Studiul corelational

Studiul corelational

Corelatia este o metoda statistica utilizata pentru a determina relatiile dintre doua sau mai multe variabile. Exista mai multe tipuri de corelatii atat parametrice cat si neparametrice.

Coeficientul de corelatie este o valoare cantitativa ce descrie relatia dintre doua sau mai multe variabile. El variaza intre (-1 si +1), unde valorile extreme presupun o relatie perfecta intre variabile in timp ce 0 inseamna o lipsa totala de relatie liniara. O interpretare mai adecvata a valorilor obtinute se face prin compararea rezultatului obtinut cu anumite valori prestabilite in tabele de corelatii in functie de numarul de subiecti, tipul de legatura si pragul de semnificatie dorit.

Corelatii parametrice

Principalele doua conditii ce trebuie a fi indeplinite pentru a utiliza probe parametrice sunt:

distributia normala a variabilei de interes din cadrul esantionului cercetarii;

omogenitatea dispersiei esantionului cercetarii referitor la variabila supusa studiului.

Probele parametrice sunt preferate in cazul indeplinirii acestor conditii deoarece sunt mai solide, ceea ce inseamna cresterea sansei de a respinge o ipoteza falsa. Aceste conditii pot fi verificate prin localizarea mediei in cadrul distributiei normale a datelor cat si prin calcularea indicatorilor de omogenitate a esantionului cercetat.

Exista mai multe tipuri de corelatii parametrice. Pe parcursul acestui subcapitol ne vom opri la:

- coeficientul de corelatie simpla (Bravais-Pearson);

- coeficientul de corelatie eneahoric;

- coeficientul de corelatie partiala;

- coeficientii de corelatie biserial si triserial.

Coeficientul de corelatie simpla r

In acest tip de corelatie sunt implicate doua variabile numerice care indeplinesc conditiile parametrice. Pentru fiecare subiect avem doua rezultate. Calculul coeficientului de corelatie simpla (Bravais-Pearson) implica abaterile relative ale rezultatelor din cele doua distributii fata de mediile corespunzatoare. Exista mai multe formule de calcul in acest sens. Una din formulele de calcul a lui r este:

Unde:

N = numarul de subiecti al esantionului;

S x la patrat si S y la patrat se obtin prin ridicarea la patrat a rezultatelor si apoi sumarea lor.

S x totul la patrat si S y totul la patrat se obtin prin insumarea tuturor x-ilor si y-ilor si apoi se ridica rezultatul la patrat.

S xy este suma produselor dintre cele doua variabile.

O alta formula de calcul, porneste de la covarianta:

Unde: n este numarul de subiecti; Sx si Sy sunt abaterile standard ale celor doua variabile; Mx si My sunt mediile celor doua variabile.

Pentru o intelegere mai buna a acestor situatii vom apela la exemplul urmator:

Un cercetator doreste sa stabileasca ce legatura exista intre abilitatea unui individ de a fi indragostit si altruismul sau social. Sa ne imaginam deci, ca ar exista un test prin care sa poata fi masurata cantitativ abilitatea de a fi indragostit, proba pe care cercetatorul ar corela-o cu o scala de evaluare a gradului de altruism social. Au fost testati 20 de subiecti. Pentru usurarea calculelor se realizeaza un tabel ajutator, in care sunt trecute printre altele si valorile obtinute la testare (X= abilitatea de a fi indragostit; Y= altruismul).

S x= 202; S y= 281; S x2= 2232; S y2= 4193; S xy= 3019; (S x)2= 40804; (S y)2= 78961.

In urma rezultatelor obtinute la cele doua teste se poate calcula r simplu inlocuind in formula data mai sus:

OBSERVATII:

- Suma de x este diferita de (x) ;

- Uneori apare un coeficient de corelatie negativ atunci cand relatia dintre variabile este de fapt pozitiva. Conteaza modul in care sunt evaluate variabilele. Daca una din variabile implica o valoare mare la un rezultat mare, iar cealalta variabila indica o valoare mare la un rezultat mic atunci o corelatie negativa intre elemente indica de fapt o asociere pozitiva intre variabile.

Interpretarea increderii lui r

Criteriul dupa care poate fi discutata semnificatia lui r presupune consultarea unei tabele special construite. Prin acest procedeu se poate respinge ipoteza nula conform careia ca nu exista o relatie adevarata (semnificativa), intre variabile, iar eventualele asocieri se datoreaza intamplarii. Daca o relatie este semnificativa din punct de vedere statistic, adica este de incredere, inseamna ca vom obtine rezultate similare daca s-ar reface experimentul.

In utilizarea tabelului lui r putem alege diferite praguri de semnificatie. Exista o intelegere la nivelul comunitatii stiintifice internationale ca pragul minim acceptat pentru a considera o relatie semnificativa statistic este 0,05. Aceste valori pot fi insa si mai mici.

Pentru aflarea semnificatiei unui coeficient de corelatie este necesara parcurgerea urmatorilor pasi:

Se alege nivelul de semnificatie dorit, sa zicem de 0,05. Aceasta inseamna ca la efectuarea a 100 de experimente vom obtine un rezultat bun datorat intamplarii in maxim 5 cazuri din 100. In restul cazurilor vom obtine un rezultat bun datorita asocierii reale dintre variabile. La nivelul de 0,01 relatia este si mai puternica, iar eroarea are loc numai intr-un singur caz din 100. Deci testul de semnificatie de 0,01 este mai riguros la nivelul de .01 decat la nivelul de .05 si este nevoie de o corelatie mai puternica pentru a atinge nivelul de semnificatie de 0,01.

Se stabileste tipul de relatie intre variabile: bilaterala (two-tailed), respectiv unilaterala (one-tailed). Cercetatorul este cel care decide ce valoare va consulta. In cazul in care din punct de vedere teoretic, se urmareste sa se demonstreze ca doua variabile coreleaza fie direct, fie invers, va fi folosit testul unilateral. Daca asemenea informatii lipsesc si se doreste relevarea doar a coefientului de corelatie fara a se preciza directia legaturii, vorbim despre testul bilateral. Matematic pentru testul unilateral avem r12>0 sau r12<0, in timp ce pentru testul bilateral avem r12`0. In exemplul dat, intalnim situatia unui test bilateral deoarece nu este precizata directia legaturii intre usurinta de a se indragosti si altruism.

Se citeste din tabel valoarea lui lui r pentru coloana corespunzatoare numarului de grade de libertate (notat cu df). Acestea sunt pentru r de df=N-2 stabilindu-se in functie de numarul de subiecti N validati.

Daca valoarea lui r obtinuta in urma calcularii sale o depaseste pe cea din tabel, atunci aceasta este semnificativa la pragul de semnificatie ales, in cazul nostru de 0,05 (notat si cu .05) si numarul de grade de libertate specificat. Se poate observa ca valoarea coeficientului de corelatie necesara pentru un r 'semnificativ' scade pe masura ce creste numarul de subiecti, implicit gradele de libertate. Se remarca astfel ca valorile foarte mici ale coeficientilor de corelatie pot fi semnificative numai daca se lucreaza cu grupe mari de subiecti. Spre exemplu un r = 0,64 este semnificativ la un prag de semnificatie p<.05 pentru opt grade de libertate, adica 10 subiecti (N-2), unde in dreptul valorii de p.05 (0,05) la df=8 se gasea in tabel valoarea de 0.63 pentru testul bilateral. La fel de semnificativ este si un r = 0,20 la un prag de semnificatie p<.05 pentru df=100, coeficientul obtinut fiind mai mare decat valoarea de 0,19 tecuta in tabel.

In cazul problemei data spre exemplu am obtinut un r = 0,83 semnificativ la un parg de semnificatie p<.05 si df = 18. In tabel era trecuta valoarea de 0,44, cifra mult mai mica decat cea obtinuta de noi. Interpretarea acestui rezultat arata ca ipoteza nula este respinsa si ca exista o relatie semnificativa din punct de vedere statistic intre capacitatea de a oferi dragoste si gradul de altruism social.

Daca urmarim tabelul de valori ale lui r, observam ca r obtinut (0,83) este semnificativ si la un parg de semnificatie inferior p<.001 si df = 18, in dreptul careia era trecuta in tabel valoarea de 0,67.

Interpretarea corelatiei din perspectiva semnificatiei

Statistica poate raspunde la doua intrebari privind datele pe care le avem: Sunt autentice relatiile (efectele) descoperite? Ce semnificatie au acestea?

Cel mai utilizat criteriu pentru interpretarea semnificatiei coeficientului de corelatie este coeficientul de determinare (r - r patrat). Acest criteriu nu are intotdeauna insemnatate din cauza influentei importante pe care o are marimea lotului in determinarea coeficientului de corelatie. El trebuie analizat cu grija in cazurile in care exista un numar relativ mic de subiecti (sub 20). De asemenea, coeficientul de determinare poate fi aplicat doar daca am obtinut in prealabil un r semnificativ.

Prin intermediul lui r patrat se determina partea de asociere comuna a factorilor care influenteaza cele doua variabile. Cu alte cuvinte, coeficientul de determinare indica partea din dispersia totala a masurarii unei variabile care poate fi explicata sau justificata de dispersia valorilor din cealalta variabila.

De exemplu, in cazul problemei amintite corelatia gasita a fost de 0,83, ceea ce inseamna ca r = (r) (coeficientul de corelatie la patrat) este de 0,69. Uzual coeficientul de determinare se inmulteste cu 100 si exprimarea se transforma in procente din dispersie (69%).

Pentru o corelatie r de 0,83 intre capacitatea de a fi indragostit si gradul de altruism social, putem spune ca aproximativ 69% din dispersia dintr-un test este asociata cu celalalt. Urmeaza o analiza psihologica, ce ramane la interpretarea fiecaruia atat asupra factorului comun dintre cele doua variabile cat si a diferentelor dintre ele. Un cercetator adept al teoriei triunghiulare a dragostei a lui Sternberg ar considera ca cele 69% ce implica comunalitatea celor doua variabile pot fi explicate prin doi factori: implicarea in relatie respectiv, caldura si deschiderea persoanei. Ce se poate spune despre dispersia neexplicata? In cazul problemei date este de 1 - 0,69, adica care transformat in procente inseamna 31%. Acelasi cercetator ar considera ca diferenta dintre cele doua variabile este data de lipsa pasiunii din componenta altruismului ca element definitoriu al dragostei.

Un alt cercetator ar putea explica aceste cifre pornind de la interpretarea lui Moreau data dragostei pe care o considera nu numai din perspectiva daruirii ci si din prisma schimbului avantajos reciproc.

Aceasta comunalitate dintre doua variabile sta si la baza tehnicilor de analiza factoriala.

OBSERVATIE:

Cind utilizam coeficientul de determinare pentru a interpreta coeficientii de corelatie este nevoie de o relatie puternica (r mare) pentru a explica o parte mare din dispersia comuna. Astfel, un r de 0,71 este necesar pentru a explica jumatate din dispersia celuilalt test.

Interpretarea coeficientului de corelatie depinde in mare masura si de scopul corelatiei. De exemplu, daca analizam fidelitatea unui test este necesara o corelatie mult mai mare decit atunci cand vrem sa determinam pur si simplu daca exista o relatie intre doua variabile.

O corelatie de 0,90 nu este pur si simplu de trei ori mai mare decat una de 0,30; ea este de fapt de noua ori mai mare (0,30) la patrat = 0,09 sau 9% si (0,90) la patrat = 0,81 sau 81%.

Coeficientul de contingenta C a lui Pearson si coeficientul de corelatie V a lui Cramer

Acesti doi coeficienti indeplinesc functii similare si sunt utilizati pentru a identifica ce asocieri exista intre doua variabile nominale (categoriale) a caror desfasurare este mai mare de 2 x 2, putand ajunge la 10 x 10.

Coeficientul de contingenta a C a lui Pearson are o formula ce poate fi generalizata la orice numar de linii si coloane. Pentru a calcula insa coeficientul C trebuie sa aflam mai intai si valoarea lui hi patrat. Deficienta acestui coeficient apare din formula sa care va fi prezentata mai jos si consta in faptul ca ea nu poate lua niciodata valoarea 1, chiar in cazul unei asocieri perfecte. Astfel, pentru un tabel de tip 3 x 3, valoarea maxima atinsa este de 0,82, pentru unul de tip 4 x 4 ea ajunge la 0,87. Pe masura ce dimensiunea tabelului creste, limita lui C se deplaseaza spre 1, motiv pentru care se recomanda utilizarea respectivului coeficient in special in cazul tabelelor de contingenta de dimensiuni mari (de la 7-8 linii sau coloane in sus). Iata si formula lui C:

Pentru a depasi acest impas al valorii subunitare, Cramer propune urmatorul coeficient de asociere, marime care poate atinge valoarea 1:

Unde sunt necesare:

hi patrat;

N- numarul total de subiecti din studiu;

s- numarul cel mai mic dintre numarul liniilor si al coloanelor.

Exemplu: Un cercetator este interesat sa vada daca exista vreo asociere intre stilurile de coping adoptate de subiecti in depasirea situatiilor stresante si particularitatile de varsta ale acestora. Astfel, cercetatorul chestioneaza un numar total de 373 de subiecti impartiti in patru grupe de varsta: tineri intre 18-30 ani; adulti intre 31-45ani; maturi intre 46-60 ani; si batrani peste 60 de ani. Raspunsurile acestora la ipotetice situatii frustrante sunt catalogate in trei grupe: utilizarea predominanta a copingului centrat pe problema; a copingului centrat pe evaluare cognitiva, respectiv a copingului centrat pe emotii. Obtinem astfel un tabel de contingenta a datelor de tip 4 x 3, adica cu 4 linii si trei coloane. Iata si rezultatele obtinute:

Pasi in rezolvarea problemei:

A.     Aflarea lui hi patrat (vezi capitolul destinat tehnicilor de comparatie neparametrice):

-trecerea in tabel a valorilor obtinute in urma chestionarii;

-calcularea frecventelor teoretice (expectate) notate in paranteza pentru fiecare casuta a tabelului, pornind de la proportia totala a raspunsurilor la cele trei stiluri de coping fara a tine cont de categoria de varsta a subiectilor (vezi calcularea lui hi patrat pentru tabele de contingenta mai mari de 2 x 2);

-alcatuirea tabelului ajutator pentru calcularea lui hi patrat;

calcularea lui hi patrat si interpretarea rezultatului obtinut;

Hi patrat=30,8

Se observa ca hi patrat obtinut de 30,8 este semnificativ statistic din tabel la df=6 grade de libertate la un p mai mic de .001. De asemenea exista patru valori ale lui R care sunt socotite a fi responsabile pentru obtinerea unui hi patrat semnificativ. Urmarind acele date observam ca ele se refera la modul in care doua categorii de varste (batranii si tinerii) utilizeaza copingul cognitiv si cel emotional. Concluzia care rezulta din inspectarea datelor poate fi sintetizata astfel: Nu exista diferente semnificative in ce priveste preferinta de a utiliza copingul centrat pe problema intre cele 4 categorii; batranii tind sa utilizeze in comparatie cu tinerii mult mai des copingul cognitiv in defavoarea celui emotional; la tineri situatia este inversa in compararea lor cu tendintele batranilor. Nu se observa alte diferente semnificative dinn prelucrarea datelor la alte categorii.

B) Calcularea coeficientilor de asociere C si V in functie de rezultatul lui hi patrat.

s este in aceasta problema egal cu 3 deoarece exista 4 linii de date (tineri, adulti, maturi si batrani) si 3 coloane de date (coping centrat pe problema, pe evaluare cognitiva si pe emotii). Se alege s egal cu trei deoarece este numarul cel mai mic dintre patru si trei.

Interpretarea lui C, respectiv V se face teoretic pornind de la ideea ca un rezultat cat mai apropiat de 1 indica o corelatie pozitiva, iar un coeficient negativ indica o asociere inversa. Se poate spune ca intre cele doua variabile exista o asociere, iar din analiza lui R (rezidul standardizat) se observa asociatii puternice in special in ce priveste copingul cognitiv si batranii, respectiv copingul emotional si tinerii.

Regresia liniara

Unul din principalele capitole ale statisticii are in vedere posibilitatea de a face predictii. Desi nu se gasesc relatii perfecte in lumea reala, prin intermediul regresiei se pot face predictii ale unei variabile, in functie de valoarea alteia. Predictia este procesul de estimare a valorii unei variabile cunoscand valoarea unei alte variabile.

In continuare, ne vom referi doar la situatia regresiei simple (o variabila dependenta si una independenta) si liniare (relatia dintre cele doua variabile poate fi descrisa printr-o dreapta in cadrul norului de puncte).

Regresia se leaga foarte mult de conceptul de corelatie. O asociere puternica intre doua elemente conduce la cresterea preciziei predictiei unei variabile pe seama alteia. Daca am avea o corelatie perfecta (+1 sau -1) estimarea ar fi extrem de precisa.

Pentru a intelege mai bine regresia, vom oferi un exemplu: sa presupunem ca intre deficitul de atentie si tulburarile emotionale s-a obtinut un coeficient de corelatie r = 0,80 pe un lot de 50 de subiecti. Regresia ne da posibilitatea sa estimam ce tulburari emotionale are un subiect daca cunoastem in prealabil nivelul deficitului de atentie si tipul de relatie dintre cele doua variabile.

Procesul de regresie presupune doi pasi. Primul se refera la determinarea ecuatiei de regresie, iar cel de-al doilea consta in utilizarea acestei ecuatii in a predictie.

Forma generala prin care se exprima o ecuatie de regresie este:

Unde: Y prim este rezultatul estimat;

a este interceptul (locul pe ordonata unde dreapta de regresie se intersecteaza cu OY, valoarea lui Y pentru X=0);
b este panta de regresie (ne arata cu cat se modifica Y atunci cand X creste (scade) cu o unitate;
X este variabila criteriu (cunoscuta).

Calcularea coeficientilor de regresie a, respectiv b conduce la realizarea primului pas din procesul regresiei.

Exista doua posibilitati de calculare a lor:

a.      

daca se cunoaste valoarea coeficientului de corelatie dintre cele doua variabile X si Y, media si abaterea standard a celor doua variabile putem aplica urmatoarele formule:

Unde: r este valoarea coeficientului de corelatie dintre X si Y;

Sy este abaterea standard a variabilei Y;

Sx este abaterea standard a variabilei X.

Unde: My este media variabilei Y;

Mx este media variabilei X.

In exemplul nostru, sa presupunem ca media variabilei X (deficitul de atentie) a fost 20, iar abaterea standard 5. In acelasi timp, media variabilei Y (tulburari emotionale) a fost 16, iar batarea standard 4. Vom calcula in continuare coeficientii ecuatiei e regresie liniara a si b.

Ecuatia de regresie pentru aceasta problema este:

Interpretarea acestor valori reprezinta al doilea pas din procesul de regresie, cu ajutorul caruia putem estima valoarea lui Y pornind de la orice valoare a lui X.

Coeficientul a ne arata care este valoarea lui Y cand X este zero. In schimb, coeficientul b (panta de regresie) ne arata cu cat este influentat Y atunci cand X creste cu o unitate.

In problema de fata vom calcula in continuare valorile estimate ale lui Y pentru X =0, 1 si 2.

Ce inseamna acest lucru? Daca un subiect obtine scorul 0 la deficit de atentie, estimam sa obtina rezultatul 3,2 la scala de tulburari emotionale. Daca un alt subiect obtine nota 1 la deficitul de atentie, predictia noastra este ca va obtine rezultatul de 3,84 la testul de tulburari emotionale s.a.m.d.

b.      Cea de-a doua modalitate de calcul este metoda celor mai mici patrate. Aceasta cale nu necesita cunoasterea valorii coeficientului de corelatie, a mediei sau a abaterii standard a variabilelor implicate. De aceea metoda este utila in cazurile in care cunoastem doar datele brute.

Pentru calculul lui a si b avem urmatorul sistem de ecuatii:

Unde: n este numarul de cazuri ale unei variabile.

Sa presupunem urmatorul exemplu: Zece subiecti sunt testati in ce privete nivelul de creativitate (Y) si stilul caligrafic (X) al grafiei lor. Au fost obtinute urmatoarele rezultate:

S S S S

Obtinem astfel:

10a + 135b = 147

135a +1895b = 1918

In urma calculului va rezulta:

a = 27,08. Iar b = -0,91

Ecuatia de regresie obtinuta este:

Y = 27,08 - 0,91X

Vom face in continuare predictii ale nivelului de creativitate pornind de la aceasta ecuatie in situatiile in care un subiect ar obtine nota 11, respectiv nota 19 la proba de caligrafie.

Y1 = 27,08 - 0,91*11 = 17,07

Y2 = 27,08 - 0,91*19 = 9,79

Putem observa ca intre valorile estimate si valorile efective obtinute sunt cateva diferente (17,07 estimata fata de 17 obtinuta, respectiv 9,79 estimata fata de 10 obtinuta).

Aceste diferente intre valorile reale si cele estimate reprezinta erorile de estimare sau valorile reziduale. Daca am calcula toate valorile reziduale si media lor, am obtine media zero si abaterea standard ar fi eroarea standard a estimarii. Aceasta se interpreteaza asemanator cu abaterea standard in situatia unei distributii normale a datelor.

Formula de calcul prescurtata a acestei erori standard este:

Unde sy este abaterea standard a variabilei y

r este valoarea coeficientului de corelatie

In cazul primului exemplu vom obtine:

Sa luam cazul in care un subiect obtine nota 1 la proba de deficit atentional. Valoarea estimata a tulburarilor emotionale este de 3,84. Cu ajutorul acestei erori standard putem aproxima ca in 68% din cazurile in care un subiect obtine cota 1 la deficitul de atentie (adica, intre -1 si +1 sy/x) vom obtine o valoare estimata de tulburari emotionale de 3,84 2,4. Cu cat coeficientul de corelatie este mai mare, cu atat eroarea de estimare va fi mai mica.

Valorile critice ale coeficientului de corelatie r

Pentru a fi semnificativa valoarea obtinuta trebuie sa fie mai mare sau egala cu valoarea corespondenta din tabel.

Valorile critice ale lui ro(Spearman)

Valorile critice ale distributiei lui t

Pentru a fi semnificativa valoarea obtinuta trebuie sa fie mai mare sau egala cu valoarea corespondenta din tabel.

Valorile critice ale distributiei hi patrat

Pentru a fi semnificativa valoarea obtinuta trebuie sa fie mai mare sau egala cu valoarea corespondenta din tabel.