Teoria alegerii portofoliului

Teoria alegerii portofoliului

Factorii determinanti ai cererii de active, discutati mai sus, pot fi explicitati in cadrul teoriei alegerii portofoliului, care, considerand ccmc, afirma urmatoarele:

cantitatea ceruta dintr-un activ este, de regula, corelata pozitiv (direct ) cu averea, reactia fiind mai puternica daca activul este de lux, decat daca este o necesitate;

cantitatea ceruta dintr-un activ este corelata pozitiv cu marimea venitului asteptat generat de catre acesta, comparativ cu active alternative;

cantitatea ceruta dintr-un activ este corelata negativ cu riscul asociat veniturilor asteptate ale acestuia, comparativ cu riscurile activelor alternative;

cantitatea ceruta dintr-un activ este corelata pozitiv cu lichiditatea acestora, comparativ cu lichiditatea activelor alternative.

Aceste corelatii sunt sintetizate in tabelul nr. 18. de mai jos, numit tabelul determinarilor:

Tabelul nr. 18.

1. Portofoliu din doua active riscante

1.1. Venitul asteptat

Presupunem un portofoliu format din doua active, venitul asteptat al portofoliului, depinzand de veniturile asteptate ale celor doua active si de ponderea investitiei in fiecare activ, se determina conform celor prezentate in subcapitolul 2, astfel:

(114)

unde,

Va(P) = venitul asteptat al portofoliului;

= venitul asteptat al activului i,

= ponderea investitiei in activul i .

Pentru exemplificare vom relua exemplul din tabelul nr 17, in care este prezentata evolutia a doua active, A si B dintr-un portofoliu cu doua active, cu determinarea indicatorilor de risc.

Pe baza mediilor din tabelul nr. 17, si presupunand ca acivul A participa cu 70% la portofoliu, iar B cu 30%, determinam venitul asteptat al portofoliului:

Venitul asteptat al portofoliului este media ponderata a veniturilor asteptate ale celor doua active.

Riscul portofoliului

Deoarece un portofoliu poate fi considerat ca un activ, pentru determinarea riscului portofoliului se poate utiliza formula nr.101, insa daca se cunosc venitul asteptat si varianta celor doua active, precum si covarianta dintre ele si ponderile lor, ecuatia 101 poate fi transformata astfel,

(115)

Conform celor prezentate mai sus, veniturile anterioare ale fiecarui activ si probabilitatile asociate acestora sunt utilizate pentru a calcula covarianta veniturilor activelor A si B, aplicand formula nr.107 si considerand egale probabilitatile fiecarei perioade din tabelul nr.17., adica 20%.

Rezulta o covarianta de 0,0044, care impreuna cu celelalte informatii permit, aplicand formula nr.114, sa calculam varianta portofoliului compus din cele doua active,

Devianta standard va fi in acest caz,

Varianta portofoliului format din doua active se poate exprima si utilizand coeficientul de corelatie,

=

1.3. Risc, covarianta, corelatie 

Riscul unui portofoliu depinde de covarianta sau corelatia activele sale, precum si de gradul de risc al acestora.

Sa consideram un portofoliu cu doua active avand urmatoarele caracteristici,

Tabelul nr.19.

Desi corelatia dintre active afecteaza semnificativ riscul portofoliului, aceasta nu afecteaza venitul, fapt evidentiat prin relatia 115, in care nu este prezent.

Venitul asteptat al portofoliului este,

Pentru a analiza cum corelatia veniturilor determina riscul portofoliului consideram 2 situatii extreme:

- Corelatia = +1, activele fiind perfect corelate pozitiv, caz in care ultimul termen in formula 36 devine, expresia pentru varianta devenind,

(116)

In aceasta situatie riscul portofoliului depinde numai de riscul fiecarui activ si de ponderea fiecaruia in portofoliu, in exemplul considerat vom avea,

Alegand diferite ponderi se pot construi portofolii diferite din A si B, gasind astfel toate portofoliile posibile din A si B in spatiul risc/venit.

- Corelatia activele fiind perfect corelate negativ, caz in care ultimul termen al formulei 108 devine, si procedand ca mai sus, obtinem,

(117)

Pentru exemplul nostru vom avea:

Daca activele sunt perfect corelate negativ se poate forma un portofoliu fara risc, deoarece cei doi termeni din dreapta formulei de mai sus se pot anula reciproc, acest rezultat fiind imposibil cand activele sunt perfect corelate pozitiv

Pentru aceasta, trebuie gasita proportia fiecarui activ in portofoliu, care in conditiile deviatiilor standard date, sa asigure aceasta anulare, conform formulei:

(118)

Aplicand formula in exemlulu luat, vom avea:

;

Calculand deviatia standard a portofoliului, rezulta:

Diferenta fata de 0 se datoreaza erorilor de rotunjire.

- Corelatia intre -1 si +1 este specifica majoritatii perechilor de titluri, extremele delimitand spatiul de corelatie, de regula, titlurile fiind pozitiv corelate.

Portofolii cu mai multe active

2.1. Matricea de covarianta si diversificarea

Modul de abordare a portofoliului format din doua active se mentine si in cazul portofoliilor formate din n active, formulele de calcul ale venitului asteptatat si riscului fiind mai lungi, astfel:

si (120)

In cazul portofoliilor multi-active se pot folosi matricile de covarianta, care contin casute. Se determina pentru fiecare casuta varianta dintre activele care se intersecteaza in casuta, se completeaza toate casutele, varianta portofoliului determinandu-se prin adunarea variantelor tuturor casutelor.

Reluam, mai jos, formula nr.115,

Ultimul termen din formula este suma a doi termeni egali, ceeace inseamna ca putem sti formula variantei ca si cum am avea patru termeni, aceasta putand fi aranjata intr-o matrice de casute, ca mai jos:

Tabelul nr.20

Notand casutele matricei cu c(ij), i fiind linia, iar j indicand coloana, si luand in considerare formula nr. 109, se constata ca matricea de mai sus este simetrica, calculele matriciale reducandu-se la aproape jumatate.

In cazul general al unui portofoliu cu n active, fiecare casuta a matricei covariantelor poate fi completata utilizand formula de mai jos, valabila si pentru casutele de pe diagonala principala, in acest caz covarianta unui activ cu el insusi fiind egala cu varianta acelui activ.

(121)

Capacitatea calculatorie a metodei matricei de covarianta este utilizata deplin in cazul in care se analizeaza efectele diversificarii asupra variantei si deviantei standard ale unui portofoliu, atunci cand numarul de active din portofoliu creste.

Consideram varianta unui portofoliu din n active identice, independente, varianta fiecarui activ fiind , aceeasi suma fiind investita in fiecare activ, deci =1/n, atunci, conform formulei nr.106, varianta acestui portofoliu este:

(122)

O aplicatie a metodei matricei covariantelor consta in utilizarea acesteia pentru un portofoliu din n active independente si identice, matricea fiind completata in casute, si vom avea cov(i,j) = 0, pentru , si cov(i,i) = , adica numai pe diagonala principala casutele nu sunt nule, avind aceasi valoare, .

Stiind ca varianta unui portofoliu este suma variantelor nenule din casute, vom avea:  

(123)

Aceasta ecuatie arata ca cu cat numarul activelor independente identice din portofoliu creste, riscul portofoliului descreste, varianta portofoliului devenind neglijabila pentru un numar suficient de mare de active din portofoliu.

O alta aplicatie consta in considerarea unui portofoliu din n actiuni, cu aceeasi varianta si pondere fiecare, toate perechile distincte de active fiind corelate pozitiv, avand deci acelasi coeficient de corelatie,. Matricea ne permite sa aratam efectul modificarii numarului de active din portofoliu asupra variantei portofolilui. In aceste conditii, fiecare casuta, adica fiecare pereche distincta de active din afara diagonalei va avea valoarea:

(124)

Pe diagonala principala, deoarece coeficientul de corelatie al unui activ cu el insusi este egal cu 1, valorile din casutele diagonalei vor fi,

(125)

Cu aceste valori matricea se poate completa ca mai jos:

Tabelul nr.21.

Insumand valorile din casute se obtine varianta portofoliului. Avand in vedere insa ca exista doua tipuri de termeni, n termeni egali pe diagonala si () termeni egali in afara diagonalei, varianta portofoliului va fi:

(126)

Formula evidentiaza , in conditiile exemplului, ca nu este posibila eliminarea completa a riscului, (exceptand cazul unui portofoliu din doua active corelate perfect negativ), varianta minima a portofoliului fiind de , adica cel de al doilea termen din partea dreapta a formulei, aceasta constituind, in cazul portofoliilor cu perechi de active corelate pozitiv, limita diversificarii.

2.2. Avantajele diversificarii

In ciuda aversiunii fata de risc multi investitori detin active riscante, insa in cadrul unui portofoliu diversificat, care contine active diferite, cu riscuri diferentiate, in acest fel reducand riscul general al portofoliului.

Fie doua investitii, realizate de catre banca, in doua actiuni, A si B . In conditiile cand economia este in avant actiunile A genereaza un venit de 15%, iar actiunile B de 5% si invers, cand economia este in recesiune actiunile A au un venit de 5%, iar actiunile B de 15%, venitul asteptat ale celor doua actiuni, in conditiile unor probabilitati de 50% (0,5) ale celor doua stari ale economiei, fiind de 10%, ambele actiuni realizand insa nivele de risc semnificative, expunand banca la incertitudini referitoare la venitul asteptat, in conditiile in care acestia detin numai o singura actiune.

Daca banca insa detine simultan si in proportii egale cele doua tipuri de actiuni, indiferent de starea economiei el va astepta un venit de 10%, fara a se mai expune la riscul detinerii unui singur tip de actiuni.

Exemplul celor doua actiuni, ale caror venituri sunt corelate perfect negativ, este nerealist, in practica veniturile actiunilor fiind independente, adica uneori ambele putand castiga venituri ridicate, alteori putand inregistra pierderi, in acest caz cele doua actiuni comportandu-se ca si cum ar fi una singura, in cazul in care investitorul detine cantitati similare din fiecare, iar probabilitatile temporale ale acestora sunt aceleasi.

Independenta veniturilor actiunilor reduce insa riscurile porofoliului diversificat al bancii, acesta beneficiind de compensarea pierderilor probabile de venituri ale unor actiuni cu castigurile asteptate de la altele, astfel incat portofoliu va fi afectat moderat de catre riscurile asociate veniturilor asteptate.

Reducerea riscului prin diversificare poate fi evidentiata determinand devianta standard pe exemplul de mai sus. Daca banca detine numai una din actiuni devianta va fi:

Daca banca detine cantitati egale din ambele actiuni exista o probabilitate de 25% ca acesta sa obtina un venit de 5% pentru ambele actiuni (pentru un total de venit de 5%) si o probabilitate de 50% ca ea sa castige 15% pe o actiune si 5% pe cealalta (pentru un venit total de 10%).  `

Devianta standard cand investitorul diversivica se determina astfel:

Deoarece devianta cand banca diversifica portofoliul este mai mica decat atunci cand el detine numai o actiune, se poate afirma ca diversificarea reduce riscul.

In concluzie, se pot face doua afirmatii referitoare la diversificare:

aceasta este, de regula, avantajoasa pentru investitorul cu aversiune fata de risc, reducand riscul asteptat, cu exceptia cazului cand ambele actiuni se comporta similar;

cu cat mai mici sunt veniturile din actiunile care se comporta similar, cu atat mai mari sunt beneficiile din diversificare, prin reducerea riscurilor.

Riscul sistematic

Diversificarea nu asigura eliminarea totala a riscului, deoarece activele financiare se confrunta cu riscul sistematic, care nu poate fi eliminat prin diversificare.

Riscul sistematic reprezinta partea din riscul titlurilor de valoare care rezulta din oscilatiile pietei bursiere si care nu poate fi eliminat prin diversificare, in timp ce cealalta parte a riscului, riscul nesistematic, reprezinta riscul specific activului, portofoliului companiei, fiind legat de partea venitului firmei care nu variaza cu veniturile din celelalte active, acest risc putand fi diminuat prin diversificare datorita compensarii reciproce a riscurilor activelor in cadrul portofoliului.

Se poate afirma ca riscul unui portofoliu bine diversificat se datoreaza numai riscului sistematic al activelor din portofoliu.

Riscul sistematic este masurat prin coeficientul (beta), care masoara sensibilitatea venitului unui actv la modificarea preturilor pe pietele titlurilor. De exemplu, daca o crestere medie a preturilor pietei de 1 %, determina o crestere de 2 % a pretului activului, beta acestui activ va fi 2(2/1), si invers, daca o crestere a preturilui activului este de 0,5% , cand cresterea preturilor tilulurilor pe piata este de 1 % , beta va fi 0,5% (0,5%/1). Primul activ, cu beta 2, este mai riscant decat cel cu beta 0,5%, primul activ avand un risc sistematic de 4 ori mai mare decat cel de al doilea (obtinerea venitului sau fiind de 4 ori mai incerta), primul fiind deci mai putin dezirabil pentru a fi preluat in portofoliu.

In concluzie, cu cat mai mare este beta activului, cu atat mai mare este riscul sistematic al acestuia si mai putin dezirabil este activul pentru a fi tinut in portofoliu.

2. Riscul portofoliului si prima de risc

Un portofoliu este o colectie de titluri de valoare, de investitii.

Pentru detinatorul unui portofoliu nu este foarte important ca pretul unui activ creste sau scade, importante fiind rentabilitatea si riscul portofoliului, afectate evident de riscul si rentabilitatea activelor din portofoliu.

Presupunem ca banca detine un portofoliu format din titluri ale firmelor A si B, firma B avand aceleasi valori ale ratei rentabilitatii (K) ca firma A, diferenta constand in inversarea ratelor rentabilitatii starilor 1 si 3, probabilitatile de realizare fiind aceleasi, situatie prezentata in tabelul nr. 22.

Tabelul nr.22.

Rentabilitate medie estimata, , varianta,, si deviatia standard,, pentru cele doua firme se determinate conform formulelor 125, 127, 129 sunt prezentate in tabelul nr.23.

Tabelul nr. 23.

Se constata ca rentabilitatea estimata pentru firma B este de 11,5% fata de 18,5% pentru firma A, deviantele standard fiind insa identice.

Rentabilitatea estimata a unui portofoliu reprezinta, dupa cum s-a aratat anterior, media ponderata a rentabilitatilor estimate ale titlurilor care constituie portofoliu, ponderile reprezentand proportia din portofoliu investita in fiecare titlu.

(127)

unde,

- (PR) = rentabilitatea estimata a portofoliului,

- p = ponderea investitiilor in portofoliu,

- K = rentabilitatea estimata a fiecarei investitii,

- i = investitiile 1n.

Daca banca isi formeaza un portofoliu de 100.000 lei, investind 50% in titluri la firma A si 50% in titluri la firma B, rentabilitatea estimata a portofoliului va fi,

Dupa o perioada, rentabilitatile realizate ale titlurilor vor diferi de cele estimate, astfel incat rentabilitatea estimata a portofoliului va fi diferita de 15%.

Comparand rentabilitatile celor doua modalitati de a investi, in A, in B, cea mai favorabila ar fi in investitia in A, care are o rata estimata a rentabilitatii mai mare,, insa inainte de a decide trebuie sa luam in considerare si riscul portofoliului.

Riscul portofoliului, este, de regula, mai mic decat media ponderata a deviatiilor standard ale titlurilor, extremele fiind semnificative sunt prezentate in tabelul nr. 24

Tabelul nr.2

Datele din tabel evidentiaza urmatoarele:

daca rentabilitatile titlurilor sunt corelate negativ, adica se misca invers si = -1, chiar daca ambele active sunt foarte riscante, combinatia lor in portofoliu poate fi lipsita de risc,.

daca rentebilitatile titlurilor sunt corelate pozitiv, adica se misca in acelasi sens si = +1, portofoliu ar fi la fel de riscant ca titlurile luate individual, diversificarea neputand diminua riscul portofoliului.

In practica titlurile sunt corelate pozitiv, dar nu perfect, pentru cele mai multe perechi de titluri variind intre +0,5 si +0,7, combinatia titlurilor in portofoliu reduce riscul, dar nu-l elimina, cu cat numarul de titluri din portofoliu creste, riscul portofoliului se reduce, aceasta depinzand de gradul de corelatie dintre titluri, cu cat mai mic este coeficientul cu atat mai mic este riscul portofoliului.

In cazul ipotetic al unui portofoliu cu n active, intre care nu exista corelatii egale cu -1 si +1 , din ansamblul tuturor portofoliilor posibile obtinute prin combinarea activelor se poate delimita un set de portofolii eficiente care ofera:

o fie rentabilitatea maxim posibila pentru orice grad de risc,

o fie gradul de risc minim pentru orice rentabilitate estimata,

Toate celelalte portofolii sunt ineficiente comparativ cu acest set care ofera oportunitati de alegere pentru investitor.

Experienta evidentiaza ca aproape jumatate din riscul inerent portofoliului format dintr-un titlu, care are o deviatiea standard de cca 28%, poate fi eliminat prin constituirea unui portofoliu diversificat, de cca 40 de actiuni, numit portofoliu de piata, a carei devianta este de cca 15,1%.

Asa cum s-a aratat mai sus, partea riscului eliminabila prin diversificare se numeste risc de firma, sau risc nesistematic, iar partea care nu poate fi eliminata prin diversificare se numeste risc de piata, sau risc sistematic. Riscul total al unei actiuni sau portofoliu este suma celor doua.

Investitorii solicita, de regula, o prima pentru risc, astfel incat cu cat mai mare este riscul titlului acestia solicita o rentabilitate mai mare titlului. Aceasta prima reprezinta o compensatie pentru riscul sistematic, care nu poate fi eliminat prin diversificare. Fiind insa preocupati de riscul portofoliului si nu de cel al titlului individual , investitorii pot masura riscul fiecarui titlu prin metoda CAPM, care afirma ca riscul relevant al unui titlu din portofoliu este contributia acestuia la un portofoliu bine diversificat, la un portofoliu de piata.

Diferitele titluri vor afecta riscul portofoliului in mod diferit, avand diferite grade de risc relevent, prin diversificare fiind eliminat riscul specific titlului, riscul nesistematic, ramanand insa riscul pietei, cel sistematic, risc inerent care poate fi masurat prin gradul in care titlulu tinde sa se miste in acelasi sens cu miscarea pietei.

Conceptul de "beta"

Tendinta unui titlu de a varia similar cu piata, cu un titlu cu risc mediu, este masurata de coeficientul , care reprezinta un element cheie al modelului CAPM. Un titlu cu risc mediu va avea un beta egal cu 1, indicand faptul ca modificarea acestuia are acelati sens si dimensiune cu modificarea pitei. Un beta subunitar indica un risc al titlului (portofoliului) mai mic decat riscul mediu al pietei, in timp ce un beta supraunitar indica un risc mai mare decat cel al pietei. Cele mai multe actiuni au beta intre 0,5 si 1. Coeficientul beta al unui portofoliu compus din n titluri se determina astfel:

(128)

unde,

- = coeficientul beta al portofoliului;

- = Coeficientul beta al titlului i;

- = ponderea investitiei in titlul i in total investitie portofoliu.

Coeficientul beta este un indicator al volatilitatii relative a titlului, masurind modul cum un titlu afecteaza riscul portofoliului, deci gradul de risc al titlului respectiv. Beta ar trebui sa reflecte asteptarile investitorilor privind volatilitatea viitoare, insa neavand o masura exacta a acestora, nu se pot obtine estimatii precise ale lui beta, ci numai valori aproximative, pe baza volatilitatii din trecut.

Estimarea coeficientilor beta, dificila si incerta, utilizeaza doua abordari:

metoda strategiei pure, foloseste coeficientii beta de la una sau mai multe firme (determinand o medie) cu activitate similara, metoda aplicabila pentru active importante, oricum metoda fiind dificil de implementat,

metoda coeficientilor contabili care determina coeficientii beta prin determinarea regresiei rentabilitatii activelor unei firme comparativ cu rentabilitatea unui indice bursier, sau comparativ cu rentabilitatea medie a activelor unui esantion de firme semnificative.