Serii Fourier

Teorema (relatia Parserd-Liapuner)

Ecuatia de inchidere

Pe continua si periodica cu perioada principala T=2 si notez cu (a) si (b) sirul coeficientilor Foresier asociati fet.

Atunci are loc urmatoarea relatie:

[f]dx=+ (1)

fara demonstratie

Def: Se numeste solutie a ecuatiei cu derivate partiale de forma (1) y:1)cu urmatoarele proprietati:

a) admite derivate partiale de ordinul al II-lea

b)
F(x,y,(x,y),)=0

( , , , , , , , , )

Def: Daca functia de mai sus este solutie a ecuatiei cu derivate de forma (1) atunci suprafata =1S.

S:Z= se numeste suprafata integrala a ecuatiei cu derivate partiale (1)

DEF: a,b,c:D

D:D*functia continua.

Se numeste ecuatie cvasiliara in fct z=z(x,y? O ecuatie de forma:

a(x,y) (2)

Cauchy ptr ec cvasiliara (2) este urmatoarea: sa se gaseasca o unica suprafata integrala a ecuatiei cvasiliara (2) ,suprafata care sa contina o    data ( si dealungul lui sa ca plan un plan dat.

Vom presupune ca seris (2) este uniform convergenta si daca notam cu S(x) numele acestei serii atunci se obtine:dx=

=C

Din relatia de mai sus se obtine urmatorul rezultat important:

Daca f este tocmai suma seriei Fourier atunci coef Fourier este dat de formula:

C

!!!Ecuatii cu derivate partiale de ordinul al II-lea

(Ec. Fizica-matematica)

Notatiile lui Monge

Pt o functie de 2 variabile x:D,z(x,y) se utilizeaza urmatoarele relatii ale lui Monge:

P s=

G= t=

R=

Problema:vom cauta sa aducem ec cvasiliara (2) la o forma mai simpla numai forma canonica (sa apara mai putine derivate de gradul al II-lea de functii Z)

Pt aceasta vom utiliza schimbari de variabill de forma: (4) care sunt regulate

(pe D

Atunci se poate considera o transformare inversa: x=x(u,v)

Y=y(u,v) si atunci functia necunoscuta devine z[x(u,v),y(u,v)]

Formulele de schimbare de variabila sunt:

Ec. Fizice-matematice

O ecuatie cu derivate partiale de ordinul al II-lea cvasiliara este de forma a(x,y) (1)

Unde z:D Ec. Caracteristica asociata ec. cvasiliare (1) este

a,b,c

a(y (2)

Folosind o schimbare regulata de variabila

(2) ec cvasiliara (1) devine

A(u,v) (4)

Unde A(u,v)=a()+2b

B(u,v)=a

C(,v)=a

Teorema (reduceri la forma canonica)

schimbari regulate de variabile astfel incat ec. cvasiliara (1) se reduce la forma canonica si anume:

1)Daca este de tip hiperbolic atunci are forma canonica.

(6)

2)Daca este de tip parabolic atunci f. Canonica

(7)

Introducand formulele de mai sus in ecuatia cvasiliara (2) se obtine urmatoarea ecuatie:

Inmultesc cu a,c,2b ecuatia de mai sus.

A(u,v)=

Unde:

A(u,v)=a

B=a

C=a

Th (reducerea la forma canonica) transformari regulate de variabilein ec. cvasiliara (2) poate fi adusa la forma canonica:

Daca este de tip hiperbolic atunci forma canonica este:

Daca ecuatia e de tip parabolic atunci forma canonica va fi: )

Daca ecuatia e de tip elaptic atunci forma canonica va fi:

OBS importanta:Alegerea functiei pentru v este la atitudinea rezolvatorului.Se poate alege si alta functie!!

Tinand seama de schimbarea de variabila (11)

B= deoarece c0 se obtine forma canonica dorita (7)

(3) Deoarece <0 se obtin doua radacini complexe conjugate din ecuatia caracteristicilor.

(2)

Derivand partial si inlocuind in ec (9) se obtin urmatoarele relatii dupa ce au fost separate partile reale si imaginare ale numerelor complexe.

a

a* (13)

Comparand relatiile (12) si (13) cu relatia (5) suntem condusi la urmatoarea schimbare regulata de variabila:

Utilizand aceasta schimbare de variabila se obtine conf. rel. (12) ca A=C si folosind relatia (13) B=0, cu =-AC=-A

3) Daca ecuatia cvasiliara este de tip eliptic

Demonstratie:

(1) D(x,y)>0 (H) atunci solutia ecuatiei caracteristica (2) se obtin

Prin derivare obtinem:

=0 ; i =

Introducand in ecuatia caracteristicilor (2) se obtine:

a (9)

Comparand ultimele relatii cu primele 2 relatii (5) suntem condusi la urmatoarea schimbare de variabila:

Atunci se obtine A=C=0 si din ec (4) se obtine imediat forma canonica (6)

(P) Notez (10)

Se disting mai multe cazuri:

i)daca a=0 sau c=0 b=0 si stunci se obtine forma canonica cautata.

ii)daca a-c atunci se poate utiliza urmatoarea schimbare de variabila:(11)

2) (ec de tip parabolic)

Utilizand th. Precedenta se face urmatoarea schimbare regulata de variabile: obtinandu-se urmatoarea ecuatie canonica: integarandu-se obtinem ecuatia:

solutia generala cautaa unde f si g sunt 2 functii reale arbitrare de clasa C.

2) (ec de tip eliptic) conform th. Precedente ec canonica este si solutia nu se poate exprima prin functii reale oarecare.

Ec. cvasiliare cu coeficienti constanti omogene

In raport cu derivatele de ordinul al II-lea

Sunt de forma:

a (1)

a,b,c

vom cele 3 conuri dinstincte ec de tip hiperbolic atunci sol. Ecuatiior caracteristice (2) sunt:

si tinand seama de th de mai sus se folosesc urmatoarele schimbari regulate de variabila: obtinandu-se urmatoarea ec:

integrand ec de mai sus se obtine:

unde f si g sunt arbitrari de clasa C

Ec.coardei vibrante

Metoda schimbarii variabilelor (a lui D'Alambert)

Prin coarda se intelege un fir elastic fara greutate ,se inconvoaie in mod liber; daca acest fir este lasat are lungime l; il consideram pe axa reala si luom un punct M(x).

M

A(l)

M(x)

Daca punctele coardei oscileaza intr'un plan perpendicular pe OA, atunci deplasarea de la M la M este o functie u:u=u(x,t) care depinde de abscisa x si de timpul t; se poate demonstra ca absenta unor forte exterioare coardei,functia u de mai sus verifica (1) unde:

este o constanta care depinde de structura coardei.

OBS: D.p.d.v.d clasificarii ec coardei vibrante este de tip hiperbolic si se pot aplica rez. Din paragraful precedent.

(2) Ec. cu derivate partiale (1) mai este numita si ecuatia undelor deoarece este intalnita in numeroase probleme de propagare a undelor (acustice,optice,electromagnetice).

(3) Daca se considera ca firul este nemarginit in ambele sensuri atunci pe langa ec cu derivate partiale (1) se adauga urmatoarele conditii initiale:

(C.I.) (miscarea la momentul initial t=0)

(viteza la t=0)

Asadar schimbarea de variabila este:

U(x,y)=x+y

V(x,y)=3x-y    in ec canonica

conform celor de mai sus

z(x,y)=f(x,y)+g(3x-y)

Ptr a rezova pb Cauchy se obtine urmatorul sistem:

4f(x)=6x

g(3x)=

g(x)=

z(x,y)=

z(x,y)=

z(x.,a)=3x

1)Din modul in care a fost obtinuta solutia de mai sus rezulta ca ea este unica; metoda dolosita poarta numele de schimbare a variabilelor sau metoda lui D'Alambert + Euler.

Coarda vibranta finita

Acceleratia vibratiilor cuardei finite :Metoda separarii variabilelor (a lui Fourier)

vibratiilor cuardei este: (1) unde fct. necunoscuta este u=u(x,t)

In general se considera urmatoarele conditii initiale: (2) miscarea la modul initial=f(x)

Conul coardei finite se mai sonsidera conditii la limita:

(3) 0 L

Conditiile (3) arata ca ptr cuarda finita capetele ei sunt fixate

In cazul de mai sus functia necunoscuta este u:

(3)

ecuatiile de mai sus sunt obtinute de clasa C

II-a ec

(x)=

(x)=f(x)

si relatia (3) se obtine sol ec cuardei vobrante,colutie a ..

2) k=0 si folosind conditiile (7) se obtine ca X=0 (X

3)k<0 se noteaza k=- cu

Ec. (5) devine avand solutiile:

X(x)=C cos sin

Din prima conditie (7) se obtine:

asadar valorile proprii obtinute sunt de forma:

K iar functiile proprii ale problemei S-L sunt de forma: X

Introducand val proprii obtinute in ec cu coeficienti constanti nr (6) se obtine urmatoarea

solutie:

in consecita se obtine urmatoarea solutie particulara a ec cuardei finite:

D. Bomeulli a considerat in loc de functia U seria si presupunand ca sunt indeplinite toate conditiile de regularitate,suma acestei serii se noteaza cu u(x,t)

(8)

OBS: Trecerea de la functia U la seria de mai sus poarta numele de principiul nepropunerea efectelor.

Metoda lui Fourier: ptr a determina sol ecuatiei relatiilor cuardei finite consta in aflarea unei solutii particulare de forma:

(adica au fost separate variabilele) (4)

Punand conditia ca functia data de relatia (4) sa verifice ec cuardei vibrante se obtine:

In ultima relatie membrul stang depinde numai de varibila x iar membrul drept numai de variabila t si deci cei 2 termeni sunt egali cu o constanta:

; k

(5)

T (6)

Folosind conditiile la limita (3) in relatia (4) se ibtine:

X(0)=0=X(l) (7)

OBS importanta: determinarea valorilor constantei reale x ptr care ec cu coef constantu (5) are solutie nenula. Pe intervalul [0,l] si acre verifica conditiile este numita problema Stuorm-Liouville; valorile constantei x de mai sus poarta numele de vlori proprii ale problemei S-L,iar functiile X=X(x) corespunzatoare sunt numite functii proprii.

Se disting 3 cazuri:

k>0 atunci ec caracteristica asociata cu coef constanti (5) este avand

solutiile iar solutia este X(x)= ptr a determina constantele C1 si C2 se folosesc cond (7) obtinandu-se:

pt x=0:

Din c.i. ale problemei se obtine B

In A

Ecuatia neomogena a vibratiilor cuardei

(11) unde fenomenul liber din ecuatia (11) este numita forta perturbatoare.

Sol ec neomogene (11) care verifica conditiile initiale (2) si conditiile la limita (3) o vom alege de forma: u(x,t)=U (12) unde U este solutia generala a ec omogene a cuardei vibranta (1) sol care verifica conditiile initiale (2) si conditiile la limita (3).

U este sol particulara a ec neomogene (11) solutie care verifica conditiile la limita (3) si urmatoarele conditii initiale : (13) in cazul coardei finite solutia a fost determinata prin metoda lui Fourier in care se priveste solutia particulara U o vom alege de forma urmatoare: (14)

Unde functiile T sunt reale.

In conditii de regularitate si introducand in ec neomogena (11) se obtine:

(15)

Se presupune acum ca functia perturbatoare poate fi dezvoltata in serie Fourier in raport cu x si vom face aceasta dezvoltare in serie de astfel:

(15) unde

Comparand relatiile 15 se obtine urmatoarea ec cu coef combinti:

Daca fct data de relatia (8) verifica conditiile initiale (2) se obtine:

(9)

OBS f importanta: Se procedeaza ca in cazul seriilor Fourier prelungind functiile f si g prin imparitate pe intervalul [-l;0] si apoi dezvoltand in serii de sinusuri fvt obtinute (se pp indeplinite conditiile Th lui Driblet)

Atunci coeficientii A si Bau urmatoarea forma:

2) k=0

3)k<0 si notez k=at sol ec (6) devine:

T(t)=Cl iar sol ec dif (6) devine:

X(x)=C

Din conditiile (4) se obtine:

OBS:1) in cazul barii infinite dispar conditiile la limita (3) si atunci seris (7) este inlocuita de urmatoarea integrala: u(x,t)=

Daca se utilizeaza transformate Fourtier atunci se pot calcula coeficientii A si B.

A

2)ec neomogena a caldurii este de forma: iar solutia ei se obtine in conul unei bari finite la fel ca sol ec coardei vibrante si comune: u(x,t)=u

Ecuatia Caldurii

Fie o bara rectilinie (situata pe axa OX) si omogena ca si continut.Vom nota prin u=u(x,t) temperatura intr'un punct M(x) si la momentul t. Daca bara este izolata termic (adica nu exista schimb de caldura) intre bara si mediul ambiant atunci temperatura ce verifica urmatoarea ecuatie num ec caldura: (1)

Apare o singura conditie initiala: u(x,0)=f(x) (2) temperatura in bara la momentul initial t=0

OBS: 1)Ec cu derivate partiale (1) este de tip parabolic caci

2)Ec cu derivate partiale (1) mai este intalnita si in cazul altor fenomene din stiinta si tehnica.

Vom studia conul unei bari de lungime finita l si vom adauga la conditiile (1) si (2) urmatoarele conditii la limita: u(0,t)=u(l,t)=0 (3) aduica temperatura la cele 2 capete ale barii finite este nula.

Ptr a determina rel ec caldurii in conul unei bari finite vom utiliza metodele lui Fourier si D. Bermoulli (metoda separarii variabilelor de mai sus)

U(x,t)=X(x)*T(t)

Conditiile la limita (3) se vor da X(0)=0=X(l) (4) si introducand fct u de mai sus in ec caldurii (1) se obtin urmatoarele 2 ec:

K

Problema lui Neumann

Sa se determine o fct u continua pe D,armonica pe D daca se cunosc valorile derivatei dupa normala la domeniul D pe frontiera :

g=fct cont. data

OBS:1)orice problema Neumann poate fi redusa la o problema Dirichlet:

2)Problemele Dirichlet si Neumann de mai sus se pot enunta si ptr domeniul D

Problema lui Dirichlet

Consta in gasirea unei functii u continua pe D armonica pe D si conul in care se unesc valorile fct u pe lautura domeniului D=

OBS:1)daca domeniul D este marginit,atunci problema drichlet este numita interioara; daca comeniul D este nemarginit atunci problema lui Dirichlet este numita exterioara si aceasta problema poate fi rezolvata daca la conditiile (22) se adauga o conditie de finitudine.

2)Tinanad seama de faptul ca o functie armonic isi atinge extremul pe frontiera a domeniului,se arata cu usurinta ca solutia problemei lui Dirichlet este unica.

Calculul probabilitatii

Notiunile de experienta si eveniment sunt notiuni primare care au intelesul in limbajul coerent.

Experientele sunt considerate aleatoare (adica intamplatorii)

Exemple: 1)Se considera experianta aleatoare a aruncarii unui zar. Se not (1),(2),,(6) evenimentul aparitiei fetei cu un pct, 2 pct,.,6 pct

Evenimentul (1,2,3,4,5,6) se noteaza cu E si s.n. evenimentul sigur; el se realizeaza cu certitudine la fiecare efectuare a experientei.

(1,3)=(1) SAU (3)

Notam cu evenimentul imposibil care nu se realizeaza la nici o efectuare a experientei.

Camp de evenimente.Probabilitate

X multime

P(x)= sistem complet de evenimente si fie x eveniment si presupun P(Ai)

Atunci are loc urmatoarea formula:P(x)= (conditionat de Ai)

Formula lui Boyes

-la ipotezele teoremei precedente se adauga conditia ca P(x). Atunci are loc urmatoarea formula:

Variabile aleatorii

In viata curenta apar marimi avand valori aleatorii (intamplatoare):de exemplu nr de baieti din 100 de nou nascuti,nr de zile ploioase dintr-un anin Bucuresti,etc.

Si notez :V:

OBS: se spune ca functia V ia valoarea se realizeaza evenimentul .

DEF: Fct V de mai sus s n variabila aleatorie daca pt orice amultimea

OBS importanta: 1)Daca valorile unei variabile aleatoare sunt finite sau numarabile atunci variabila aleatoare respectiva s. n. Directa; in cazuri particulare in care multimea valorii este finita, variabila aleatoare s n simpla.

2)Daca multimea valorilor unei variabile aleatoare este nenumarabila atunci variabila aleatoare V s n continua.

Def: Fie V variabila aleatoare ji F functia ec de repartitie . Daca si derivabila a i F at S n densitate de repartitie | de probabilitate

.Caracteristici numerice are variabilelor aleatorii: ipoteza de lucru:se considera ca variabila aleatoerie V este fie discreta fie distribuita. De tip continuu avand densitatea

fvt continua.

Def: S. n. Media variabilei aleatorii V un nr real notat M(V)=