Spatii vectoriale - Notiunea de spatiu vectorial. Exemple

Spatii vectoriale

Notiunea de spatiu vectorial. Exemple

Pe intreg parcursul acestui capitol prin corp vom intelege un corp comutativ.

Definitia 1.1: Fie K un corp avand elementul unitate notat cu 1. Un spatiu vectorial peste corpul K sau un K-spatiu vectorial este un grup abelian (V ) impreuna cu o operatie externa

numita inmultire cu scalari, cu urmatoarele proprietati:

a(v+u)=av+au ,

(a+b)v=av+bv ,

(ab)v=a(bv) ,

1v=v ,

pentru orice .

Elementele lui K se numesc scalari, iar cele ale lui V vectori. Vom nota prin scalarul nul si prin vectorul nul.

Obsevatie: De cele mai multe ori, in exercitii sau exemple se va lucra cu spatii vectoriale peste corpul numerelor reale R sau peste corpul numerelor complexe C. In aceste situatii vom spune ca avem un spatiu vectorial real, resp. un spatiu vectorial complex.

Propozitia 1.2: Fie V un K-spatiu vectorial, si . Atunci:

1. daca si numai daca sau ;

2. .

Demonstratie:

1. Fie . Atunci , de unde, prin scadere in ambii membri a termenului , obtinem ca . Asemanator se demonstreaza ca .

Reciproc, presupunem ca . Daca , atunci a este inversabil in K si vom avea:

2. Se foloseste punctul 1. al propozitiei precum si relatiile:

si .

Exemple 1.3: 1. Orice corp K are o structura de spatiu vectorial peste el insusi, daca vom considera ca si operatie externa chiar inmultirea din corpul K.

2. Fie K un corp si . Definim:

.

Pe multimea o operatie de adunare:

si o inmultire cu scalari:

, .

Se arata fara dificulate ca multimea este un K-spatiu vectorial. De mentionat ca elementul neutru al operatiei de adunare este , iar opusul elementului este .

3. Din Capitolul , rezulta ca multimea a vectorilor liberi din spatiu este un spatiu vectorial real, fata de adunarea vectorilor liberi si inmultirea vectorilor liberi cu scalari (numere reale). In acest exemplu deosebit de important, elementul neutru este vectorul liber nul , iar opusul unui element este (opusul lui ca vector liber).

4. Fie R corpul numerelor reale, si

multimea polinoamelor cu coeficinti reali, de grad cel mult n. devine un un spatiu vectorial real fata de operatiile de adunare a polinoamelor si inmultire a polinoamelor cu numere reale.

De asemenea, multimea a polinoamelor cu coeficienti reali impreuna cu operatiile mentionate anterior are o structura de spatiu vectorial real.

5. Daca in Exemplul 3 se inlocuieste peste tot corpul numerelor reale R cu corpul numerelor complexe C (avand deci polinoame cu coeficienti complecsi), vom obtine doua exemple de spatii vectoriale complexe.

6. Multimea a vectorilor liberi din spatiu, impreuna cu operatiile de adunare a vectorilor liberi si de inmultire a vectorilor liberi cu scalari, devine un spatiu vectorial real.

7. Multimea

a functiilor continue definite pe intervalul cu valori reale, impreuna cu operatiile de adunare a functiilor si inmultire a functiilor cu numere reale, capata o structura de spatiu vectorial real.

8. Fie . Atunci multimea a matricelor cu m linii si n coloane si componente reale, impreuna cu operatiile de adunare a matricelor si de inmultire a matricelor cu numere reale, devine un spatiu vectorial real.

Dependenta si independenta liniara

Definitia 2.1: Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si Spunem ca vectorul v din V este o combinatie liniara a vectorilor cu scalari din corpul K daca exista astfel incat:

.

In acest caz, scalarii se numesc coeficientii combinatiei liniare.

Definitia 2.2: Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si

1. Spunem ca vectorii sunt liniar dependenti daca exista , nu toti nuli, astfel incat:

.

In acest caz notam .

2. Spunem ca vectorii sunt liniar independenti daca nu sunt liniar dependenti, adica daca din orice relatie de forma

,

cu , rezulta cu necesitate ca . In acest caz notam .

Observatii: Primele trei afirmatii sunt consecinte imediate ale definitiei precedente:

1. Orice multime de vectori care are o submultime liniar dependenta este liniar dependenta.

2. Orice submultime a unei multimi liniar independente este liniar independenta.

3. Orice multime care contine vectorul nul este liniar dependenta.

4. Daca V este un K-spatiu vectorial si v este un vector din V, atunci daca si numai daca . Intr-adevar, daca presupunem atunci, din observatia precedenta . Reciproc, presupunem ca . Consideram scalarul astfel incat . Presupunem prin absurd ca . Deoarece K este corp, este inversabil si , contradictie. Deci , adica .

Exemple 2.3: 1. In spatiul vectorial real vectorii:

, , ,

(vectorul are 1 pe pozitia i si 0 in rest) sunt liniar independenti.

Intr-adevar, fie astfel incat . Succesiv obtinem: de unde rezulta ca .

2. In spatiul vectorial real versorii sunt liniar independenti. Intr-adevar, daca sunt trei scalari astfel incat , din unicitatea descompunerii unui vector liber dupa trei directii necoplanare rezulta ca .

3. In spatiul vectorial complex vectorii sunt liniar independenti, deoarece polinomul este polinomul nul daca si numai daca toti coeficientii sunt nuli.

4. Se considera spatiul vectorial real al functiilor continue si vectorii , , . Atunci vectorii si sunt liniar dependenti, deoarece .

5. In spatiul vectorial real vom nota cu matricea care are 1 pe pozitia (i,j) si 0 in rest. Atunci vectorii , cu , , sunt liniar independenti.

Propozitia 2.4: Fie V un K-spatiu vectorial si . Vectorii sunt liniar dependenti daca si numai daca exista un indice i , astfel incat sa fie o combinatie liniara a celorlalti n-1 vectori.

Demonstratie:

Presupunem ca sunt liniar dependenti. Atunci exista scalarii , nu toti nuli, astfel incat

. (1)

Fie scalarul care este cu certitudine nenul. Atunci este inversabil. Astfel, din relatia (1), obtinem ca

,

deci este o combinatie liniara a vectorilor

Reciproc, daca este o combinatie liniara a vectorilor , atunci exista scrierea

.

Rezulta ca

.

Cum , putem concluziona ca sunt liniar dependenti.

Prin negarea propozitiei precedente se obtine urmatorul rezultat:

Corolar 2.5: Fie V un K-spatiu vectorial si . Atunci vectorii sunt liniar independenti daca si numai daca pentru orice indice i , vectorul nu este o combinatie liniara a celorlalti n-1 vectori.

Propozitia 2.6: Fie V un K-spatiu vectorial si . Vectorii sunt liniar independenti daca si numai daca orice scriere a unui vector v din V ca o combinatie liniara a vectorilor se realizeaza in mod unic, adica daca avem scrierea , cu , , atunci coeficientii ai combinatiei liniare sunt unic determinati.

Demonstratie:

Presupunem mai intai ca sunt liniar independenti si consideram arbitrar. Daca prin absurd v ar admite doua scrieri distincte ca si combinatie liniara a vectorilor , atunci ar exista scalarii astfel incat

,

cu pentru macar un indice . Obtinem ca

,

cu , deci sunt liniar dependenti - contradictie. Asadar scrierea lui v ca o combinatie liniara a vectorilor este unica.

Reciproc, presupunem ca scrierea oricarui vector v din V ca o combinatie liniara a vectorilor se realizeaza in mod unic. Consideram si observam ca . Orice alta scriere de forma implica . Deci sunt liniar independenti.

Sistem de generatori. Baza a unui spatiu vectorial

Definitia 3.1: Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si Spunem ca vectorii formeaza un sistem de generatori al spatiului V daca orice vector din V este o combinatie liniara a vectorilor , adica pentru orice exista scalarii , astfel incat

.

Exemple 3.2: 1. In spatiul vectorial vectorii:

, , ,

formeaza un sistem de generatori: daca este un vector arbitrar din , atunci avem evident egalitatea .

2. Versorii constituie un sistem de generatori al spatiului vectorial , deoarece orice vector liber se poate scrie ca o combinatie liniara a acestor versori cu anumiti scalari.

3. In spatiul vectorial , al polinoamelor cu coeficinti reali, de grad cel mult n, vectorii formeaza un sistem de generatori, orice polinom de grad cel mult n scriindu-se ca o combinatie liniara a monoamelor precedente..

4. In spatiul vectorial , matricele , cu , , alcatuiesc un sistem de generatori: daca este o matrice din , atunci are loc egalitatea .

Obsevatie: In fiecare din exemplele precedente s-au gasit, pentru spatiile vectoriale mentionate, sisteme de generatori finite (cu un numar finit de elemente). Totusi exista si spatii vectoriale care nu admit sisteme de generatori finite. Spatiul vectorial , al polinoamelor cu coeficienti reali, este un astfel de exemplu.

Definitia 3.3: Un spatiu vectorial care admite o multime finita de generatori se numeste spatiu vectorial finit generat.

Definitia 3.4: Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si o multime de vectori din V. Vom spune ca B este o baza a spatiului vectorial V daca:

1. vectorii din B sunt liniar independenti;

2. vectorii din B formeaza un sistem de generatori al lui V.

Exemple 3.5: 1. In spatiul vectorial vectorii:

, , ,

formeaza o baza.

2. In spatiul vectorial , monoamele formeaza o baza.

3. Pentru spatiul vectorial , multimea reprezinta o baza.

Propozitia 3.6: Fie V un K-spatiu vectorial si o multime de vectori din V. Atunci B este o baza a lui V daca si numai daca pentru orice exista si sunt unici cu proprietatea ca

.

Demonstratie:

Din Definitia 3.1, existenta scalarilor este echivalenta cu faptul ca vectorii multimii B formeaza un sistem de generatori al lui V. Unicitatea scalarilor este echivalenta, conform Propozitiei 2.6, cu liniar independenta vectorilor din multimea B.

Definitia 3.7: Scalarii din propozitia precedenta se vor numi coordo-natele vectorului v in baza B.

Lema 3.8: Fie V un K-spatiu vectorial si un sistem de generatori al lui V. Daca exista un indice i, , astfel incat sa fie o combinatie liniara a celorlalti vectori, atunci multimea ramane un sistem de generatori al spatiului V.

Demonstratie:

Fie arbitrar ales. Deoarece S este un sistem de generator al lui V, exista scalarii cu proprietatea ca

. (1)

Pe de alta parte, deoarece este o combinatie liniara a vectorilor din , exista scalarii astfel incat

. (2)

Inlocuind relatia (2) in relatia (1) obtinem egalitatea

,

ceea ce arata ca este unsistem de generatori al lui V.

Teorema 3.9: Fie V un K-spatiu vectorial finit generat. Atunci din orice sistem de generatori al lui V se poate extrage o baza pentru V.

Demonstratie:

Fie un sistem de generatori al spatiului vectorial V. Fara a restrange generalitatea, putem presupune ca toti vectorii din S sunt nenuli (altfel se elimina din S vectorii nuli si ce se obtine va ramane in continuare un sistem de generatori al lui V).

Vom demonstra teorema utilizand metoda inductiei matematice.

Daca atunci . Cum , conform unei observatii anterioare, avem , care, impreuna cu ipoteza ca S este sistem de generatori, conduce la concluzia ca este o baza a lui V.

Presupunem teorema adevarata pentru spatiile vectoriale care admit un sistem de generatori avand vectori si o vom demonstra pentru spatiile vectoriale care admit un sistem de generatori format din n elemente . Distingem urmatoarele doua cazuri posibile:

1. Vectorii multimii sunt liniar independenti. Atunci, evident, este o baza a spatiului vectorial.

2. Exista cel putin un vector in multimea care este o combinatie liniara a celorlalti vectori din multime. Fie acest vector. Atunci, din Lema 3.8, ramane un sistem de generatori spatiului vectorial. Doarece are elemente, putem aplica ipoteza inductiva si astfel, din multimea se poate extrage o baza a spatiului vectorial.

Teorema 3.10: Fie V un K-spatiu vectorial, un sistem de generatori al lui V si o multime liniar independenta de vectori din V. Atunci:

;

2. Putem inlocui r vectori din sistemul de generatori, (eventual dupa o renumerotare) fie acestia , cu vectorii astfel incat multimea obtinuta sa fie, de asemenea, un sistem de generatori al lui V.

Demonstratie:

Vom demonstra teorema prin inductie matematica dupa r.

Daca , atunci evident . Din ipoteza ca este un sistem de generatori al lui V, obtinem existenta scalarilor astfel incat

(1)

Deoarece avem , rezulta , deci cel putin un scalar care apare in combinatia liniara din relatia (1) este nenul. Putem presupune, eventual renumerotand vectorii , ca . Astfel, va fi inversabil, care, impreuna cu relatia (1), conduce la

45 (2)

Cum este sistem de generatori al lui V, din relatia (2) rezulta ca este, de asemenea, un sistem de generatori al lui V.

Presupunem acum teorema adevarata pentru un sistem liniar independent avand vectori si vrem sa o demonstram in cazul unui sistem liniar independent cu r vectori. Daca este multime liniar independenta, atunci si este liniar independenta. Folosind ipoteza inductiva, obtinem ca si ca , dupa o eventuala renumerotare, este unsistem de generatori al lui V. Daca am avea , atunci ar fi un sistem de generatori al lui V, deci ar fi o combinatie liniara a vectorilor , contradictie cu liniar independenta multimii . Asadar , de unde rezulta ca .

Pentru a doua afirmatie a teoremei folosim faptul ca este un sistem de generatori al lui V. Astfel, exista scalarii cu proprietatea ca

(3
Deoarece multimea este liniar independenta, atunci cel putin unul dintre scalarii este nenul. Putem presupune, dupa o eventuala renumerotare, ca deci inversabil. Din relatia (3) vom obtine ca

Din egalitatea precedenta si din faptul ca este un sistem de generatori al lui V, rezulta ca este un sistem de generatori al lui V, iar teorema este demonstrata.

Corolar 3.11: Fie V un K-spatiu vectorial finit generat. Atunci orice doua baze ale lui V au acelasi numar de elemente.

Demonstratie:

Fie si doua baze ale lui V, avand m si respectin n elemente. In particular este sistem liniar independent de vectori, iar este un sistem de generatori al lui V. aplicand teorema precedenta obtinem ca . Schimbam acum rolul lui cu al lui si facand acelasi rationament gasim . Din cele doua inegalitati rezulta ca , deci cele doua baze au acelasi cardinal.

Din corolarul de mai sus reiese ca numar de elemente dintr-o baza este un invariant al spatiului vectorial, adica acest numar nu depinde de baza aleasa, ci numai de spatiul vectorial considerat. Astfel, are sens urmatoarea definitie:

Definitia Numarul de elemente dintr-o baza oarecare a unui K-spatiu vectorial finit generat V se numeste dimensiunea spatiului vectorial si se noteaza .

Exemple 3.13: Din Exemplele 3.5 putem deduce cateva dimensiuni de spatii vectoriale importante:

;

;

;

;

Tot din Corolarul 3.11, rezulta ca daca un spatiu vectorial are o baza formata dintr-un numar infinit de vectori, atunci orice alta baza va contine tot un numar infinit de vectori. In acest caz, vom spune ca avem un spatiu vectorial infinit dimensional si notam .

Un exemplu de spatiu infinit dimensional este , deoarece nu putem gasi un sistem finit de generatori al lui si deci cu atat mai mult nu exista o baza a lui cu un numar finit de elemente.

Rezultatele prezentate in urmatorul corolar sunt consecinte imediate ale Teoremei schimbului. Fiecare dintre acestea sunt deosebit de folositoare in aplicatii in care se cere sa se verifice daca un anumit numar de vectori formeaza o baza intr-un spatiu vectorial.

Corolar 3.14: Fie V un K-spatiu vectorial cu . Atunci:

1. Orice multime de m vectori din V, cu , este liniar dependenta;

2. Orice multime de n vectori din V este baza a lui V daca si numai daca este multime liniar independenta;

3. Orice multime de n vectori din V este baza a lui V daca si numai daca multimea reprezinta un sistem de generatori al lui V.

Exercitiul 3.1: Sa se arate ca multimea

este o baza a spatiului vectorial . Determinati coordonatele vectorului in aceasta baza.

Solutie: Deoarece multimea B are 3 elemente si , este suficient sa aratam, conform Corolar 3.14 2., ca B este o multime liniar independenta. Consideram scalarii astfel incat , adica

.

Folosind operatiile de pe spatiile vectoriale de tipul , egalitatea precedenta este echivalenta cu relatia si mai departe cu sistemul:

Avem astfel un sistem liniar omogen cu numar egal de ecuatii si necunoscute. Deoarece determinatul coeficientilor

este nenul, sistemul este de tip Cramer, deci compatibil determinat (i.e. are solutie unica). Cum sistemul este omogen, el are solutia banala. Deci unica solutie va fi si astfel putem conchide ca vectorii multimii B sunt liniar independenti.

Pentru ultima parte a exercitiului trebuie sa gasim scalarii cu proprietatea ca , adica . Ultima egalitate este echivalenta cu sistemul:

Rezolvand sistemul, gasim .

Subspatii vectoriale

Definitia 4.1: Fie V un K-spatiu vectorial. O submultime nevida S a lui V se numeste subspatiu vectorial al lui V daca cele doua operatii date pe V induc pe S o structura de K-spatiu vectorial.

Propozitia 4.2: Fie V un K-spatiu vectorial si S o submultime nevida a lui V. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1. S este un subspatiu vectorial al lui V;

2. sunt indeplinite conditiile:

a) , pentru orice

b) , pentru orice si ;

, pentru orice si .

Demonstratie:

2. Afirmatia este clara deoarece S este parte stabila in raport cu operatiile de pe V.

3. Fie si arbitrari alesi. Folosind conditia b) obtinem ca , de unde, utilizand conditia a), rezulta ca .

1. Fie arbitrari. Considerand si , din afirmatia 3. rezulta ca , adica S este un subgrup al lui V. Luam acum si in afirmatia 3. si obtinem ca . Toate conditiile din definitia spatiului vectorial sunt adevarate, deoarece elementele lui S se afla si in V, deci S poseda o structura de K-spatiu vectorial impreuna cu operatiile de pe V.

Observatie : Orice subspatiu vectorial contine vectorul nul al spatiului vectorial (se ia in conditia 2b).

Exemple 4.3: 1. Daca V este un spatiu vectorial, atunci multimea este un subspatiu vectorial al lui V, numit subspatiul nul. Orice subspatiu diferit de spatiul vectorial V si de subspatiul nul se numeste subspatiu propriu.

2. Submultimile

sunt subspatii vectoriale ale lui . (Acest exemplu are urmatoarea interpretare geometrica: axele de coordonate Ox si resp. Oy sunt subspatii vectoriale ale planului xOy).

Intr-adevar, fie si arbitrari. Atunci , cu , iar . In consecinta, folosind Propozitia 4.2, obtinem ca este subspatiu vectorial al lui . Analog se demonstrea-za ca este subspatiu vectorial al lui .

3. Spatiul vectorial este un subspatiu vectorial al spatiului , deoarece , pentru orice si .

4. Multimea (a matricelor simetrice de ordin n), precum si multimea (a matricelor antisimetrice de ordin n) sunt subspatii vectoriale ale spatiului vectorial al matricelor patratice de ordin n.

5. Multimea a functiilor derivabile definite pe intervalul [a,b] cu valori reale este un subspatiu vectorial al spatiului al functiilor continue definite pe intervalul [a,b] cu valori reale.

Definitia 4.4: Daca si sunt subspatii ale unui spatiu vectorial V, atunci multimea

se numeste suma subspatiilor vectoriale si .

Propozitia 4.5: Fie V un K-spatiu vectorial si , doua subspatii vectoriale ale lui V. Atunci si sunt de asemeni subspatii vectoriale ale lui V.

Demonstratie:

Vom folosi Propozitia 4.2.

Aratam mai intai ca suma subspatiilor si este un subspatiu al lui V. Fie si arbitrari. Din definitia precedenta , cu si . Astfel

,

deci este un subspatiu vectorial al lui V.

Demonstram acum ca intersectia este subspatiu al lui V. Fie si arbitrari. Deci , . Cum este un subspatiu al lui V, rezulta ca , i=1,2, de unde . Astfel este un subspatiu vectorial al lui V.

Observatie: Notiunea de suma a doua subspatii vectoriale poate fi extinsa la un numar arbitrar finit de subspatii, si in acest caz suma subspatiilor fiind in contiuare un subspatiu vectorial. De asemeni, si partea din propozitia 4.5 privind intersectia celor doua subspatii poate fi generalizata la o familie arbitrara de subspatii ale lui V, intersectia ramanand si in acest caz un subspatiu vectorial al lui V.

Definitia 4.6: Fie V un K-spatiu vectorial si A o submultime nevida a lui V. Multimea

se numeste acoperirea liniara a multimii A. (Sp(A) reprezinta multimea tuturor combinatiilor liniare finite care se pot forma cu elemente din A.)

Propozitia 4.7: In contextul si cu notatiile definitiei precedente, Sp(A) este cel mai mic subspatiu vectorial al lui V ce contine multimea A.

Demonstratie:

Demonstram intai ca Sp(A) este un subspatiu vectorial al lui V. Fie si arbitrari. Deoarece v si u sunt combinatii liniare ale unor elemente din A, este clar ca va fi tot o combinatie liniara a elementelor lui A, adica , deci Sp(A) este subspatiu vectorial al lui V.

Consideram acum un subspatiu vectorial al lui V astfel incat . Vrem sa aratam ca . Fie arbitrar. Atunci v este de forma cu . Deoarece si S este un subspatiu vectorial al lui V, obtinem ca , adica si astfel putem conchide ca Sp(A) este cel mai mic subspatiu vectorial al lui V ce contine multimea A.

Daca V este un K- spatiu vectorial, , doua subspatii vectoriale ale lui V, atunci pentru un vector este posibil sa gasim mai multe descompuneri de forma , cu . De exemplu, in spatiul vectorial real consideram subspatiile si . Pentru vectorul avem scrierile si . In continuare, vom analiza cazul in care descompunerea de forma , cu este unuica.

Definitia 4.8: Suma subspatiilor vectoriale si ale spatiului vectorial V se numeste suma directa si se noteaza daca pentru orice vector s din avem o unica scriere de forma , cu .

Propozitia 4.9: Fie V un K-spatiu vectorial si , doua subspatii vectoriale ale lui V. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

;

2. .

Demonstratie:

2. Fie si consideram un vector . Atunci exista , astfel incat . Pe de alta parte, si , . Tinand cont ca avem o unicitate a scrierii lui s ca suma a doua elemente din si resp , obtinem ca si , de unde . Asadar .

1. Fie astfel incat cu si . Obtinem ca , de unde , adica si . Unicitatea scrierii s ca suma a doua elemente din si resp. probeaza ca .

Definitia 4.10: Fie V un K-spatiu vectorial si , doua subspatii vectoriale ale lui V. Daca , atunci si se numesc subspatii complementare in V. Vom mai spune ca este un complement al lui .

Exemple 4.11: 1. Subspatiile si (vezi exemplul 4.3 2.)sunt subspatii complementare in . Intr-adevar, si orice vector se scrie in mod unic sub forma cu si .

2. Daca se considera spatiul vectorial al matricelor patratice de dimensiune n cu componente reale, subspatiul al matricelor simetrice si subspatiul al matricelor antisimetrice (vezi exemplul 4.3 4.), atunci . Intr-adevar, fie matrice patratica oarecare. Consideram matricele:

si .

Atunci , ceea ce implica . Pe de alta parte , deci rezulta ca .

Propozitia 4.12: Daca V este un spatiu vectorial finit dimensional, atunci pentru orice subspatiu vectorial al sau exista un complement.

Demonstratie:

Fie S un subspatiu vectorial al lui V si o baza a lui S. Evident B este o multime liniar independenta de vectori din V si, din Teorema schimbului, putem completa multimea B la o baza a lui V. Fie . Vom arata ca este un complement al lui S.

Intr-adevar, daca , atunci, din Propozitia 3.6, exista si sunt unici scalarii astfel incat . Daca notam si , rezulta ca , cu , unic determinati. Astfel , deci este un complement al lui S.

Observatie: In general complementul unui subspatiu vectorial nu este unic. De exemplu, in spatiul vectorial subspatiul are ca si complementi atat subspatiul cat si subspatiul .

Ultima parte a acestui paragraf se ocupa cu studiul dimensiunii subspatiilor vectoriale.

Propozitia 4.12: Fie V un K-spatiu vectorial finit dimensional si S un subspatiu vectorial al lui V. Atunci , cu egalitate daca si numai daca .

Demonstratie:

Fie si . Consideram B' o baza a lui S. In particular B' este o multime liniar independenta a lui S, deci si a lui V. Daca B este o baza a spatiului vectorial V, atunci B va fi un sistem de generatori al lui V. Din Teorema schimbului obtinem acum ca .

Daca , atunci din Teorema schimbului B' va fi o baza si a lui V.

Astfel . Reciproc, daca este evident ca .

Teorema 4.13 (Grassmann): Fie V un K-spatiu vectorial si , doua subspatii vectoriale finit dimensionale ale lui V. Atunci:

Demonstratie:

Fie , si consideram o baza a subspatiului . Este clar ca este subspatiu si in si in , deci aplicand teorema schimbului a lui Steinitz putem completa baza B atat la o baza a lui , cat si la o baza a lui . Vom arata ca este o baza a subspatiului .

Demonstram mai intai liniar independenta:

fie scalarii astfel incat

Rezulta ca vectorul

(1)

apartine lui , deci este o combinatie liniara a vectorilor . Obtinem astfel existenta unor scalari astfel incat

Tinand cont de liniar independenta multimii , din egalitatea precedenta se obtine ca   

(2)

Inlocuind relatia (2) in (1), rezulta ca .

Cum este multime liniar independenta, din relatia precedenta obtinem ca

(3)

Relatiile (2) si (3) asigura liniar independenta multimii

Vom proba acum ca este un sitem de generatori al lui . Fie , cu si . fiind sistem de generatori al lui rezulta ca exista scalarii astfel incat

(4)

Analog, sistem de generatori ai subspatiului implica existenta scalarilor astfel incat

. (5)

Adunand relatiile (4) si (5) si grupand convenabil termenii se obtine:

.

Astfel constituie si un sistem de generatori al lui . Pentru a incheia demonstratia este suficient sa remarcam ca contine elemente.

Schimbarea bazei unui spatiu vectorial

Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si , doua baze al lui V. Deoarece este o baza a lui V, conform Propozitiei 3.6 orice vector din V se exprima in mod unic ca o combinatie liniara a vectorilor bazei cu anumiti scalari. In particular, acest lucru este valabil si pentru vectorii din . Astfel se obtine urmatorul sistem de relatii:

(1)

cu unic determinati.

Definitia 5.1: Matricea

se numeste matricea de trecere de la baza la baza .

Observatie: Sistemul de relatii (1) se poate scrie matriceal sub urmatoarea forma:

(2)

Propozitia 5.2: Fie V un K-spatiu vectorial si , doua baze al lui V. Atunci matricea de trecere C de la la este inversabila, inversa ei fiind matricea de trecere de la la .

Demonstratie:

Presupunem prin absurd ca matricea de trecere C nu ar fi inversabila, adica . In acest caz, sistemul:

ar avea si alte solutii diferite de cea banala. Fie o astfel de solutie nenula. Obtinem ca:

,

de unde, prin gruparea convenabila a termenilor, gasim:

.

Tinand cont de relatiile sistemului (1), egalitatea precedenta este echivalenta cu

.

Cum cel putin unul dintre scalarii este nenul, rezulta ca multimea este liniar dependenta - o contradictie cu ipoteza ca este baza. Asadar presupunerea facuta este falsa, deci matricea de trecere de la o baza la alta este mereu inversabila.

Putem folosi acum ca matricea C este inversabila, deci si matricea va fi inversabila (deoarece ). Astfel, din relatia (2) se obtine ca

,

ceea ce demonstreaza ca este matricea de trecere de la la .

Propozitia 5.3: Fie V un K-spatiu vectorial, doua baze al lui V si C matricea de trecere de la baza la baza . Daca sunt coordonatele unui vector in baza , iar sunt coordonatele aceluiasi vector v in raport cu baza atunci:

(3)

Demonstratie:

Deoarece sunt coordonatele lui in baza , iar sunt coordo-natele lui v in baza , atunci . Folosind sistemul de relatii (1) vom obtine:

.

Deoarece scrierea unui vector intr-o baza este unica, rezulta ca , pentru orice . Ultima egalitate este echivalenta cu relatia matriceala si astfel demonstratia este completa.