Formule utile in rezolvarea problemelor

Formule utile in rezolvarea problemelor

In tabelul nr.1 sunt prezentate formulele de calcul pentru media, dispersia si abaterea medie patratica corespunzatoare colectivitatii generale si colectivitatii de selectie.

Tabelul nr.1

Notiuni	Indicator	Relatii de calcul
		Caracteristica nealternativa	Caracteristica alternativa
0	1	2	3
Colectivitate generala	Media
	Dispersia
	Abaterea medie patratica
Colectivitatea de selectie	Media
	Dispersia
	Abaterea medie Patratica

Numim eroare de reprezentativitate numarul notat si definit astfel:

Conditia ca media unui esantion sa fie reprezentativa:

.

Daca numarul esantioanelor posibile este k, iar frecventele mediilor de selectie posibile este ns atunci eroarea medie de reprezentativitate este :

.

Eroarea limita maxima admisa () :

,

unde se obtine din fiind functia Gauss-Laplace ale carei valori sunt tabelate.

SELECTIA ALEATOARE SIMPLA

Eroarea medie de reprezentativitate pentru caracteristica nealternativa:

pentru selectia repetata:

-pentru selectia nerepetata:

Eroarea medie de reprezentativitate pentru caracteristica alternativa:

pentru selectia repetata:

-pentru selectia nerepetata:

.

Eroarea limita maxima admisa:

-pentru selectia repetata:

respectiv

-pentru selectia nerepetata:

, respectiv .

Intervalul de incredere al mediei colectivitatii generale:

-pentru caracteristica nealternativa:

-pentru caracteristica alternativa:

w Dw < p < w Dw .

Intervalul de variatie al nivelului totalizat al caracteristicii :

-pentru caracteristica nealternativa:

-pentru caracteristica alternativa:

Volumul esantionului:

-pentru sondajul simplu repetat:

-pentru sondajul simplu nerepetat:

.

Volumul esantionului in cazul modificarii erorii limita maxime admise () :

-pentru selectia repetata:

-pentru selectia nerepetata:

.

SELECTIA TIPICA (STRATIFICATA)

Modalitati utilizate pentru repartizarea esantionului pe subesantioane corespunzator tipurilor calitative:

a) In selectia tipica neproportionala repartizarea in mod egal a

esantionului pe subesantioane indiferent de numarul unitatilor ce compun straturile populatiei totale: unde k este numarul de straturi in populatia totala iar ni este dimensiunea fiecarui subesantion.

b)Selectia tipica proportionala care consta in repartizarea

esantionului pe subesantioane in functie de ponderea fiecarui strat in colectivitatea generala:

de unde

c) Pentru selectia tipica optima la formarea subesantioanelor se ia in consideratie atat ponderea fiecarui strat in colectivitatea generala cat si gradul de omogenitate al straturilor, reprezentat de abaterea medie patratica:

.

Formulele utilizate in cazul sondajului tipic proportional:

-eroarea medie de reprezentativitate:

pentru selectia repetata

pentru selectia nerepetata,

unde este media dispersiilor straturilor (grupelor);

-eroarea limita maxima admisa:

pentru selectia repetata

pentru selectia nerepetata,

-estimarea mediei la nivelul colectivitatii generale:

<<

unde este media mediilor de grupa;

-estimarea nivelului totalizat al caracteristicii:

<<

-redimensionarea esantionului:

pentru selectia repetata

pentru selectia nerepetata.

SELECTIA DE SERII

Esantionul este format dintr-un numar de serii notat cu r, iar in colectivitatea generala numarul seriilor se va nota cu R .

Eroarea medie de reprezentativitate:

-pentru caracteristici nealternative:

,

;

unde : este dispersia dintre serii.

-pentru caracteristici alternative:

,

;

-eroarea limita maxima admisa:

pentru selectia repetata

pentru selectia nerepetata.

-redimensionarea esantionului:

pentru selectia repetata

pentru selectia nerepetata.

TESTE DE SEMNIFICATIE

Folosim "ipoteza diferentei nule" care presupune ca nu exista diferente semnificative intre parametrii de sondaj si parametrii populatiei sau intre parametrii de sondaj a doua esantioane aleatoare.

Compararea mediei de sondaj cu media populatiei intr-o repartitie normala:

,

daca t > se respinge ipoteza diferentei nule, unde pentru un nivel de semnificatie de 5%.

Compararea mediilor a doua esantioane mari:

Pentru un nivel de semnificatie 5% daca ½t½< se accepta ipoteza si se considera diferentele nesemnificative.

Se respinge ipoteza daca ½t½> , avand un nivel de semnificatie de 1%.

Compararea a doua proportii de sondaj pentru o caracteristica alternativa:

nu cunoastem proportia p in cele doua populatii din care s-au facut esantioanele. Admitem ca .

Admitem ca si daca > atunci diferenta dintre cele doua proportii este semnificativa.

proportiile in cele doua populatii din care s-au format esantioanele nu sunt egale, de aceea folosim dispersiile esantioanelor.

Daca > , atunci diferenta dintre cele doua proportii este semnificativa.

comparam proportiile esantioanelor cu

Calculam si daca diferenta este semnificativa.

Compararea mediei de sondaj (pentru un esantion de volum redus) cu media populatiei intr-o repartitie Student:

se citeste din tabelul cu valorile repartitiei Student pentru un nivel de semnificatie si (n-1) grade de libertate. Daca < se admite ipoteza diferentei nule.

Compararea dispersiilor necunoscute a doua esantioane de volum redus:

unde

Daca < se admite ipoteza diferentei nule. Pentru numarul gradelor de libertate este .

Pentru verificarea egalitatii dispersiilor a doua esantioane de volum redus folosim testul F (Fischer):

unde sunt estimatiile dispersiilor teoretice si obtinute in doua sondaje independente de volum, respectiv .

se determina pentru nivelul de semnificatie ales si pentru gradele de libertate si . Daca <, nu avem motive sa respingem ipoteza ca dispersiile sunt egale.

PROBLEME REZOLVATE

1. In vederea estimarii volumului desfacerilor zilnice prin unitati comerciale din orasul X, s-a efectuat o cercetare prin sondaj, pe baza unui esantion de 5% din unitatile comerciale din oras. Rezultatele sunt prezentate in tabelul nr. 2.

Repartitia unitatilor comerciale dupa volumul vanzarilor.

Tabelul nr.2

Se cere: a) sa se calculeze eroarea limita maxima admisa;   

b) sa se detemine intervalul de incredere pentru media vanzarilor si pentru volumul total al vanzarilor;

c) sa se redimensioneze volumul sondajului pentru o noua cercetare in urmatoarele conditii:

eroarea limita s-ar tripla,

eroarea limita s-ar reduce la 1/4 din nivelul actual al erorii.

Rezolvare: Se determina in prealabil media si dispersia seriei statistice prezentate in tabelul nr.3.

Notam si definim media volumului desfacerilor zilnice astfel:

mil.lei.

Dispersia esantionului este

a)      Eroarea medie de reprezentativitate:

pentru selectia repetata

mil.lei.

pentru selectia nerepetata: 5%N Þ 5%N Þ

3,339.0,9753,2555 mil.lei.

Eroarea limita maxima admisa: se considera a Þ a Þ si din tabelul functiei Laplace se citeste za, care este 1,96.

pentru selectia repetata:

6,544 mil.lei.

pentru selectia nerepetata:

mil.lei.

a)      Intervalul de incredere pentru media volumului desfacerilor zilnice este in cazul unui risc de 5% :

pentru selectia repetata:

<< U.M.

< < 171,66,544 mil.lei.

< < mil.lei.

pentru selectia nerepetata:

171,6 - 6,382 < < 171,66,382 mil.lei

165,218< < mil.lei.

Intervalul de incredere pentru volumul total al desfacerilor zilnice:

U.M. Þ

pentru selectia repetata:

< < mil.lei.

165056 < < mil.lei

pentru selectia nerepetata:

1000 < < mil.lei

1652181000< mil.lei

b)      Daca eroarea limita s-ar tripla, atunci:

pentru selectia repetata 6,54419,632 mil.lei deci volumul esantionului este

magazine;

pentru selectia nerepetata 6,38219,146 mil.lei, deci volumul esantionului este:

magazine.

Daca eroarea limita s-ar reduce la din nivelul actual, atunci

pentru selectia repetata 6,5441,636 mil.lei, deci volumul esantionului este magazine;

pentru selectia nerepetata si volumul esantionului ar fi

magazine.

Se constata ca si intr-un caz si in celalalt, cresterea exigentei conduce la inregistrarea datelor dintr-un numar prea mare de magazine.

2. Pentru un esantion de 250 de agenti economici s-au obtinut urmatoarele rezultate: profitul mediu de 565 mil.lei/agent economic si abaterea medie patratica privind profitul: 66,4 mil.lei +tiind ca esantionul reprezinta 15% din totalul agentilor economici, s-a format prin selectie nerepetata si rezultatele se garanteaza cu o probabilitate de 0,9973 (), se cere:

a)          estimarea profitului mediu si a profitului total la nivelul colectivitatii generale;

b)          dimensionarea unui nou esantion daca eroarea limita maxima admisa este de 22 mil.lei.

Rezolvare:

a)      Calculam in prealabil eroarea limita maxima admisa:

Din enuntul problemei se cunoaste ca n agenti economici reprezinta 15% din N numarul total de agenti economici, deci .

Se cunoaste abaterea medie patratica la nivelul esantionului, deci putem determina dispersia esantionului Þ

mil.lei.

Profitul mediu al esantionului este 565 mil.lei/agent economic, deci intervalul de incredere pentru profitul mediu la nivelul intregii colectivitati este: < < mil.lei/agent economic.

565 - 11,615 56511,615 mil.lei/agent economic.

553,385 < < 576,615 mil.lei/agent economic.

Estimarea profitului total : mil.lei/agent economic.

Din agenti economici.

1667 << mil.lei/agent economic,

922492,795<< mil.lei/agent economic.

b)      Daca mil.lei, atunci volumul esantionului este:

78,1 agenti economici.

3. Pentru un esantion de 250 de agenti economici cunoastem repartitia bidimensionala dupa numarul de angajati si dupa marimea profitului , datele fiind prezentate in tabelul nr.4.

+tiind ca esantionul reprezinta 10% din totalul agentilor economici si s-a format prin selectie repetata se cere:

a)        sa se estimeze intervalul de variatie al profitului mediu si al profitului total in colectivitatea generala, garantand rezultatele cu o probabilitate de 0,9973 (za

b) sa se estimeze procentul maxim al agentilor economici cu un profit de cel putin 475 mil.lei.

Rezolvare:

a)            Considerand repartitia agentilor economici dupa marimea profitului (mil.lei) determinam media esantionului:

mil.lei, unde sunt mijloacele intervalelor de grupare.

mil.lei/agent economic.

Dupa numarul de angajati esantionul este divizat in doua subgrupe I si II si vom calcula pentru fiecare grupa media si dispersia.

Algoritmul de calcul pentru medie si dispersie-grupa I sub 20 de angajati.

Tabelul nr.5

Definim:

media 428,53 mil.lei/agent economic,

dispersia

Algoritmul de calcul pentru medie si dispersie - grupa a II-a (numarul de angajati ³

Tabelul nr.6

Definim:

media 522,88 mil.lei/agent economic.

dispersia 5283,379

Calculam media dispersiilor de grupa, ca pe o medie arithmetica ponderata:

4442,79.

Eroarea limita maxima admisa este:

3,9992

unde

Intervalul de variatie al profitului mediu:

< < mil.lei/agent economic.

< < 490,8 3,999 mil.lei/agent economic

486,801< < mil.lei/agent economic.

Estimarea profitului total, in sensul precizarii intervalului de variatie al acestuia este: << mil.lei

Cum 10%N ag.ec. Þ ag.ec.

2500.486,801< < mil.lei

< < mil.lei.

b)            Cerinta "procentul maxim al agentilor economici cu un profit de cel putin 475mil.lei" conduce la transformarea caracteristicii "profit" in caracteristica alternata cu doua forme de manifestare si obtinem datele prezentate in tabelul nr.7.

Distributia egentilor economici dupa numarul de angajati si marimea profitului.

Tabelul nr.7.

Coloana 4 din tabelul nr.7 prezinta mediile de grupa si media pe total, iar coloana 5 prezinta dispersiile de grupa.

Calculam media dispersiilor de grupa:

0,1956.

Eroarea limita maxima admisa este:

0,0796

Procentul maxim admis este:

0,552 sau 63,16%.

Asadar, cel mult 0,6316.N0,6316.25001579 din totalul agentilor economici din populatia statistica generala au un profit de cel putin 475 mil.lei.

4. Pentru un numar de 120 unitati comerciale selectate aleator si nerepetat si care reprezinta 10% din numarul total al unitatilor, se cunosc urmatoarele date prezentate in tabelul nr.8.

Distributia unitatilor comerciale dupa numarul de angajati si valoarea vanzarilor.

Tabelul nr.8

+tiind ca pe total unitati comerciale coeficientul de variatie a fost 22,5% se cere:

a)        sa se determine intervalele de incredere in care se va incadra valoarea medie a vanzarilor si valoarea totala a vanzarilor stiind ca rezultatele se garanteaza cu o probabilitate de 0,9545 (za

b)        sa se determine volumul esantionului daca eroarea limita ar creste cu 18,5%; sa se distribuie noul esantion pe subesantioane.

Rezolvare:

a)        In tabelul nr.8 coloana 2 se prezinta valoarea medie a vanzarilor pe grupe de unitati comerciale dupa numarul de angajati, deci media esantionului se va determina ca medie ponderata a mediilor de grupa:

mil.lei/u.c.

Coeficientul de variatie la nivelul esantionului este:

Þ

Calculul dispersiei dintre grupe :

92207,6389.

Regula adunarii dispersiilor permite determinarea mediei dispersiilor de grupa:

185814,232313 - 92207,6389 93606,593413

Eroarea limita admisa () :

mil.lei.

Valoarea medie a vanzarilor la nivelul tuturor unitatilor comerciale este:

<<mil.lei/u.c.

<<1915,8352,99 mil.lei/u.c.

<< mil.lei/u.c.

Valoarea totala a vanzarilor este estimata astfel:

<<

<< mil.lei

<< mil.lei.

b)      Eroarea limita creste cu 18,5% Þ 52,9962,79315 mil.lei, volumul

esantionului in aceste conditii este:

87,9 unitati comerciale.

Volumul subesantioanelor luand in calcul sondajul tipic nerepetat, unitati comerciale:

selectie tipica neproportionala

29,3 unitati comerciale.

selectie tipica proportionala.

Considerand ca esantionul utilizat respecta structura populatiei (grupa I 17%, grupa a II-a 58%, grupa a III-a 25%) atunci:

u.c.

5. Pentru evaluarea cheltuielilor suplimentare facute de turisti la sfarsit de saptamana intr-o statiune, pe durata a trei zile, s-a efectuat un sondaj stratificat iar datele inregistrate sunt prezentate in tabelul nr.9.

Cheltuielile medii zilnice si coeficientul de variatie in esantion

Tabelul nr.9

Se cere:

a)      Considerand ca cele 350 de persoane reprezinta un esantion stratificat de 5%, selectat in mod aleator si nerepetat din numarul total al turistilor din statiune la sfarsit de saptamana, sa se determine intre ce limite se vor incadra cheltuielile suplimentare medii si totale zilnice ale turistilor din intreaga colectivitate, rezultatele fiind garantate cu o probabilitate de 0,9545 (za

b)      Sa se stabileasca ce volum al esantionului ar fi fost necesar daca s-ar fi utilizat sondajul aleator simplu.

c)      Sa se stabileasca ce volum de selectie va fi necesar daca se organizeaza o noua cercetare selectiva si eroarea limita admisa calculata la punctul a) se va mari cu 5%, celelalte conditii ramanand neschimbate.

Rezolvare:

a)      Calculul indicatorilor de selectie si estimarea parametrilor colectivitatii generale:

media mediilor de grupa

miilei/turist

mii lei/turist

dispersiile de grupa (

i1,2,3, de unde , i1,2,3

36 mii lei/turist Þ

77,5 mii lei/turist Þ

128,7 mii lei/turist Þ

media dispersiilor de grupa ()

4490,150

eroarea medie de reprezentativitate (): 5%N 350 Þ

N Þ N7000

3,4910 mii lei

eroarea limita admisa ()

34916982 mii lei

estimarea cheltuielilor medii zilnice suplimentare pe total colectivitate:

<<mii.lei/turist

de unde :

<<

< < mii.lei/turist

estimarea cheltuielilor zilnice suplimentare totale :

<<

<<

<< mii lei.

b)      Determinarea volumului esantionului pentru sondajul aleator simplu nerepetat;

Deoarece nu cunoastem dispersia totala din colectivitatea generala ci numai datele despre esantionul format prin respectarea principiilor unei scheme probabilistice, putem inlocui acest indicator prin dispersia totala a datelor din esantion.

Dispersia totala a esantionului se determina in acest caz din regula de adunare a dispersiilor:

6566,20

6566,24490,1511056,35.