EXTREME CONDITIONATE

Fie unde

submultime nevida a lui A.

Definitia VI.2.1 (extrem conditionat)

Un punct se numeste punct de extrem conditionat de B pentru functia f, daca restrictia lui f la B, f_B , are in un extrem local.

Valoarea se numeste extrem conditionat de B pentru f.

Definitia VI.2.1 este echivalenta cu

Definitia VI.2.2

Un punct se numeste punct de maxim (minim) conditionat de B pentru f , daca astfel incat pentru are loc

, (respectiv )

Fie cu functii reale si

In acest caz, un punct de extrem conditionat de B pentru f se mai numeste si punct de extrem cu legaturi pentru f, iar valoarea se mai numeste extrem cu legaturi pentru f.

Teorema VI.2.3

Fie o functie de clasa C¹ pe multimea deschisa unde , cu sunt functii de clasa C¹ pe A.

Daca este un punct de extrem conditionat de B pentru f si

atunci exista p numere reale (multiplicatorii lui Lagrange), astfel incat punctul (x₀, y₀) verifica sistemul:

unde .

Demonstratie

Functia , este de clasa C¹ pe A. In plus, si

Atunci, in baza Teoremei functiei implicite, , si o multime deschisa , astfel incat de clasa C¹ pe , astfel incat:

Derivand aceste relatii in raport cu , obtinem:

(1)

Fie adica .

Deoarece, prin ipoteza, (x₀,y₀) este un punct de extrem conditionat de B pentru f, punctul x₀ va fi un punct de extrem local al lui j

Din conditia necesara de extrem local pentru functia j rezulta ca adica:

(2)

Fie sistemul liniar de p ecuatii cu p necunoscute t_j

(3)

Deoarece, prin ipoteza , sistemul (3) are o solutie unica .

Cu solutia construim functia definita prin:

(4)

Sa aratam ca punctul verifica sistemul din enuntul teoremei. Intr-adevar:

deci (x₀, y₀) este solutie a sistemului.

Observatia VI.2.4

Reciproca Teoremei VI.2.3. este falsa. Prin urmare, Teorema VI.2.3 stabileste numai o conditie necesara de existenta a punctelor de extrem conditionat.

In cazul particular cand f si h_j, sunt functii de clasa C² pe A, vom obtine rezultate suplimentare.

Fie un punct stationar (critic) al functiei:

,,

unde sunt valorile corespunzatoare ale multiplicatorilor lui Lagrange.

Vom studia semnul diferentei:

(5)

unde

In aceste puncte, evident, .

Asadar, studiul semnului lui d revine la cercetarea diferentei :

Folosind formula lui Taylor-Lagrange in jurul punctului si faptul ca este punct stationar al lui H, avem:

Procedand in acelasi mod ca in Teorema IV.3.4, semnul diferentei d este dat de semnul formei patratice:

pentru acele valori ale lui , pentru care .

Rezulta ca variabilele , nu sunt independente, intre ele existand p relatii de legatura.

Diferentiind formal relatiile de legatura:

obtinem sistemul de p ecuatii:

de unde, in , avem:

(6)

Cum matricea sistemului (6) are rangul p, putem rezolva acest sistem cu regula lui Cramer, exprimand in mod unic p necunoscute in functie de celelalte n necunoscute.

Putem presupune, de exemplu, ca am exprimat pe in functie de .

Inlocuind aceste expresii in forma patratica Φ, obtinem o forma patratica Φ₁ in .

Daca matricea formei patratice Φ₁ este pozitiv (negativ) definita, atunci este punct de minim (maxim) pentru f.

Din cele prezentate pentru functiile     de clasa C² pe A, rezulta urmatoarele etape pentru aflarea punctelor de extrem conditionat:

Se construieste functia:

, cu , nedeterminati.

Se rezolva sistemul:

Se cerceteaza semnul formei patratice Φ₁, obtinuta dupa procedeul expus.