SUBIECTE DATE LA ADMITERE IN FACULTATE

SUBIECTE DATE LA ADMITERE IN FACULTATE

1. SIRURI

Sa se det. a,b,cIR, a.i.

lim (an - (-2+bn+cn²))=1

n

2. Sa se studieze sirul (qⁿ), qIR

3. Se considera sirurile _nIN, _nIN

x_oI(0,2) si x_n+1= (4xn-xn²),nIN si y_n=(04)n cos np/4, nIN

1 a) A(e strict

b) B(are limita zero)

c) C(este strict

d) D(nu e monoton)

e) E(nu e marginit)

2 a) A(e crescator)

b) B(nu e marginit superior)

c) C(e descrescator)

d) D(y_n>0, nIN

4. Sa se determine a,b,cIR a.i. lim n(an- (-2+bn+cn²))=1

n ¥

5. Sa se det. ct. a a.i. lim n^a (n+ n)- (n- n)) sa existe si sa fie finita.

n ¥

6. Se considera sirurile (x_n)_n³ si (yn)_n³ , x₀I(0,2) si x_n+1= (4xn-xn²),nIN si

y_n=(0,4)ⁿ cos (np/4),n ³1. Stabiliti daca:

a) (x_n) are limita 0. a) (y_n) nu e marginit superior.

b) (x_n) strict b) (y_n)

c) (x_n) nu e monoton. c) (y_n) convergent.

d) (x_n) strict d) (y_n)

e) (x_n) nu e marginit. e) y_n >0, n ³

7. Fie aIR, iar (x_n)_n³ sirul definit prin

ì a, n=1

x_n=

ix_n-1³+6x_n-1²+12x_n-1+6, n³

a) Sa se arate ca pt. nIN,n³1 are loc egalitatea x_n=(a+2)^3ⁿ‾1-2

b) Sa se calculeze lim x_n.

n ¥

8. Sa se determine a,bIR a.i. lim [(n³-1)/(n³-2n+1)]^anb e³

n ¥

9. Sa se determine a,bIR, b¹0 a.i. lim [a+(n+1)/(bn²+n+2)]ⁿ⁺²=1/e.

n ¥

10. Calculati lim [( 3+..+n 3)/(n²-2n)]

n ¥

11. Se considera sirul (x_n)_n³ definit astfel: x_o=a>0, x_n+1=x_n²-2x_n+2, n³1.Sa se determine valorile lui a pt. care sirul e convergent si sa se calculeze limita sa.

12. Fie a_n,b_nIQ, nIN a.i. (2+ 3)ⁿ=a_n+b_n 3. Sa se arate ca sirul (a_n/b_n)_n³ e convergent si sa se calculeze, limita acestui sir.

13. Fie sirul cu termenul general a_n=n(an+ (2+bn²)),nIN, a,bIR.Care sunt valorile param. a si b a.i. sirul sa aiba limita 1?

14. Fie a_n+1=[(5a_n+3)/(a_n+3)],n³1, a₁³0. Sa se arate ca sirul b_n=[(a_n-3)/(a_n+1)],n³1 este o progresie geometrica si sa se studieze convergnta sirurilor (a_n)si (b_n).

15. Sa se arate ca lim [(a ln (3+n)+b ln (2+n)+c ln (1+n)]=0 Û a+b+c=0.

n ¥

16. Sa se calculeze lim (n²- (n⁴-n³+1)sin p/n)

n ¥

17. Fie kIN , fixat. Definim sirul (x_n)_n³ , x₁=1/k!, x_n+1=nx_n/(n+k), n³

a) Sa se arate ca x_n=1/[n(n+1)(n+2)..(n+k-1)], n ³

_n

b) Sa se calculeze lim å x_i.

n ¥ i=1 n

18. Se considera sirul (a_n)nIN definit de an=å log_1/3 (1-2/[k(k+1)]). Sa se calculeze

^k=1

limita sirului avand termenul general b_n=n ln a_n

19. Sa se calculeze lim (ⁿ n-1)ln n.

n ¥

20. Se considera sirul de nr. reale (x_n)_n³ cu x₁= a), x_n+1= (1+x_n),nIN aI(0,1) si L=lim x_n. Stabiliti daca:

n

1 a) (x_n)

b) (x_n) nu e marginit inferior.

c) (x_n) nu e

d) (x_n) nu e marginit superior.

e) (x_n) e

2 a) L= a c) L=(1+ e) L=(1+

b) L=(1+ d) L=0

21. Sirul (x_n)_n³ definit prin x_o=1 si x_n-1=x_n/ (x_n²+1),n³0 are limita: a)1; b) 2; c)

d)0; e)1/

22. Limita lim[(p+n)!/(n!n^p)]ⁿ, pIN e egala cu:

a)¥; b)0; c)e^p; d)e^p/b; e)e^p(p+1)/2.

23. Se considera sirul (x_n)_n³ , x_oI(-1,1), x_n+1= (1+x_n)/2, nIN si L=lim (x_n+1)/x_n. Stabiliti natura sirului (x_n) si calculati L.    n

24. 1 Sa se calculeze:

a) lim [ (2n-1)-³ (3n-2)]/(n-1)

n ¥

b) lim C^k_n/n^k,kIN

n ¥

c) lim (1+a)(1+a²)(1+a⁴)..(1+a²ⁿ), aI

2 Fie sirul (x_n)_n³ definit prin x₁=1, x_n+1= (12+x_n),n³

a) Sa se arate ca 0<x_n<4, n³

b) Dc. y_n= 4-x_n, n³1 at. y_n+1<1/4 y_n, n³

c) Sa se calculeze lim x_n.

n ¥

26.a) Sa se precizeze valoarea limitei l=lim cos x/2 cos x/2²..cos x/2ⁿ, xIR

n ¥

b) Sa se determine nr. reale a,b,c a.i. lim n (an+ (cn²+bn+2))=1

n ¥

26. Fie a>0. Calculati lim n²(ⁿ a-ⁿ⁺¹ a)

n

2. LIMITE DE FCTII

1. Fie R R (x)= (1+x²)+mx, mIR. Sa se determine m a.i. lim (x)/x=3.

x ¥

2. Sa se calculeze limitele l₁= lim x ln ½x½, l₂= lim ½x½^x

x x

3. Sa se datermine lim [(x+ x)/(x- x)]^x

x ¥

4. Sa se calculeze lim (xⁿ-sinⁿx)/xⁿ⁺², nIN, n³

x

5. Sa se calculeze limita:

lim [lim (1+tg²x+tg²2x+..+tg²nx)]^1/n³x²

n ¥ x

6. Sa se determine lim (tg ax-sin ax)/(tg bx-sin bx), a,bIR

x

7. Sa se calculze lim (e^x-e^{sin x})/(x-sin ^x)

x

8. Sa se calculeze: lim (sin x-tg x)/x²tg x

x

9. Se cere limita lim (1-x+sin x)^1/x³

x

10. Fie R R (x)=x³(e^1/x-e^1/(x+1)).Sa se calculeze :

a) limitele laterale in x_o=0.

b) limitele laterale in x=-1.

c) lim (x)

x ¥

11. Pt. nIN fie L_n=lim (1-cos x cos 2x..cos nx)/x².

x

Sa se determine: L₁,L₂ si L_n.

12. Sa se calculeze lim (1-cos x cos 2x cos 3x)/x²

x

13. Sa se determine param. a,b,c IR dc. :

lim [ (9x²+bx)-ax]=-2, lim x (c^1/(x+1)-1)=ln 3

x ¥ x ¥

14. Fie :D R (x)=x- (ax²+bx+1), a>0, bIR. Sa se determine a,b a.i. lim (x)=-1/2

x ¥

15. Se considera sirul de fctii ( _n(x))_n, _n(x)=[(x²ⁿ+1)(( x²+x+1)-x)]/(x²ⁿ+x²), xIR , nIN . Sa se calculeze lim _n(x).

n

16. Determinati a,bIR pt. care lim [ (x²+3x+a)-b]/(x²+x-2)=5/18

x ¥

17. a) Sa se calculeze lim ( (x²+x)-x)

x ¥

b) Fie aIR; sa se arate ca lim ( (x²+x)-ax)=1/2 Û a=1

x ¥

18. Fie A=.Notam L_n,_a=lim (x²ⁿ-2xⁿ-a)/(x-1)²

x n x

pt. aIA si nIN .Definim sirul (b_n,a)_n³ prin b_n,a=1/n³ å L_k,a; b_a= lim b_n si

k=1 n ¥

B=. Stabiliti elementele multimilor A&B.

19. Care sunt valorile reale ale param. a si b a.i. lim [a/(1-x^m)-b/(1-xⁿ)]=(m-n)/2,

x

m,nIN

20. Sa se calculeze lim (³ (n³+3n²-n+1)-an), aIR.

n ¥

21. Fie fctia R R (x)=(a₁^x+a₂^x+a₃^x-3)/(b₁^x+b₂^x+b₃^x-3), a_i,b_i>0, i=1,2,3. Calculati lim (x).

x

22. Dc. nr. a,b,c verifica relatia a+b+c=p, at. calculati lim sin (ax²+bx+c)/(x²-1)

x

23. Fie ¥ R (x)=(2^x+3^x+4^x)/3^1/x. Sa se calculeze lim (x) si sa se studieze dc. PIR[x] a.i. (x)=P(x), x>0.    x ¥

24. Calculati lim [(2x+ (x²-1))ⁿ+(2x- (x²-1))ⁿ]/xⁿ

x ¥

25. Sa se calculeze limitele:

a) lim [(3x-4)/(3x+2)]^(x+1)/3

x ¥

b) lim (2^x-3^x)/x (1-x²)

x

3. FCTII CONTINUE

1. Fie fctia R R (x)= ìarctg 1/½x½, x¹

i a, x=0

Sa se determine a a.i. f sa fie continua pe R

2. R R ½ (x)-x²½£ ½x½ xIR. Sa se arate ca (0)=0 si f e continua in x=0.

3. p R (x)= ì e^3x, xI

i a sin(x-1)/(x²-5x+4), xI p

Sa se determine a a.i. f continua pr [0,p

4. a) Sa se axpliciteze fctia R R (x)=lim (cos x+½x-1½e^nx)/(1+e^nx)

n ¥

b) Sa se studieze continuitatea fctiei

5. :R R, (x)=ì2+ln (1-x), x<0

m, x=0

i 1+e^-2x, x>0

Sa se determine m a.i. f sa fie continua pe R

6. Fctia f definita prin (x)=lim [1+xⁿ(x²+4)]/x(xⁿ+1) are domeniul de def. H si multimea pctelor de discontinuitate F. Determinati F si H.

7. R R (x)= ìarcsin 2x/(1+x²), xIQ

i p/2x, xIR Q

Sa se determine pctele de discontinuitate ale fctiei f.

8. R (x)=(x+[x])/(½x½+[x]+2). Not. A=, cu S= å (x-0)- (x)]². Calculati S.

xIA

9. Sa se studieze continuitatea fctiei R R (x)=ì (1-x)-2x-1]/x, x¹

i 1, x=0

10. Multimea valorilor param. aIR pt. care fctia

(x)= e^x+½x½ a, x£

ln(x+1)/x, x>0 este continua pe R este:

a) ; b)0; c); d)[1,2).

4. FCTII DERIVABILE

1. Se da fctia R R (x)=ìx² cos 1/x, x¹

i 0, x=0

Sa se arate ca f e derivabila pe R dar f' nu e continua in x=0.

2. Sa se calculeze derivata de ordin n, nIN pt. fctia R ¥ (x)=x²e^x.

3. Sa se determine a,bIR a.i. fctia R R, definita prin (x)=ìx⁴+ax+2, x>0

ib+ln (1+x²), x£

sa fie derivabila pe R

4. :D R (x)=(x²+½x²+x-2½)/(x+½x+1½), DÌR. Sa se stabileasca:

a) domeniul de definitie;

b) continuitatea fctiei f;

c) derivabilitatea fctiei f.

5. ¥ R (x)=x³-3x. Sa se determine J= (I) unde I=(1,¥) si sa se arate ca :I J este bijectiva. Fie g=f^-1. Sa se calculeze g'(2), g"(2).

6. Se da R R (x)=ì½x²-2½, xIQ

i 2 , xIR Q

Dc. a e nr. elementelor multimii A=, B= si b å x, at.: sa se determine a si b

xIB

7. R R (x)=(x²+ax+1)e^x, aIR

a) Sa se determine aIR pt. care pe R

b) Pt. a=0 determinati ecuatia tangentei la graficul fctiei in pctul de intersectie cu Oy.

c) Sa se demonstreze ca g:R ¥), g(x)=(x²+1)e^x este bijectiva, cu inversa derivabila in pctul 1 si sa se calculeze derivata inversei in pctul 1.

8. R R (x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e. Sa se precizeze dc. ! coeficientii a,b,c,d,e a.i. sa fie indeplinite conditiile:

1 Graficul sa treaca prin pctele O(0,0), A(1,0), B(-1,-6), C(2,12).

2 Tangenta la grafic in pctul A sa aiba panta -5.

In caz afirmativ sa se determine acesti coeficienti.

9. R R (x)=(ax²+b)/(x-1), a,bIR. Sa se determine a,b a.i. dreapta ec. y=-2x+13 sa fie tangenta la grficul fctiei in pctul de abscisa x=2.

10. R R (x)=x⁵+x, bijectiva. Daca g e inversa lui , sa se calculeze g(2).

11. Se considera sirul (x_n)_nIN, x_oIR, x_n+1=(1+x_n)/(2x_n-1),nIN si fctia R R (x)=(x+1)/(2x-1). Dc. A={x_oIR,-si sirul (x_n)_n³ e convergent} si T= ⁽ⁿ⁾(2),nIN , atunci determinati multimea A si T.

5. PROPRIETATILE FCTIILOR DERIVABILE

1. R R (x)=(x+1)³/(x²-x+1), A-multimea pctelor de inflexiune ale lui a å

QIA

a, r-nr. elementelor multimii A, y=mx+n asimptota oblica la graficul lui si b=m+n. Determinati r si a

2. Se considera R, unde (x)= ìpx, xI

m, x=1

i x³+q, xI

Fie A=, S=å (p+m+q), c= si T=å ½c½. Determinati S si T.

cIC

3. R R (x)=(x²-ax)/( x²+1) unde aIR. Sa se determine a pt. care adminte pct. de extrem situat la distanta 2 de axa Ox.

4. Multimea valorilor lui aIR pt. care R R (x)=arctg (x²+x+a) are 3 pcte de extrem local este:

a) (-¥,1/4); b)(1/4,¥ c); d)(1,¥); e)Ø

5. 1 a_n=lim [1-x⁵ln (1+2nx)]^1/xⁿ si l=lim (a₁+a₂+..+a_n). Atunci calculati l.

x x ¥

2 ¥ ¥ (x)=x³-3x, g:(-2,¥ ¥) inversa fctiei . Calculati g'(2).

6. 1 R (x)=ìmx²+2x+n, xI

i x²+px+1, xI

Determinati valorile parametrilor m,n si p pt. care fctiei i se poate aplica th. Rolle pe [-2,2].

a)1,2,3; b)3,2,1; c)3,1,2; d)1,1,2; e)2,1,3.

2 Sa se determine a,bIR pt. care fctia ¥ R (x)=a ln x+bx²+x admite extreme in pctele x₁=1, x₂=2. Stabiliti natura pctelor de extrem A(1, (1)), B(2,

7. 1 Sa se calculeze '(0) pt. R R

(x)= (1+x²)+x²/(x⁴+1)+ln (1+x²)

2 (x)=(x²+ax)/(bx+2), a,bIR. Valorile lui a si b pt. care fctia are extreme in pctele de abscisa x=-8 si x=4 sunt:

a)16,-1; b)-16,2; c)8,2; d)-16,1; e)5,3.

8. R R (x)=x arctg x-ln(1+x²)

a) Sa se arate ca derivata fctiei e o fctie

b) Sa se stabileasca monotonia si pctele de extrem ale fctiei . Rezolvati inecuatia (x)>0.

9. R R (x)=3^-2x-23^-x

a) Sa se calculeze limitele la ¥

b) Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate si sa se calculeze derivata fctiei    

Precizati monotonia si pctele de extrem ale fctiei

c) Sa se determine pctele de inflexiune.

10. R R (x)=7+2x ln 25-5^x-1-5^2-x

a) Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate al fctiei si sa se calculeze derivata '; precizati monotonia si pctele de extrem ale fctiei.

b) Determinati nr. pctelor de inflexiune.

11. a) Sa se arate ca pt. x³0 are loc inegalitatea:

1-x/2 £ (1+x) £

b) :D R (x)=arctg (a+x)/(1-ax)-1/a ln (1+x²), aIR, a¹

Sa se determine a a.i. lim (-ax '(x))^x=e². Pt. a=-2 sa se determine domeniul de definitie

x ¥

si domeniul de derivabilitate al fctiei obtinute. Sa se stabileasca intervalele de monotonie ale fctiei obtinute.

12. Se considera expresia definita prin (x)=³ (x²+(m-2)x-m+2) m fiind parametru real.

a) Se cere sa se determine multimea valorilor lui m pt. care domeniul de definitie al fctiei coincide cu domeniul de derivabilitate.

b) Pt. m=-2, sa se stabileasca monotonia si pctele de extrem ale fctiei obtinute.

13. R R (x)=(x²-m)/(x+1)e^x, mIR, parametru.

a) Sa se determine mIR a.i. f sa aiba 3 pcte de extrem.

b) Pt. m=2, sa se stabileasca monotonia si pctele de extrem ale fctiei obtinute.

14. 1 R R (x)=ì axe^x, x£ a,b,cIR

i b(x²+x-2)+c, x>0

Ce relatii trebuie sa satisfaca a,b,c pt. ca fctia sa fie derivabila in origine?

2 :D R (x)=x+1/(x+m), mIR. Pt.ce valori ale lui m abscisa pctului de min. e jumatate din abscisa pctului de maxim?

15. 1 R R (x)=(ax²+bx+c)/(x-3), a,b,c IR, parametrii. Sa se determine a,b,c a.i. graficul fctiei sa aiba asimptota y=x+2 iar pctul A(1,1) sa se afle pe grafic.

2 g:R R, g(x)=(x²-x-2)/(x-3)

a) Stabiliti intervalele de monotonie.

b) g(x)=x+2+4/(x-3), IR (sa se arate).

c) Sa se demonstreze ca pt. nIN, n³

g⁽ⁿ⁾(x)=(-1)ⁿn! 4/(x-3)ⁿ⁺¹, xIR

SUBIECTE DATE LA ADMITERE IN FACULTATE

I. PRIMITIVE

1. Sa se calculeze dx/x (1+x+x²), x>0

2. Sa se calculeze primitivele fctiei urmatoare:

(x)=x/[(x²+3)(x+1)], x>0

a) -1/4 ln(x+1)+1/8 ln (x²+3)+ 3/4 arctg x/ C

b) -1/8 ln (x+1)+ arctg x + C

c) ½ ln (x+1)² + ln (x²+3)+ 3/4 arctg x/ C

d) 2 ln (x+1)² + arctg x+ C.

e) nu are primitive

3. Sa se studieze primitivelor fctiei ¥ R, definite prin

(x)= ìx/(1+x⁴), xI[0,1], unde aIR. In cazul in care ele , sa se determine aceste

primitive.

i x+a, x>1

4. Sa se arate ca R R (x)=ìxe^x,    x£ admite primitive si sa se determine

acestea.

ix²/(1+x), x>0

5. Sa se arate ca R R (x)=ì (x²+4x+4), x£0 are primitive si sa se determine o

primitiva a sa.

i 2 x>0

6. Sa se calculeze: a) (2x+e^x)dx, xIR; b) x²/(x²+4) dx, xIR

c) x ln x dx, x>0.

7. Sa se determine prmitivele fctiei ¥ R (x)=1/(x+ (x²-1)).

8. Se da fctia R R (x)= ½x²-4½. Aflati primitivele lui f.

9. Sa se determine aIR a.i. R R

(x)= ì2+ln (1-x), x<0 sa admita primitive pe R

a , x=0

i1+e^-2x     , x>0

a)1; b)-1; c)3; e)1/2.

10. Fie ¥ R (x)= ìx ln x, x>0

i x=0

a) Sa se arate ca f e continua;

b) Sa se calculeze o primitiva a lui pe (0,¥

c) Sa se calculeze o primitiva a lui pe [0,¥

11. Primitivele fctiei R R (x)=sin x/(1+cos²x), sunt:

a) ln (1+cos²x)+C

b) ln (1+cos²x)+C

c) arctg (cos x)+C

d) -arctg (cos x)+C

e) -arcctg (cos x)+C

12. Primitivele fctiei ¥ R (x)=1/x(1+ln x) sunt:

a) (1+ln x)²+C

b) ln²(1+ln x)+C

c) ln (ln x)+C

d) ln (1+ln x)+C

e) ½ ln (1+ln x)+C

13. Primitivele fctiei R R (x)=x sin (x²+1) sunt fctiile

F:R R, a) F(x)=x²/2 cos (x²+1)+C

b) F(x)=1/2 cos (x²+1)+C

c) F(x)=-1/2 cos (x²+1)+C

d) F(x)=x²/2·[sin²(x2+1)/2]+C

14. Sa se calculeze: (x+1)/(x⁴+x²+1) dx, xIR

15. Aratati ca R R (x)=(x²+x) arctg x admite primitive si determinati aceste primitive.

16. Calculati (x²-1)/(x⁴+1) dx, xIR

a)1/2 2 ln (x²-x 2+1)/(x²+x C

b)1/ 2 arctg (x²-1)/x C

c) nu se poate afla primitiva.

17. Fie R R (x)=x-2+½x-1½ ½x-3½si fie F primitiva lui a.i. F(2)=0. Sa se calculeze F(4).

a)6; b)5; c)7; d)4.

18. Fie R R (x)=(2x²+1)+ (x²+1). Sa se determine a,bIR pt. care fctia F(x)=(ax+b) (x²+1) e o primitiva a lui pe R

19. Sa se determine primitivele fctiei p p R (x)=1/(sin x-2cos x+3)

20. Primitivele fctiei ¥ R (x)=x/(x³+x) sunt fctiile F:(0,¥ R, date de:

a) F(x)=ln x²/(x²+1)+C

b) F(x)=ln (x (x²+1))+C

c) F(x)=ln x-arctg x+C

d) F(x).

21. Sa se calculeze x/ (1-x³) dx, xI

22. Fie (x)=1/x(x²+1), x>0 si F e primitiva a sa cu proprietatea F(1)=-ln

Atunci F(2) este: a)-ln 5/2; b)ln 2/ 5; c)-ln 5; d)-ln 2/

23. Sa se determine 3a+5b stiind ca fctia F(x)=e^-x. (a sin x+b cos x) este o primitiva pe R a fctiei (x)=e^-xsin x.

a)-5; b)-4; c)-3; d)-2; e)-1.

24. Fie R R (x)=x/(x³+x²-x-1) si F o primitiva a lui pt. care

F(2)=-(ln 2)/4. Atunci F(0) este: a)1/2; b)2; c)-2; d)-1/3; e)-3.

II. INTEGRALE DEFINITE

_n+2

Fie P un polinom de grad n cu radacinile 1,2,3,..,n si fie p'(x)/p(x)dx=I_n.

ⁿ⁺¹

Care din urmatoarele afirmatii este adevarata?

a) I=2n+3; b)I=ln (n+1); c)I=ln n/n+1; d) eⁿ⁺²-eⁿ⁺¹; e)eⁿ-1.

₃

2. Sa se calculeze in fctie de aIR dx/(½x-a½

_x ¹

3. Fie R (x)= dt/(1-t²). Sa se arate ca fctia este bijectiva.

_n ⁰

4. Fie sirul (a_n)_n³ , a_n= (x+2)/x(x²+1) dx. Calculati lim an.

¹ n

5. Fie fctia R R (x)=x³+mx²+nx+p. Determinati parametrii reali m,n,p a.i. sa

₁

aiba extreme in pctele -1 si 1, iar (x)dx=2.

_x ^-1

6. Valoarea lim ( tg t dt)/x² este: a)1; b)1/2; c)-1/2.

⁰ _{3 4}

7. Sa se calculeze : a) dx/ (2x+3); b) x (x²+9) dx

_a ^{0 0}

8. Fie I(a)= x/[(x+1)(x²+4)] dx, a>0. a)Calculati I(a); b)Calculati lim I(a);

⁰ a ¥

c) Studiati monotonia fctiei I:(0,¥ R

₄

9. Sa se calculeze x/(x+1) dx

⁰ ₁

10. Sa se calculeze I= e^x/e^2x+1 dx.

⁰

a)I=arctg 2; b)I=1; c)I=ln 2; d)I=arctg e; e)I=arctg e-p/2; f)1/2 ln 2.

₁

11. Fie ¥ R (x)=ìx, xI I= (e^t)/ (e^-t) dt,

⁰

ix-1, x>1

g(t)= (e^t)/ (e^-t) si G=g⁽ⁿ⁾(1/2). Atunci:

1 a) I=(e-1)²/2; b) I=e/2(e-1); c) I=e²-2e; d) I=(e-1)/2e; e) I=(e²-1)/2.

2 a) G=2ⁿe- e; b) G=2ⁿe²-e; c) G=2^n-1-e; d) G=2ⁿ e; e) G=2ⁿ- e.

12. Care este valoarea integralelor:

₁

1 e^2x/(1+e^x)dx, a)e+1+ln (e+1)/2; b)e-1-ln (e+1)/2; c)e+1+ln (e-1)/2;

⁰

d)1+ln (e+1)/2; e)1-ln (e+1)/2

₁

2 2x²/(1+x²)dx, a)p/2; b)-p/2+2; c)1; d)1/2; e)1/3.

⁰ _e²

13. Sa se calculeze ln x/x(1+ln x)dx

^e

14. Fie R R (x)=(x²-3½x-2½)/(x-1). a) Sa se determine asimptotele fctiei

b) Sa se calculeze (x) dx.

^3/2 _n

15. Sa se calculeze I_n= 4x/[(x+1)(x²+3)]dx si sa se determine lim I_n.

^{0 n}

16. 1 Fie fctia ¥ R (x)=min . Sa se studieze continuitatea si

_n

derivabilitatea lui . Calculati limita sirului (a_n),a_n= (x)dx, n³

_eⁿ ⁰

2 Fie I_n= (1+ln t)/[t(ln t)(1+ln²t)]dt, nIN. Calculati I_n folosind schimbarea de

^e

variabila x=ln t si lim I_n.

n

17. Fie R R (x)= (x²+x+1)- (x²-x+1). Se cere sa se determine: a) asimptotele

₁

fctiei; b) Valoarea integralei (x)dx.

₃ ^-1

18. 1 Limita lim ( e^-t³ dt)/sin³t este egala cu: a)0; b01; c)2/3; d)e; e)¥

x ⁰ ₂

2 Integrala I= ½x²-1½dx este: a)I=4; b)I=0; c)I=3; d)I=1; e)I=-4.

^-2 ₁

19. Sa se calculeze integrala: (x+1)/ (x²+1) dx

₁ ⁰

20. Fie I_n= xⁿ/(1+x²)dx, nIN. Calculati: I_o,I₁,I₂; b)Stabiliti o relatie de recurenta

⁰

intre I_n si I_n-2; c) Calculati I_2m+1, mIN

_p

21. Sa se calculeze (x³-2x+1+sin x)/(x²+1) dx

^-p

22. Fie R (x)=ìx/(x²+1), xI

ix, xI

a) Sa se arate ca este continua;

₁

b) Sa se calculeze (x)dx;

^-1 ₁

c) Sa se arate ca e^x ³ x+1, x³0 si apoi sa se demonstreze inegalitatea ex²³

_{n n} ⁰

23. Fie n,kIN , n fixat si I_k= ½x-k½dx, k=1,n. Se defineste sirul a_n=1/n³ å I_k,

^{1 k=1}

nIN si fie L=lim a_n

n ¥

Atunci: 1 a) I_k=2k²+n²; b)I_k=(k²+n²)/6; c)I_k=[k²+(n+k)²]/2; d)I_k=k²+n²-nk;

e) I_k=[(k-1)²+(n-k)²]/2.

2 a)L=1/3; b)L=2/3; c)L=1/6; d)L=0; e)L=1.

₁

24. Fie sirul I_n= xⁿ/ (x²+1)dx, nIN . a) Calculati I₁; b) Sa se arate ca sirul este

monoton si marginit. Sa se calculeze lim I_n.

₂ n ¥

25. Valoarea integralei ½x-1½ ½x+1½) dx este: a)6; b)8; c)10; d)12; e)14.

_n ^-2

26. 1 Limita lim 1/n (x-1)/(x+1)dx este: a)0; b)1; c)2; d)e; e)¥

n ¥ ¹ _x

2 Sa se calculeze lim ( arctg t dt)/x². a)1/2; b)0; c)-1; d)-1/2.

x ⁰

₂

27. Sa se calculeze L=lim ½x-n½/(x+n)dx. a) limita ; b)L=¥; c)L=1; d)L=-3;

n ¥

e)L=0; f)L=2.

_n

28. Fie I_n= (x+4)/(x²+3x+2)dx, nIN . Dc. a=lim (n+ n+3)I_n si

ⁿ⁺¹

b=lim x(³ (x3+x2+1)+³ (x3-x2+1)-2x), atunci:

x ¥

1 a)a=0; b)a=1/e; c)a=1; d)a e; e)a=e

2 a)b=3; b)b=2/9; c)b=3/2; d)b=-2/9; e)b

₁

29. Sa se calculeze x ln (x+ (1+x²))dx

₀

30. Fie i:[0,¥ R, i=1,2,3 si (x)=1+x, (x)=e^x/(x+1), (x)=e^x. Fie

₁

I= (x)/ (x)]²dx. Atunci:

⁰

1 a)I=1- e; b)1/2(1-e); c)I=e-1; d)I=e²-1; e)I=1/2(e-1).

2 a) < < ; b) < < ; c) £ £ ; d) £ £ ; e) £ £

₁

31. Sa se calculeze ln (½x½+1)/(x²+1)dx

₁ ^-1

32. Fie I_n= (1-x²)n dx, nIN. Sa se determine o relatie de recurenta intre I_n+1 si I_n si

⁰

sa se calculeze lim I_n.

n

33. Fie PIR[x] cu grad (P)=n, nIN . Sa se arate ca:

_x

lim P(t)e^-t dt=P(0)+P'(0)+..+P⁽ⁿ⁾(0).

x ¥

34. Sa se stabileasca o relatie de recurenta pt. calculul integralei I_n= xⁿe^xdx si sa se

⁰

calculeze lim I_n.

n

a) Sa se determine ct. reale m,n,p a.i. fctia F:R R, F(x)=(mx²+nx+p)e^x sa fie

primitiva fctiei R R (x)=x²e^x.

₀

b) Sa se calculeze integrala I(a)= (2x²-3x)e^xd^x, unde aIR, parametru si apoi sa

^a

se calculeze lim I(a).

a ¥ n

36. a) Sa se calculeze lim (x-1)e^-xdx. a)0; b)e²; c)e-1; d)1/e; e)1/e-1

n ¥

₂

b) Sa se calculeze dx/x (x²-1). a)p/12; b)p/4; c)0; d)-1; e)p

37. a) Sa se calculeze e^{arctg x}1/(x²+1)^3/2 dx

⁰

b) Sa se arate ca ca fctia R (x)=x-[x] se poate integra si sa se calculeze

(x)dx.

⁰

38. Fie R R (x)=e^2x(x²+4x+2).

a) Sa se calculeze '(x); b) Sa se determine punctele de extrem ale fctiei; c) Sa se calculeze (x) dx.

39. Sa se calculeze integralele definite:

p

I₁= x (x²+9)dx, I₂= x sin²x dx.

^{0 0}

40. Fie ¥ R (x)=(x²+x+1)/(x+2)² e^x. a) Sa se determine asimptotele la graficul fctiei; b) Sa se determine a,bIR a.i. fctia F:(-¥ R, F(x)=(ax+b)/(x+2)e^x sa

_-3

fie o primitiva a lui pe (-¥ c) Sa se calculeze (x) dx.

_e ^-4

41. Fie sirul (I_n) definit prin I_n= (ln x)ⁿdx, n³1. a) Sa se arate ca (I_n) este monoton si

¹

marginit. b) Sa se afle o relatie de recurenta intre I_n si I_n-1. c) Sa se calculeze lim I_n.

₁ n

42. Fie p>0, nIN. Sa se arate ca (1-x^p)ⁿ dx=(n!pⁿ)/[(p+1)(2p+1)..(np+1)]

⁰

43. Fie R R (x)=lim (x²+½x²-4½e^nx)/(1+(x²+1)e^nx). Fie m nr. pctelor de extrem

n ¥

local ale fctiei, p nr. pctelor de discontinuitate ale fctiei , S=m²+p² si I= (x)dx.Atunci:

^-1

1 a)S=5; b)S=10; c)S=2; d)S=4; e)S=13.

2 a)I=3p/2; b)I=(3p-2)/4; c)I=(5p-8)/12; d)I=(5p e)I=0. (ASE '99)

_n

44. Se considera I_n= e^-bx sin a x dx, nIN , a¹0, b¹0. Fie L=lim I_n. Dc. I este valoarea

^{0 n}

integralei I_n pt. n=1 si a=b=p/2, at.:

1 a)L=0; b)L=(a+b)/(a²+b²); c)L=a/(a²+b²); d)L=b/a²; e)L=b/a

2 a)I=1/p(1-e^-p ); b)I=e^-p p; c)I=(1-e)/p; d)I=p /4 e^-p ; e)I=4/p e^p

₁

45. Limita lim (2n+1) xⁿe^x dx este :

n ¥ ⁰

a)1; b)e; c)2e; d)0; e)¥

_p

46. Calculati ln (1+tg x) dx.

⁰ _x

47. Se considera fctia R R, unde (x)= (t³-3t+2)e^t² dt. Dc. A=, at:

a)A=; b)A=; c)A=; d)A=0; e)A=. (ASE '00)

₁

48. Valorile rationale ale lui a,b pt. care integrala I= (x²+a½x½+b)e^½x½dx este un nr.

^-1

rational sunt:

a)aIQ, b=2; b)a,bIR; c)b=1, aIQ; d)b=-1, aIQ; e)a=1/2, b=1.

III.APLICATII ALE INTEGRALEI DEFINITE

_n

1. Sa se calculeze lim [(4n-4-2a_n)/p]ⁿ unde a_n= 2x²/(x²+1)dx, nIN

n ¥ 1

2. Se da _n(x)=(1+x+x²+..+xⁿ)/(1+xⁿ), xI ¥), nIN

₁

a) Sa se calculeze (x)- (x)]dx.

⁰

b) Sa se traseze graficul fctiei ¥ R (x)=lim _n(x). (UPB '78)

n ¥

3. Sa se determine nr. reale A,B,C a.i.

₁

(x)dx=A 2)+B (0)+C 2), pt. fctie polinomiala reala de grad cel

^-1

mult 3(trei).

4. Fie R R (x)=x+4(1+x)^-2. a) Sa se reprezinte graficul lui (x); b) Sa se afle aria S(a) a domeniului delimitat de graficul lui si dreptele y=x, x=1, x=a, a>1 si sa

se calculeze apoi lim S(a).    (UPB '78)

a ¥

5. Fie ¥ R (x)=½ (x+1)½. Sa se studieze continuitatea si derivabilitatea lui si sa se calculeze volumul corpului definit prin rotirea graficului lui in jurul axei Ox, pt. -1£ x £ (UPB '79)

6. Fie (x)=(2x²+1)/x(x+a), x¹0, x¹-a, a parametrul real. a) Sa se traverseze graficul lui stiind ca acest grafic trece prin A(1,1); b) Sa se determine aria figurii determinate de graficul lui (cu a determinat la a)) axa Ox si dreptele x=1, x=2. (UPB '79)

7. Se considera R R definita de (x)= (x²+1)+mx, unde m este parametru real.

a) Sa se determine m a.i. lim (x)/x=3.

x ¥

₁

b) Pt. m=2, sa se calculeze x (x) dx.

⁰

8. Fie R R definita prin (x)=ì0, x<1

ie^-x+1, x³

a)Sa se studieze continuitatea lui si apoi sa se traseze graficul fctiei.

₂

b) Sa se calculeze [x "(x)+ '(x)] dx. (ASE '78)

¹

9. Fie R R (x)=(x²+2bx+5)/(x-a), unde a,bIR

a) Sa se determine a,b a.i.

₃

b) Pt. a=-b=1 sa se calculeze (x) dx. (ASE '78)

²

10. Determinati o primitiva a fctiei R R, data de (x)=ìx²(ln½x½)², x¹

₁

si calculati (x) dx.    i x=0

^-1

11. Se considera fctia (x)=ì (1-x), xI

i(x+1)/2, xI

Sa se arate ca e bijectiva, sa se determine si sa se calculeze (x) dx.

⁰

12. Fie R R (x)=ìx²+ax+b, x£2. a) Sa se gaseasca relatia intre nr. a,b pt.

care este cotinua pe R. Sa se arate ca in

ibx+a, x>2 acest caz este derivabila pe R. b) Pt. a,b

determinati mai sus sa se gaseasca o primitiva a lui pe R si apoi sa se calculeze

(x)dx.    (ASE '82)

⁰ ₀

13. Sa se calculeze lim I(a), unde I(a)= e^x(2x²-3x)dx. (ASE '83)

a ¥ a

₃

14. Sa se calculeze dx/(½x-a½+1), unde aIR. Not. I(a) rezultatul gasit, sa se

¹

calculeze lim I(a).    (UPB '83)

a ¥

15. Sa se studieze continuitatea si derivabilitatea fctiei

R R (x)=ì½ln½x-4½½ xIR

ia sin (2px)+b, xI

₅

unde a,bIR. Sa se calculeze (x) dx pt. a,b determinati la continuitatea lui pe R

³ ₁

16. Fie ¥ R definita prin (x)=ìx, xI[0,1]. Sa se calculeze (e^t)/ (e^-t) dt.

⁰

₂ ix-1, x>1

17. Sa se calculeze I= ½x-1½/(x²+4) dx.

⁰ _b

18. Sa se calculeze lim (1-x)/(x³+8) dx. (ASE '85)

b ¥

1 1

19. Sa se arate ca 2 e £ e^x² dx+ e^1-x² £1+e.

⁰

_x

20. Fie p ¥ (x)= [(sin t +cos t)sin t]/cos²t dt. Sa se calculeze integrala

⁰

si sa se arate ca fctia e bijectiva. (ASE '86)

₃

21. Sa se calculeze ½(x-1)(x-2)(x-3)½ dx. (UPB '86)

¹

22. Fie fctia R (x)=x²/2-ln ⁴ x. Sa se calculeze aria suprafetei de rotatie determinata de fctia . (ASE '87)

23. Se considera R R (x)=ì(x-1)/e^x, x<1

iln²x/x,    x³

Sa se arate ca admite primitive si sa se calculeze o primitiva a sa.

_2n

24. Calculati lim 1/nå ⁿ e^k sin 2k/n. (ASE '87.)

_e ^k=1

25. I_n= (ln x)ⁿ dx, n³1 nIZ. a) (I_n)_n³ este monoton si marginit; b)Relatia de

¹

recurenta intre I_n si I_n-1 si calculati lim I_n.

₂ n ¥

26. Calculati max(ln(1+x²),1) dx.

⁰

27. Fie R (x)= ìmin(x²,½ln x½), x¹

i x=0. ₁

Sa se arate ca este integrabila si sa se calculeze (x) dx.

⁰

28. Fie p R (x)=ìsin x/x, x¹

_p i x=0.

Sa se arate ca 1< (x) dx<1+cos 1

⁰ ₂

29. Se not. I_n= (ln x)²/[x(1+(ln x)²)] dx, nIN. a) Calculati I_o, I₁; b) Sa se arate ca

¹

lim I_n=0.

n ¥

30. Fie p p R (x)=ìsin x/x, x¹0, pIR

ip, x=0.

a) Pt. p=? este integrabila? b) Sa se determine pÏ[0,1] pt. care admite primitive.

_{p p}

31. Aratati ca ln (1+tg x) dx< tg x dx.

^{0 0}

32. Fie R R (x)=ìln (1-x), x£

ia_ox²+a₁x+a₂, x>0, a₁,a₂,a₃ IR

a) Sa se determine a_o,a₁,a₂ a.i. sa fie de doua ori derivabila pe R

b) Sa se determine o primitiva a lui pe R

33. Fie R R (x)=ì1/x³ e^-1/x², x¹

i x=0.

a) Sa se studieze continuitatea si derivabilitatea lui si sa se calculeze

b) Sa se determine extremele locale si pctele de inflexiune ale lui

_n

c) Sa se calculeze lim (x) dx.

n ¥

34. Fie R R (x)=ì-x², xI ¥

i2x+l, xI ¥ lIR

a) Determinati l a.i. derivabila pe R

b) Pt. ce valori ale lui l admite primitive pe R si at. determinati familia lor.

35. Sa se arate ca (x)=min , xIR admite primitive, este integrabila pe [-2,2]

₂

si sa se calculeze (x) dx.

^-2

36. a) Sa se arate ca R R (x)=ì1/x⁵ e^-1/x², x¹

i x=0

admite primitive pe R

b) Sa se calculeze o primitiva a sa.

37. Se considera R R (x)=[(x+3)(x-1)²]/x²

1 Asimptota oblica spre +¥ la grafic este: A(y=x-1); B(y=x+2); C(y=x+1);

D(y=x+3); E(y=x).

2 admite un extrem local in pctul: A(x_o=2); B(x_o=-1); C(x_o=6); D(x_o=6/5);

E(x_o=1).

₂

3 I= (x) dx este: A(I=3-5 ln 2); B(I=4-5 ln 2); C(I=5ln 2-4); D(I=3ln 2+4);

E(I=4+5 ln 2).    (ASE '92)

_x

38. Se considera R R (x)= (2t+1)/(t²-2t+2) dt.

⁰

1 Valoarea fctiei in x_o=1: A( (1)=-ln 2+3p/4); B(ln 2 +3p/4); C(-ln 2+p

D(ln 2 -p/4); E(-ln 2 +p

2 Fctia admite un minim local in pctul A(x_o=1/2); B(x_o=1); C(x_o=-1);

D(x_o=-1/2); E(x_o=1/3). (ASE '92)

39. Se considera :M R (x)=(x+1)/(x²+ax+b), a,bIR, MÌR, fiind domeniul maxim de definitie.

1 x=1 asimptota verticala si in x=3 admite extrem local pt. A(a=1,b=2);

B(a=-8,b=7); C(a=-1,b=-2); D(a=2,b=3); E(a=5,b=3).

2 Pt. a=1,b=-2 domeniul maxim de deinitie M este: A(M=R

B(M=R); C(M=R); D(M=R); E(M=R

3 Asimptota orizontala spre +¥ este: A(y=1); B(y=0); C(y=-1); D(y=2); E(nu exista).

₁

4 Pt. a=2, b=3, I= (x+1)/(x²+2x+3) dx este: A(I=1/3 ln 2+1); B(I=1/3 ln 2);

^-2

C(I=ln 2); D(I=ln 2+1/2); E(I=1/3 ln 2+1/2). (ASE '92)

40. Se considera R R (x)=ì4^mx+1, x£

i2mx+2, x>1

a) Sa se determine mIR pt. care continua pe R

b) Sa se studieze derivabilitatea lui pe R pt. valorile lui m de la a).

₂

c) Pt. m determinat la a) sa se calculeze (x) dx.

⁰

41. Fie R R (x)=ìe^x, x£ a,b,cIR, a¹

iax²+bx+c, x>0

a) Studiati continuitatea fctiei;

b) Pt. c=1 sa se determine o primitiva a lui pe R

42. Se considera R R (x)=x²e^-x.

_n

a) Sa se calculeze I_n= (x) dx;

⁰

b) Sa se calculeze lim I_n. (ASE '90)

n ¥

43. Fie sirul (I_n)_n³ , unde I_n= ln (1+xⁿ) dx

⁰

a) Sa se calculeze I₃; b) Sa se arate ca sirul (I_n) este convergent;

c) Sa se calculeze lim I_n. (UPB '90)

n ¥

44. Fie F familia fctiilor derivabile R R avand proprietatea (x) dx=

⁰

a) Sa se determine fctiile polinomiale de grad 3 din F

b) Sa se arate ca '(x)=0 are cel putin doua radacini reale in (0,1), pt. IF

(UPB '90)

45. Fie R (x)=x-[x].

₂

a) Sa se arate ca este integrabila si sa se calculeze (x) dx.

⁰

b) Sa se arate ca nu admite primitive.

46. Se considera fctia R (x)=ìx, xI

i-2, xI

₁

Sa se arate ca e integrabila, dar nu are nici o primitiva . Sa se calculeze (x) dx.

⁰

47. Fie R (x)=(x⁴+5)/(x⁴+2).

a) Sa se studieze monotonia lui

₂

b) Sa se arate ca 7/3 £ (x) dx £

⁰

48. Fie R R (x)=ì2^ax+1, x£

iax+2, x>1

Sa se determine nr. real a pt. care admite primitive pe R si sa se determine aceste primitve.

49. Fie R R (x)=ìsin x/x, x¹

i x=0

a) Sa se arate ca admite primitive pe (-¥ ¥

b) Sa se arate ca nu admite primitive pe [0,1]

c) Sa se calculeze x³ (x) dx, xIR

50. Fie R R (x)=ìe^x, x£

iax+b, x>0, a,bIR

Sa se determine a,b a.i. admite prmitive pe R

51. Fie R R (x)=ìe^x x, x£

iax+b, x>1

a) a b=? a.i. derivabila pe R

b) graficul fctiei;

c) aria multimii marginita de curbele y= (x), x=-1, x=2, y=0.

₂

52. Calculati (x/(x+1)+½x-1½e^-x) dx

⁰

53. Fie R R (x)=ì2x²+n, x£

i2mx³+11m, x>2, m,n,IR

a) Determinati m,n, a.i. continua pe R

b) Determinati m,n, a.i. derivabila pe R

c) Cu m,n de la b) sa se determine o primitiva a lui pe R

54. Fie R (x)=ìarctg 1/x, xI

i p x=0

Sa se arate ca admite o primitiva si sa se calculeze aceasta.

55. Sa se calculeze: a) x/(1+x) dx, n>-1

b) x²/(x+1) dx, x>-1

₁

c) lim xn/(x+1) dx

n ¥

56. :[0,b] R, 0<b<1, data de (x)=1/(1-x).

a) Sa se arate ca satisface conditiile th. Lagrange pe [0,b].

b) Aplicand th. Lagrange fctiei , pe [o,b], sa se determine cI(0,b), depinzand de

b si notat prin c(b).

c) Sa se calculeze lim c(b).

b

_1/2

d) Sa se calculeze c(b) db.    (ASE '93)

⁰

57. Fie R R (x)=e^-x cos 4x. a) Determinati a,bIR a.i. F:R R

_np

F(x)=e^-x(a cos 4x+b sin 4x) sa fie o primitiva a lui ; b) Calculati I_n= (x) dx, nIN ; c) Sa se calculeze lim I_n.    ⁰

n ¥

58. Fie R (x)=ìx²+ax+b, xI

icx²+6x+6, xI[0,1] a,b,cIR

a) Sa se determine a,b,c a.i. fctiei sa i se poata aplica th. lui Rolle pe [-1,1].

b) Sa se aplice th. lui Rolle.

c) Pt. a,b,c determinati la a) sa se calculeze o primitiva pe [-1,1] pt.

ASE(REI) '93.

59. Fie R (x)=ìln³x, xI[1,e]

iax+b, xI[e,5], a,bIR

a) Determinati a,bIR a.i. sa verifice conditiile th. Lagrange.

_e

b) Calculati (x) dx. (ASE '93)

¹

60. Fie R R (x)=e^-x(x-4sin x). a) Calculati L₁=lim (x), L₂=lim '(x).

x ¥ x ¥

1

b) Calculati I= (x) dx; c) Gasiti nr. de solutii ale ec. (x)=0 din intervalul [0,3p

⁰ (UPB '93)

61. Fie p p R (x)=sin x. a) Sa se arate ca este o fctie Rolle; b) Sa se aplice th. lui Lagrange a cresterilor finite pt. ; c) Sa se arate ca 2/2<sin (5p/18)< < p

62. Se da :D R (x)=½x½e^1/(x-2). a) Reprezentati grafic fctia; b) Aratati ca pt. x>2 are loc inegalitatea (x)³ e.

63. a) Sa se determine constantele reale a si b a.i. fctia F:R R, F(x)=(ax²+bx-2)e^-x sa fie o primitiva a fctiei (x)=x²e^-x

b) Sa se arate ca g:[-1,1] R, g(x)=ìsin 1/x, x¹

i½, x=0. nu are primitive.

64. Sa se calculeze: a) (t+2)e-t dt _x²

b) F'(x) dc. F:R R, F(x)= (t+2)e^-t² dt

⁰

65. Sa se arate ca fctia R R (x)=ìe^x sin x, x<0 admite primitive pe R si calculati

o primitiva a ei.

ix²/(1+x), x³

66. Fie (x)=e^3x-x-1. a) Sa se calculeze ⁽ⁿ⁾

b) Sa se arate ca e^3x³x+1, pt. x>0. c) Sa se calculeze aria marginita de graficele fctiilor g(x)=e^x si h(x)=e^-2x(x+1) si dreptele fctiilor x=0, x=1.

67. Fie R R (x)=ì1/2 e^-1/x²+1/x² e^-1/x², x¹

ik, x=0

a) Sa se arate ca poseda primitive pt. xI ¥) si sa se calculeze o primitiva;

b)Sa se determine k a.i. poseda primitive pe R

_n

c) Sa se calculeze lim a_n, a_n= (x) dx. (ASE '94)

n ¥ -n

68. Fie (x)=e^x-x-1

a) Calculati extremele fctiei;

b) Aratati ca (x)³ xIR

₁

c) Dem. ca 1/e £ e^-x² dx £p (ASE '94)

⁰ ₁

69. Se considera I_n= ln (1+xⁿ) dx, nIN

⁰

a) Sa se calculeze I₁ si I₂.

b) Sa se arate ca sirul (I_n)_nIN este monoton si marginit. (ASE '94)

70. Fie a<b, a,bIR si o fctie continua :[a,b] R. Sa se arate ca fctia F:[a,b] R

_x

definita prin F(x)= (t) dt este o primitiva a fctiei . (MATE '94)

⁰ _p

71. Sa se calculeze (1-sin 2x)/(1+sin 2x) dx. (MATE '94)

⁰

72. a) Se da R R (x)=(1-x)e^x. Sa se calculeze ''(0) si sa se afle nIN dc.

_(n)

(0)<2.    _{x 2x}

b) Sa se calculeze l₁=lim (t) dt, l₂=lim 1/x (t) dt.

x 0 0 x ¥ 0

73. Fie (x)=(x²-1)/(x²+ax+b), a,bIR

a) Sa se det. a,b a.i. graficul fctiei sa admita ca unica asimptota verticala dreapta x=2.

b) Pt. a=-4; b=4 sa se reprezinte grafic fctia (folosind derivata a II-a);

c) Sa se calculeze aria domeniului plan marginit de graficul fctiei (de la pctul b)), axa Ox si dreptele x=-2, x=0.

74. Fie R R (x)=ìx²-x, x£

ix³ln x, x>0

a) Studiati continuitatea fctiei

b) Calculati (x) dx, xIR

75. a) Definiti notinunea de primitiva pt. :I R

b) Fie I_n= xⁿ/ (1+x²) dx, nIN. Sa se calculeze I_o,I₁,I₂ si sa se stabileasca o relatie de recurenta pt. I_n.

76. Fie R R (x)=½ln(1/2+½x½ ½. a) Studiati derivabilitatea fctiei pe R

b) Determinati primitivele fctiei

77. Calculati dx/(2+sin x) pe (-p p) si pe (-p p

78. Fctia R, definita prin (x)=max (x,xln (1+x)) este integrabila pe [0,2] si

₂

sa se calculeze (x) dx.

⁰

79. Fie I_n= lnⁿx dx, nIN. a) Aratati ca (I_n)_n³ este monoton si marginit; b) Gasiti o relatie de recurenta intre I_n si I_n-1; c) Calculati lim I_n.

_k

80. a) Calculati a_k= dx/(x²+3x+2), xIN

_n ⁰

b) b_n=å a_k+n ln ½;

^k=1

c) lim b_n;

n ¥

d) lim b_n/ln n. ASE(REI) '94

n ¥

81. Fie R R (x)=ìx³+ax²+bx+c, x<1

iarctg (x-1), x³

a)      Stiind ca e de 2 ori derivabila pe R, sa se determine a,b,cIR

₂

b) Pt. a=1, b=2, c=3 sa se calculeze (x) dx.    (ASE '94)

₂ ⁰

82. Sa se calculeze e^x (x) dx, unde R (x)=max (x,x³).

⁰

83. Fie _n R R, nIN _n(x)= x cos x sin^2n-1x.

a) Calculati F_n(x)= _n(x) dx pt. n=1 si n=2.

b) Determinati F₂(x) a.i. F₂(p p

c) Sa se stabileasca o formula de recurenta pt. calculul lui F_n(x), n³

84. Fie R R (x)=max (x²+3x+2, -x²+6x+7)

xIR

a) Studiati continuitatea si derivabilitatea fctiei;

b) Determinati pctele de extrem;

c) Calculati aria cuprinsa intre axa Ox, graficul fctiei si dreptele x=-3 si x=3.

_{p 1/2} (ASE '94)

85. Sa se arate ca sin²x dx+ arcsin x dx=p/8. (ASE '95)

^{0 0}

86. Fie ¥ R (x)=ìx[1/x], x>0

i x=0

a)      Graficul fctiei pe I=[1/(n+2); 1/2], nIN fixat

_1/n

b)      Integrabilitatea fctiei pe I si in caz afirmativ calculati (x) dx.

1/(n+2)

c) Dem. ca admite primitve pe (1,¥) si determinati o primitiva a sa.

ASE(REI) '95

87. Fie _n R _n(x)=xⁿe^1-x, nIN a) Sa se arate ca 0£ _n(x) £ xI

nIN ; b) Dc. I_n= _n(x) dx, at. sa se determine o relatie de recurenta intre I_n si I_n-1;

c) Sa se arate ca sirul (I_n)_n³ este marginit.

88. Se considera ¥ R (x)=ì(t ln t)/(1+t²)², t>0

i , t=0

a) Continuitatea fctiei in t=0.

_n

b) I_n= (t) dt, nIN

c) lim I_n    (ASE '95)

n ¥

89. a) Sa se arate ca (x-1)/x £ln x £x-1, x>0

b) Folosind a) sa se arate ca pt. 1<a£b au loc inegalitatile:

_b

1/e(e^b-e^a)£ x^xdx£e^b²(e^-a-e^-b)

^a

90. Fie I_n= xⁿ/(x+1) dx, nIN. a) Sa se calculeze I_o,I₁;

b) lim I_n

n ¥

_x

91. Fie F:[0,1) R, F(x)= (1-t)ⁿ/(1-t) dt. Sa se arate ca:

⁰

a) 0£ln 1/(1-x)-F(x)£xⁿ⁺¹/(1-x), xI[0,1), nIN

_n

b) F(x)=å x^k/k, xI[0,1), nIN

^k=1

_n

c) lim å 1/k2^k=ln 2.

n ¥ k=1

92. Fie R (x)=min . Fie A=si I= (x) dx. At.:    ⁰

1 A(A∩[0,3/2)=0); B(A=); C(A∩(0,1)¹0); D(A=); E(A=0).

2 A(I=1/2+p); B(I=(3-p)/6); C(I=(6-p)/12); D(I=(p+3)/6); E(I=(3+2p

(ASE '97)

93. Fie R (x)=(x-[x])/(2x-[x]+1), unde [x]-parte intreaga. Fie S=suma

₂

pctelor de discontinuitate ale fctiei si I= (x) dx. Atunci:

⁰

1 A(S=1/2); B(S=1); C(S=2); D(S=3); E(S=3/2)

2 A(I=ln 3); B(I=1-ln 6); C(I=1-1/4 ln 12); D(I=1/2-ln 12); E(I=1/4 ln 12-1).

(ASE '97)

_n+1

94. Fie ¥ R (x)=[x]/(x²+3x[x]+2[x]²), a_n= (x) dx, nIN . L=lim a_n si

n

a (2+0). Stabiliti daca:

1 A(L=ln 6); B(L=ln 3/2); C(L=¥); D(L=ln 2/3); E(L=0).

2 A(a=1/2); B(a=3/4); C(a=1/6); D(a=1/24); E(a

(ASE '97)

₁

95. Fie (x)=lim [(n²+xn+1)/(n²+3n-2)]ⁿ si I= x (x) dx. Valoarea lui I este:

n ¥ 0

a) e^-4; b)e^-3; c)e^-2; d)e^-1; e)0.

_n

96. Se da I_n= dt/[(t+2)( (1+t)+1)], nIN. a) Calculati I_n; b) Calculati lim I_n.

⁰ ₂ ⁿ

97. Fie R R (x)=(4+x)/ (9+x²) si I= (x) dx. Atunci:

a)I=1; b)I=-1; c)I=0; d)I=3; e)alta varianta.

₂

98. Valoarea integralei (x²+x³) dx este: a)2 2; b)2 2; c)1; d)2/15(2 2); e)4/15(6 ¹

99. Fie F o primitiva a fctiei ¥ ¥ continua pe (0,¥) si care satisface

₂

proprietatile: 2x F(x)= (x), x>0 si (ln 2)=8(ln 2)e^ln²2. Dc. T= (1) si I= (x) dx, at:

¹

1 a)T=e+ln2; b)8e; c)e^-ln²2; d)2e²; e)2ln²2.

2 a)I=e³+1; b)e⁴-1; c)e²-3; d)4e(e³-1); e)e⁴+e³+1. (ASE '2000)

100. Fie R (x)=max (x-y)². Dc. S= suma derivatelor laterale ale lui in

₁ ^yI

x_o=1/2 si I= (x) dx, at:

⁰

1 a) S=-1; b)-1/2; c)0; d)1/2; e)1.

2 a) I=5/12; b)3/4; c)1/3; d)7/12; e)7/6. (ASE '00)

101. Fie R R, unde _m(x)=³ (x²+(m-2)x-m+2), mIR. Fie A=

_(3-m)/2

Pt. mIA, fie I(m)= (x) dx si L=lim I(m). At.:

^{(2-m)/2 m}

1 a)A=(-1,3); b)(2,¥); c)(-2,2); d)(-¥ È ¥); e)(-¥ È ¥

2 a)L=1/p 3; b)(p+1)/6; c)p/3; d)p 3/9; e)p (ASE '00)

102. Fie R R (x)=ì (x²-x), x³

ix²-x, x<1

a) Aratati ca admite primitive.

b) Calculati o primitiva a lui

103. I. Fie :DÌR R (x)=a (x+1)+b (x+2)+ (x+3), unde a,bIR si D-domeniu max. de def.

a) Pt. a=-1 si b=0 reprezentati grafic fctia

b) Aratati ca lim (x) dx=0 Û a+b+1=0

₁ x ¥

II. Fie I_n= ln (1+xⁿ) dx, nIN

⁰

a) Calculati I₂;

b) Dem.ca (I_n)_n³ e convergent si calculati lim I_n.

n

104. I. Fie aIR, a>0 si ¥ R (x)=(x²+a²)/2x.

i) Studiati monotonia fctiei

ii) Fie (x_n)_n³ , def. prin x_n+1=(xn²+a²)/2xn, cu x_o>a. Sa se studieze monotnia si

convergenta sirului (x_n)_n³ . Sa se calculeze limita sirului. Ce se poate spune dc. 0<x_o<a?

II. Fie n³0, nIN si fie I_n= xⁿe^x dx.

i) Calculati I₁,I₂.

ii) Stabiliti legatura intre I_n si I_n+1

iii) Aratati ca I_n£e-1, n³0. (MATE '01)

105. Calculati dx/x2(x2+1). a)p 3; b)p 3; c)p 3; d)-p

e)( p

106. 1. Fie :D R (x)= (ax²+bx+c), xID. Fctia admite unextrem egal cu 3/2 si are asimptota oblica y=-x+1/2 la - ¥ dc.: a)a=-1, b=1, c=0; b)a=b=c=1; c)a=c=1, b=-1;

d)a=b=1, c=-1; e)a=c=1, b=3.

_2n

2. lim n (x+1)/ (x⁶+1) dx este: a)1; b)1/2; c)2; d)1/4; e)3/4.

n ¥ n

107. Fie R R (x)=(ax²+bx+2)/(x-1), unde a,bIR

i) Det. a,b a.i graficul fctiei admite ca asimptota oblica dreapta de ec. y=x+2

ii) Pt. a=b=1 sa se studieze variatia fctiei si sa se reprezinte grafic.

iii) Calculati aria multimii marginite de graficul fctiei , asimptota oblica si dreptele de ec. x=2 si x=3.

_p

108. Fie I_m= sin^mx/(sin^mx+cos^mx) dx, mIN

a) Calc. I₁,I₂.

b) Aratati ca I_m=ct., mIN

_2n

109. a) Calculati lim n³ x/(1+x⁵) dx. a)1/24; b)-7/24; c)5/24; d)7/24; e)3/8.

n ¥ n

b) Fie a<b si :[0,b-a] R, continua pe [0,b-a]. Sa se calculeze

_b

(x-a)/[ (x-a)+ (b-x)] dx in fctie de a si b.

^a

a)(b-a)/2; b)b-a; c)a-b; d)(a-b)/4; e)(b-a)/3.

110. 1. Se considera fctia R R (x)=x- ½x²+x½. Sa se determine multimile: D=, E= si intervalele de monotonie ale fctiei.

2. Sa se calculeze I= e ^{arctg x}/(1+x²)^3/2 dx.