SIRUL LUI FIBONACCI - exercitiu

SIRUL LUI FIBONACCI

x₁ = 1, x₂ = 1, x_n = x_n-1 + x_n-2, nN, n

Sa se arate ca: x_n = , nN*.

Rezolvare: utilizam metoda inductiei matematice.

Notam p(n): x_n = , nN*.

a) Verificare: p(1): x₁ = = = = 1, adevarat.

b) Demonstratia: p(k)p(k+1): presupunem p(k) adevarata si demonstram ca p(k+1), este adevarata, kN*.

p(k): x_k = kN* si relatia de recurenta:

p(k+1): x_k+1 = kN*.    Avem, conform relatiei de recurenta (*)

x_k+1 = x_k +x_k-1 =

=

=

= =

kN*, deci p(k+1) este adevarata.

Concluzie: Conform principiului inductiei matematice, ( din a) si b) ), rezulta ca p(n) este adevarata,

N*.

Observatie: 1) Am utilizat: 3+ ; 2) Am utilizat: 3 -