proiectii numai in cazul cand una dintre ele este proiectia laterala, sau cand este reprezentata prin proiectiile dublu ortogonale a doua puncte apartinand dreptei.

4. Drepte perpendiculare pe planele de proiectie

Dreapta perpendiculara pe unul din planele de proiectie este paralela cu una din cele trei axe de coordonate (si implicit cu celelalte doua plane de proiectie).

Dreapta verticala se numeste dreapta care este perpendiculara pe planul orizontal de proiectie (figura 6). Proiectia orizontala a dreptei se transforma intr-un punct, iar proiectia verticala d' si laterala d' sunt perpendiculare pe axa Ox si Oy.

a. b.

Figura 6

Dreapta de capat se numeste dreapta care este perpendiculara pe planul vertical de proiectie (figura 7). Proiectia verticala a dreptei se transforma intr-un punct, iar proiectiile d si d' sunt perpendiculare pe axa Ox si Oz.

a. b.

Figura 7

Dreapta fronto-orizontala sau paralela cu axa Ox se numeste dreapta care este perpendiculara pe planul lateral de proiectie (figura 8). Proiectiile ab si sunt paralele cu axa Ox, iar proiectia laterala se transforma intr-un punct.

a. b.

Figura 8

Dreapa concurenta cu axa Ox are proiectiile d si d', concurente in aeelasi punct pe axa Ox, care corespunde si cu urmele dreptei (figura 9).

Dreptele continute in planele de proiectie au proiectiile de nume contrar situate pe axele de proiectie. In figura 10 este reprezentata dreapta D continuta pe planul vertical de proiectie. Proiectia orizontala d este situata pe axa Ox, iar proiectia laterala d' pe axa Oz.

5. POZITIILE RELATIVE A DOUA DREPTE

Doua drepte in spatiu pot avea una din urmatoarele pozitii relative:

sa fie paralele;

sa fie concurente;

sa nu fie nici concurente si nici paralele (drepte oarecare).

Dreple paralele. Doua drepte paralele au proiectiile de acelasi nume, paralele intre ele (figura 11).

Se considera dreptele paralele D si D₁, continute de planele paralele P si P₁, perpendiculare pe planul H. Planele paralele P si P₁ se intersecteaza cu planul H, dupa doua drepte paralele, deci proiectiile d si d₁ sunt paralele intre ele.

Doua drepte paralele determina un plan si sunt continute de un plan.

Drepte concurente. Doua drepte concurente (figura 12) au proiectiile de acelasi nume concurente, iar punctele de intersectie a proiectiilor sunt situate pe aceeasi linie de ordine.

Doua drepte concurente determina un plan si sunt continute de un plan.

Drepte oarecare sau disjuncte. Doua drepte oarecare nu determina si nu pot fi continute de un plan. In figura 13 se prezinta cateva exemple privind reprezentarea a doua drepte oarecare.

Figura 11

Figura 12

Proiectiile unghiului drept. Un unghi drept se proiecteaza tot ca un unghi drept, daca cel putin o latura este paralela cu planul pe care se proiecteaza (figura 14). Se considera doua drepte perpendiculare D si D₁, dreapta D fiind paralela cu planul de proiectie H. Dreapta D₁ se considera continuta de planul Q, perpendicular pe planul H, cu care se intersecteaza dupa dreapta notata cu Q_h. Proiectia dreptei D₁ pe planul H va fi d₁, care va coincide cu dreapta Q_h (). Dreapta D este perpendiculara pe planul Q, deci si pe dreapta Q_h. Dreapta D fiind paralela cu proiectia d, rezulta ca cele doua proiectii d si d₁ vor fi perpendiculare. Se observa ca daca se considera o alta dreapta D₂ continuta de planul Q, aceasta va avea proiectia d₂ pe planul H, confundata cu Q_h, , deci proiectia d va fi prependiculara si pe proiectia d

Proiectiile unghiului drept se utilizeaza pentru reprezentarea dreptelor perpendiculare si determinarea distantelor.