Abordarea statistica a riscului

Abordarea statistica a riscului

Riscul unui activ se defineste prin variabilitatea rentabilitatii viitoare a activului, fiind legat de probabilitatea ca activul sa aiba o rentabilitate reala mai mica decat aceea asteptata. Rentabilitatea asteptata reprezinta rentabilitatea estimata ca va fi realizata de o investitie, fiind masurata prin valoarea medie a distributiei de probabilitate a rentabilitatilor posibile.

1. Distributia de probabilitate

Decizia de investitii necesita previziunea fluxurilor de lichiditati care vor intra anual, in viitor, determinate de aceasta investitie. De regula estimatia este punctuala, reprezentand o marime, denumita estimatia probabila (de exemplu, se estimeaza ca vor intra 500 lei timp de 4 ani). Certitudinea realizarii rentabilitatilor esimate, invers spus, gradul de incertitudine, poate fi definit si masurat prin distributia de probabilitate a predictiei, adica asocierea fiecarei rentabilitati estimate a unei probabilitati.

O anumita rata de rentabilitate poate fi interpretata ca rata interna de rentabilitate ((R.I.R.) a investitiei, pe baza fluxurilor de lichiditati asociate.

R.I.R. reprezinta rata de actualizare pentru care valoarea prezenta a fluxurilor viitoare de lichiditati este egala cu valoarea investitiei, valoarea prezenta reprezentand valoarea de azi a unor plati sau incasari viitoare, valoare actualizata prin rata corespunzatoare de actualizare.

De exemplu, o investitie de 1000 lei are trei valori estimate (k), ale fluxului de lichiditati (FL) anual, pe durata de 3 ani: 210 lei, 438 lei, 711 lei.

R.I.R. se obtine prin rezolvarea ecuatiei nr. 98, pentru succesiunea fluxurilor de capital:

(98)

Daca fluxul de lichiditati rezultat este de 210 lei, R.I.R. este de -20%, pentru 438 lei este de 15%, pentru 711 lei este 50%.

Prezentam in tabelul distributia de probabilitate a rentabilitatilor estimate in cazul unei investitii de 20.000 lei, realizata de catre banca, in activul A:

Activul A Tabelul nr. 14

Insumand produsele din coloana 5 se obtine rata esimata a rentabilitatii, , conform formulei:

., (99)

avand in exemplul luat:

Venitul mediu asteptat (Va) va fi deci, pe baza datelor de mai sus:

lei (100)

sau insumand produsele din coloana 6,

Va = -800+1.500+3.000 = 3.700 lei

Masurarea riscului: devianta standard

Riscul poate fi definit statistic pornind de la distributia de probabilitate, precum cea din tabelul de mai sus, in sensul unei relatii directe intre ecartul distributiei si nivelul riscului, cu cat ecartul distributiei de probabilitate este mai ingust, cu atat riscul este mai mic. Masura statistica a acestui ecart o reprezinta devianta standard,, adica abaterea patratica medie.

Determinarea deviantei urmeaza urmatorii pasi, prezentati in tabelul nr 15.

a). se determina rata estimata a rentabilitatii, , care are valoarea, in exemplul luat, de 18,5%.

b). se determina venitul mediu asteptat, lei

c). se determina abaterea ratelor estimate, , de la rata estimata medie,, , notata cu DK si prezentata in coloana 1 din tabelul 15 de mai jos.

d). se determina abaterea absoluta ale lui Va de la , ,notata cu DV, adica deviatiile, precum in coloana 2 din tabelul nr.15.

e). se determina patratul deviatiilor DK, notat cu PK, prezentat in coloana 3 din tabel, care este mai semnificativ decat devianta, care accentueaza efectul abaterilor mari si elimina abaterile negative, evidentiind abaterea totala absoluta.

f). se determina patratul deviatiilor DV, notat cu PV, prezentat in coloana 4 din tabel.

e). se inmultesc rezultatele din coloana 3 cu probabilitatile de realizare a ratelor estimate ale rentabilitatii, din coloana 4 a tabelului 14, precum in coloana 5 din tabelul 15.

f). se insumeaza rezultatele din coloana 5, obtinandu-se varianta ratelor estimate ale rentabilitatii, K.

Tabelul nr.15

Varianta masoara dispersia oricarei variabile intamplatoare, r, in jurul mediei sale, conform urmatoarei formule:

(101)

g). se inmultesc rezultatele din coloana 4 cu probabilitatile de realizare din tabelul 14, adica, precum in coloana 6 din tabelul 15.

h). se insumeaza rezultatele din coloana 6, aplicand formula nr. 101, in cazul venitului asteptat,

(102)

obtinandu-se varianta veniturilor asteptate, Va.

Sa notam ca daca unitatea de masura pentru variabila intamplatoare este leul, unitatea pentru varianta va fi leul la patrat, ceeace face dificil de interpretat varianta, dificultate depasita prin devianta standard, care fiind radacina patrata din varianta are aceiasi unitate de masura ca si variabila intamplatoare, in cazul nostru venitul asteptat.

f). se extrage radacina patrata din varianta, obtinandu-se devianta standard, , care este masura statistica a riscului.

(103)

(104)

Riscul poate fi masurat fie cu varianta, fie cu deviatia standard a veniturilor dintr-o investitie.

Deviatia standard masoara deci dispersia variabilei in jurul mediei, fiind exprimata in aceiasi unitate de masura ca si venitul asteptat.

Pentru 20.000 lei investiti de catre banca, cu rata estimata a rentabilitatii de 18,5% si deviatia standard procentuala a rentabilitatii de 0,2449, deviatia standard a venitului asteptat este deci de 4.900 lei.

Deviatia standard ofera un sir de valori in jurul mediei care sunt cele mai probabile sa se realizeze. In exemplul luat, deviatia satndard de 4.900 lei a venitului asteptat indica posibilitatea ca ne putem astepta ca venitul sa fie, de regula, intre:

-1.200 lei = 3.700-4.900 si 8.600 lei =3.700+4.900.

De fapt, in acest exemplu deviatia standard ofera sirul intreg de venituri posibile intre cele doua extreme.

Atat varianta cat si devianta standard masoara riscul ca distanta de medie. Aceasta masura releva ca cu cat mai mare este sansa de a avea un rezultat mai departe de medie, cu atat este mai mare riscul unei investitii particulare.

3. Coeficientul de variatie ca masura a riscului

Devianta standard, fiind o probabilitate, exprimand media ponderata a deviantei de la valoarea asteptata, ne arata cu cat este valoarea reala mai mare sau mai mica decat cea asteptata.

Devianta standard absoluta, de 4.900 lei in cazul activului A, poate insa denatura decizia de investitii.

Astfel, sa consideram doua investitii ale bancii, in activele A si B, cu venituri asteptate diferite, de 3.700 lei si respectiv de 8.100 lei, insa cu aceeasi deviatie standard, de 4.900 lei, ceea ce nu ofera posibilitatea discriminarii investitiei celei mai riscante.

Eliminarea acestei denaturari a deciziei de investitii se obtine prin folosirea coeficientului de variatie (CV), detrminat prin impartirea deviantei standard absolute la valoarea venitului asteptat ( Va), formula fiind:

C. (105)

In cazul celor doua investitii vom avea:

Pentru A: C

Pentru B: C

Avand coeficientul de variatie mai mare, investitia A este mai riscanta.

Combinatia rentabilitate-risc in fundamentarea deciziilor de investitii evidentiaza criteriul medie - varianta, care releva obiectivele investitorilor, prezentate mai sus, si anume:

-la acelasi risc sunt preferate investitiile cu rentabilitate estimata mai mare,

-la aceasi rentabilitate estimata sunt preferate investitiile cu risc mai mic.

Aceasta preferinta a investitorilor pentru risc mai mic, numita in capitolul anterior aversiune pentru ris, afirma ca, de regula, investitorii se opun riscului, pentru titlurile mai riscante solicitand o rentabilitate asteptata mai mare.

4. Covarianta

Fie doua active, A si B, care au aceleasi venituri asteptate, respectiv 10.000 lei in situatia de avant si -4.000 lei in situatia de recesiune, cu aceasi distributie de probabilitate, de 50%.

Banca investeste o suma egala in fiecare activ, prin divizarea investitiei el va diviza similar si castigul, primind numai 5.000 lei de la fiecare firma daca va fi o situatie de avant si pierzand numai 2000 lei de la fiecare firma, daca va fi recesiune.

Presupunem ca investitiile la cele in doua active sunt independente, adica rezultatele nu se influenteaza reciproc, in acest sens distributia de probabilitate a investitiei combinate posibile consta din patru rezultate aproape egale, cum se observa in tabelul dnr.16:

Investitiile independente sunt acelea pentru care rezultatele uneia nu sunt influentate de rezultatele celeilalte.

Tabelul nr.16

In aceasta combinatie a distributiei de probabilitate de a obtine venituri, banca avand 50% sanse de a primi castig de 3.000 lei, si cate 25% de a primi 10.000lei sau de a pierde 4.000 lei

Cunoscand distributia de probabilitate a acestei strategii de combinare a investitiei, se poate determina castigul asteptat utilizand formula nr. 100, pentru venitul asteptat.

Se constata ca divizandu-si capitalul in doua investitii independente identice, banca obtine acelasi castig asteptat ca si cum l-ar plasa intr-una din cele doua investitii, adica:

Evident, in conditiile de mai sus, contributia fiecarei investitii la venitul asteptat de 3.000 lei este egala, adica 1.500 lei.

Ce se intampla insa cu riscul in aceasta situatie, ramane el neafectat ? Calculam pentru aceasta varianta, utilizand formula nr. 101,

Se constata ca varianta in cazul investitiei egal distribuite in cele doua active este jumatate din varianta investitiei intregii sume intr-un singur activ, care este de:

Rezulta ca investitia combinata este mai putin riscanta decat investitia intr-o singura firma, acesta reducere a riscului neimplicand nici un cost suplimentar, deoarece venitul asteptat ramane neshimbat.

Deviatia standard, aplicand formula nr. 103, va fi,

Acest exemplu ne permite urmatoarea concluzie: prin alocarea capitalului in mod idenic in n investitii independente identice, venitul asteptat va fi acelasi ca in cazul investirii numai intr-unul dintre ele, insa deviatia standard generala va fi mai redusa. Daca este deviatia standard in cazul alocarii pentru o singura investitie, iar este deviatia standard in cazul alocarii pe mai multe investitii, atunci,

(106)

Se observa ca, in cazul a doua investitii independente identice nu aste necesara determinarea deviatiei standard ca in definitie, fiind suficent sa extragem radicalul din deviatia standard a unuia din cele doua investitii, coform formulei nr. 104,

Intuitiv, covarianta masoara tendinta unei perechi de variabile intamplatoare de a se misca dependent, impreuna, masoara legatura dintre doua variabile. De exemplu, cand ratele dobanzii cresc neasteptat, indicele pietei actiunilor tinde sa descreasca, ceea ce inseamna ca ratele si indicele au o covarianta negativa. Covarianta permite ca din cunoasterea evolutiei unei variabile sa deducem evolutia posibila a alteia. Astfel, din crestrerea viitoare a ratelor dobanzii se poate presupune un declin viitor al indicelui pietei actiunilor. Pentru o pereche de variabile intamplatoare independente ne asteptam ca covarianta sa fie 0, deoarece acestea nu sunt conectate.

Sa presupunem doua variabile, x si y, avand n rezultate combinate posibile notate cu i =1n.

Cand se realizeaza combinatia i, valoarea lui x este iar valoarea lui y este, probabilitatea de realizare a lui i este, iar valorile asteptate vor fi Vx si Vy. In acest caz covarianta intre cele doua variabile este definita astfel:

(107)

Utilizand aceasta formula, covarianta dintre rezultatele investitiei in activele A si B, pe baza datelor din tabelul nr.16. si avand in vedere contributia egala a celor doua investitii, de 1.500 lei, la venitul mediu asteptat, se poate calcula astfel:

Acest rezultat arata ca nu exista covarianta intre cele doua active identice, ceea ce este normal, deoarece cele doua investitii sunt independente.

Trebuie sa evidentiem ca, varianta este covarianta unui activ cu el insusi,

(108)

Varianta este, deci, un caz special al covariantei.

Ordinea variabilelor in determinarea covariantei este irelevanta, adica,

(109)

Coeficientul de corelatie

Covarianta este o masura a valorii legaturii dintre doua variabile, avind doua dezavantaje:

-nu este limitata ;

-valoarea numerica a acesteia depinde de unitatile de masura ale variabilelor, ceea ce fac dificile compararea covariantelor.

Problema se rezolva prin impartirea covariantei dintre variabile la produsul dintre deviatiile standard ale acestora, numarul rezultat variind intre 1 si -1, si aceasta indiferent de unitatile de masura in care sunt masurate variabilele.

Rezultatul impartirii se numeste coeficient de corelatie dintre variabile, si masoara gradul de legatura, fiind calculat, in cazul a doua variabile, astfel:

(110)

Pentru cele doua active, A siB coeficientul de corelatie este zero, confirmand independenta celor doua investitii. Acest coeficient este o scalare (gradare) a covariantei, sensul scalarii corelatiei miscandu-se intre -1 si +1, cand excede 0 cele doua variabile tind sa se miste in aceasi directie daca se modifica. Daca coeficientul este 0, cele doua variabile nu sunt legate.

Dominanta

Alegerile investitorului se plaseaza intr-un spatiu al riscurilor si al veniturilor asteptate.

Tabelul de mai jos prezinta evolutia veniturilor asteptate pentru doua active cu risc:

Tabelul nr.17

Desi se focalizeaza pe venitul asteptat si varianta, investitorul obisnueste sa estimeze veniturile viitoare asteptate pe baza veniturilor medii din trecut. Orice investitor care ia in considerare titlurile A si B se confrunta cu substitutia risc/venit asteptat, deoarece media veniturilor asteptate este mai mare in cazul lui A decat al lui B, insa B are un nivel mai scazut al riscului decat A. Substitutia apare deoarece pentru a obtine un venit asteptat mai inalt pentru A decat pentru B, investitorul trebuie sa accepte cresterea riscului lui A. Nu este clar daca toti investitorii vor prefera A contra lui B, deoarece variabila de decizie considerata separar indica ca investitorul trebuie sa aleaga un titlu diferit.

Cand un investitor prefera in mod absolut activul X lui Y se spune ca X domina pe Y, daca acesta ii ofera venituri mai mari in conditii de risc mai mici.

Dominanta, pentru o pereche de acive X si Y se defineste astfel: X domina pe Y daca are are acelasi sau mai mare venit asteptat sau acelasi sau mai mic risc. Adesea regula dominantei, afirmata mai sus, nu se verifica, deoarece alegerea depinde de substitutia venit/risc a fiecarui investitor, de aversiunea fata de risc a acestuia.