INDICI STATISTICI

INDICI: DEFINIRE, FORMULE DE CALCUL

Indici individuali

Indicii individuali se calculeaza ca indici simpli folosind datele inregistrate pentru fiecare variabila la nivelul unitatii de observare folosita:

Pentru fenomenul complex:

unde:

y - fenomenul complex, de tipul ;

x - factorul de tip calitativ;

f - factorul de tip cantitativ.

Pentru factorul calitativ:

Pentru factorul cantitativ:

Cei trei indici verifica intotdeauna relatia de sistem:

Relatii utile:

unde:

- ritmul de dinamica pentru fenomenul complex y

- ritmul de dinamica pentru factorul calitativ x

- ritmul de dinamica pentru factorul calitativ f

Indici de grup

Indicii de grup se calculeaza la nivelul ansamblului.

Sisteme de ponderare folosite la construirea indicilor de grup factoriali

a)      Sistemul de ponderare propus de E. Laspeyres, la care ponderile folosite sunt cele din perioada de baza:

pentru factorul cantitativ:

pentru factorul calitativ:

b)      Sistemul de ponderare propus de H. Paasche, la care ponderile utilizate sunt cele din perioada curenta:

pentru factorul cantitativ:

pentru factorul calitativ:

c)      Sistemul propus de Edgeworth se bazeaza pe cumularea cantitatilor din perioada de baza cu cele din perioada curenta si folosirea acestora ca pondere la masurarea variatiei relative a preturilor. Pretul fiind o variabila calitativa, relatia generala din care rezulta indicele este:

d)      Sistemul de ponderare propus de I. Fisher presupune calcularea indicelui de grup al preturilor ca o medie geometrica a celor doi indici agregati, de tip Laspeyres si de tip Paasche.

Generalizand,

pentru factorul calitativ:

pentru factorul cantitativ:

Modalitati de calcul al indicilor de grup

Indici de grup agregati

pentru fenomenul complex

pentru factorul cantitativ

pentru factorul calitativ

Indicii de grup factoriali calculati cu sisteme diferite de ponderare, verifica relatia de sistem, si anume:

Modificarea absoluta se calculeaza, in general, ca diferenta intre numaratorul si numitorul indicelui:

pentru fenomenul complex

pentru factorul cantitativ

pentru factorul calitativ

Si in cazul modificarilor absolute se verifica relatia de sistem

Pe baza acestei relatii, se calculeaza contributia relativa a fiecarui factor la modificarea absoluta, pe total:

, respectiv

Exemplificare pentru fond de salarii (FS) ca fenomen complex cu doi factori de influenta: salariul mediu () si numarul de salariati (T):

Indici de grup calculati ca medie de indici individuali

pentru fenomenul complex:

sau

pentru factorul cantitativ:

pentru factorul calitativ:

Exemplificare pentru indicii valorii, volumului fizic si al preturilor

sau

Indicii de grup calculati ca raport a doua medii

pentru fenomenul complex (indice cu structura variabila):

unde

pentru factorul cantitativ (indicele variatiei structurii) :

sau

pentru factorul calitativ (indice cu structura fixa):

sau

Indicele cu structura variabila, cu structura fixa si al variatiei structurii formeaza impreuna un sistem de indici:

Modificarea absoluta a mediei sub influenta unuia sau altuia din factori se calculeaza ca diferenta dintre numaratorul si numitorul indicelui factorial corespunzator. Relatiile de calcul vor fi:

Si in acest caz, modificarea mediei este egala cu suma modificarilor datorate factorilor de influenta, respectiv:

Exemplificare pentru indicii productivitatii muncii

unde

Descompunerea pe factori a variatiei unui fenomen complex

In teoria si practica statistica descompunerea indicelui general in produsul indicilor factoriali se numeste descompunere geometrica, iar separarea modificarii absolute totale in suma modificarilor absolute, datorate factorilor, este denumita descompunere analitica.

Metoda substitutiei in lant

Presupune aplicarea urmatoarelor reguli:

indicele influentei primului factor, de regula cel cantitativ, se construieste folosind drept pondere cealalta sau celelalte variabile la nivelul perioadei de baza;

un factor odata substituit ramane drept pondere la nivelul perioadei curente pe tot parcursul descompunerii pentru ceilalti indici factoriali.

Indicii factoriali si modificarile absolute se calculeaza pe baza relatiilor:

Varianta I (se substituie mai intai factorul cantitativ)

Varianta II (se substituie mai intai factorul calitativ)

Metoda influentelor izolate a factorilor (metoda restului nedescompus)

Pentru cazul a doi factori, indicii factoriali se obtin aplicand sistemul de ponderare propus de Laspeyres, si anume:

, respectiv

iar modificarile absolute se calculeaza pe baza relatiilor:

Folosind acelasi sistem de ponderare pentru ambii factori nu se mai verifica relatia de sistem deoarece ramane un "rest nedescompus" care arata influenta simultana a ambilor factori:

Modificarea absoluta pe total:

Repartizarea restului nedescompus pe factori de influenta se poate face in urmatoarele variante:

a)      se atribuie integral unuia din factori, situatie care conduce la procedeul substitutiei in lant;

b)      se repartizeaza in mod egal pe factori;

c)      se repartizeaza proportional cu influentele izolate ale factorilor (K^x, K^f), care se determina astfel:

, respectiv

Sporul total al variabilei y care revine factorului f:

Sporul total al variabilei y care revine factorului x:

Contributia relativa a factorilor la formarea sporului total:

PROBLEME REZOLVATE

Problema 1. Intr-o societate comerciala s-au inregistrat urmatoarele date cu privire la trei marfuri (A, B si C), in doua luni consecutive (vezi tabelul 1.).

Tabelul 1.

Se cere

calculati indicii individuali ai valorii, volumului fizic si ai preturilor pentru cele trei marfuri;

calculati indicii de grup ai valorii, volumului fizic si al preturilor si verificati relatia dintre ei;

calculati modificarea absoluta, pe total, cu evidentierea influentei factorilor si calculati ponderea factorilor determinanti.

Rezolvare

Calculul indicilor individuali ai valorii, volumului fizic si ai preturilor

Pentru indicele valorii este necesar sa se calculeze si valorile din cele doua perioade (vezi tabelul 2. coloanele 5 si 6).

Tabelul 2.

Indicii individuali ai volumui fizic

Indicii individuali ai preturilor

Indicii individuali ai valorii

Indicii de grup se pot calcula in acest caz sub forma de indici agregati:

Relatia dintre cei trei indici:

Modificarile absolute ale valorii, volumului fizic si ale preturilor

mii RON

mii RON

mii RON

Verificare:

Ponderea celor doi factori:

Interpretare

Se observa ca valoarea pe total a crescut in perioada curenta fata de perioada de baza cu 20,5 mii RON ceea ce corespunde unei cresteri procentuale de aproximativ 50%. De mentionat faptul ca aceasta crestere s-a realizat predominant pe seama modificarii preturilor (87,8%), situatie care echivaleaza in ultima instanta cu o depreciere a nivelului de trai.

Problema 2. Se cunosc urmatoarele date cu privire la doua produse fabricate de o firma:

Tabelul 3.

Se cere

sa se calculeze indicii individuali ai valorii, volumului fizic si ai preturilor;

indicii de grup ai valorii, volumului fizic si al preturilor;

modificarile absolute ale valorii, volumului fizic si ale preturilor.

Rezolvare

Indicii individuali ai valorii se pot calcula pe baza datelor din tabel, indicii preturilor prin relatia de trecere de la ritm la indice iar indicii individuali ai volumului fizic pe baza relatiei dintre cei trei indici.

indicii valorii productiei:

indicii preturilor

indicii volumului fizic se calculeaza pe baza relatiei:

de unde:

Calculul indicilor de grup ai valorii, volumului fizic si al preturilor

indicele de grup al valorii se obtine direct din datele din tabel:

indicele de grup al preturilor nu se poate calcula aici decat ca un indice mediu armonic ponderat cu valoarea productiei din perioada curenta. Pentru aceasta se porneste de la relatia:

indicele de grup al volumului fizic se calculeaza ca o medie aritmetica ponderata a indicilor individuali ai acestuia, ponderile fiind valorile din perioada de baza:

Modificarile absolute ale valorii, volumului fizic si ale preturilor se calculeaza pe baza indicilor de grup respectivi:

mii RON

mii RON

mii. RON

Contributia celor doi factori

Interpretare

Rezultatele obtinute din calcul releva o crestere a valorii, pe total, cu 66,7% in perioada curenta fata de perioada de baza, respectiv cu 80 mii RON. Influentele exercitate de cei doi factori prezinta tendinte contradictorii. Astfel, modificarea valorii pe seama preturilor a inregistrat o crestere cu 93,55%, respectiv 96,67 mii RON si o scadere pe seama cantitatilor cu 13,89%, respectiv cu 16,67 mii RON.

Problema 3. Pentru trei agenti economici se cunosc datele:

Tabelul 4

Se cere

indicii individuali ai preturilor si ai valorii;

indicii de grup ai valorii, volumului fizic si al preturilor;

modificarea relativa si absoluta a valorii productiei, cu evidentierea influentei factorilor;

productivitatea muncii, pe fiecare agent economic si pe total, in cele doua perioade;

indicii individuali si de grup ai productivitatii muncii;

modificarea relativa si absoluta a productivitatii medii a muncii cu evidentierea influentei factorilor;

modificarea productiei pe seama productivitatii si a numarului de salariati, cu descompunerea pe doi factori.

Rezolvare

Formulele de calcul si rezultatele calculelor, pe baza datelor din enunt, sunt prezentate in tabelul 5. (coloanele 3 si 5):

Tabelul 5

Pentru calculul indicilor de grup trebuie obtinute urmatoarele informatii: valoarea productiei in perioada de baza (p₀q₀), valoarea productiei in preturi constante (p₀q₁).

Rezultatele calculelor sunt prezentate in tabelul 5., coloanele 7 si 8.

sau 160%

sau 92%

sau 173,91%

Pe baza indicilor de grup se pot calcula

modificarile relative

Ø      pentru factorul cantitativ: R^v(q) = I - 100 = - 8%

Ø      pentru factorul calitativ: R^v(p) = I - 100 = + 73,91%

Ø      pe total: R^v(p,q) = I- 100 = + 60%

modificarile absolute

Ø      pe seama factorului cantitativ:

- 100 mii RON

Ø     pe seama factorului calitativ:

850 mii RON

Ø     pe total: 750 mii RON

Formulele de calcul si rezultatele calculelor pentru productivitatea muncii pe fiecare agent economic sunt prezentate in tabelul , coloanele 5 si

Tabelul

Indicii individuali ai productivitatii muncii sunt prezentati in tabelul 6, coloana 7.

Pentru calculul indicilor de grup ai productivitatii medii a muncii, trebuie calculate productivitatile medii pe total, astfel:

mii RON/salariat

mii RON/salariat

mii RON/salariat

Pe baza acestora se calculeaza urmatorii indicatori:

indicele cu structura variabila

sau 94,53%

indicele variatiei structurii

sau 98,96%

indicele cu structura fixa

sau 95,62%

Pe baza indicilor de grup se pot calcula:

modificarile absolute

4,545 - 4,808 = -0,263 mii RON = -263 RON

4,753 - 4,808 = -0,055 mii RON = -55 RON

4,545 - 4,753 = -0,208 mii RON = -208 RON

modificarile relative

Interpretare

Din calcule rezulta ca productivitatea muncii, pe total, a scazut in perioada curenta fata de perioada de baza cu 5,47% pe seama influentei concomitente a celor doi factori: nivelul productivitatea muncii realizat la nivelul fiecarui agent economic si structura personalului. La aceasta situatie nefavorabila a contribuit in mare masura factorul intensiv. Astfel, productivitatea muncii, pe total, a scazut cu 4,38% ca urmare a modificarii productivitatii muncii individuale si cu 1,14% pe seama modificarii structurii personalului. La aceleasi concluzii se ajunge urmarind modificarile absolute corespunzatoare.

a) Descompunerea productiei pe doi factori de influenta se poate realiza in mai multe moduri:

Varianta I (pe baza indicatorilor obtinuti la nivelul fiecarui agent economic)

Varianta II (pe baza indicatorilor obtinuti la nivelul ansamblului)

Verificare:

0,9453

3. PROBLEME PROPUSE

Problema 1. Pentru trei firme de acelasi profil se cunosc datele:

Tabelul 7

Sa se analizeze dinamica indicatorilor din enunt.

Pe baza datelor disponibile se pot calcula indicii individuali (la nivelul fiecarei firme) ai fondului de salarii (FS) si ai numarului de salariati (T).

Rezultatele se prezinta in tabelul urmator col. 1 si 2.

Tabelul 8.

La nivelul ansamblului celor trei firme (pe total) se pot analiza dinamica si modificarea absoluta a numarului de salariati si a fondului de salarii.

Dinamica numarului de salariati este:

Modificarea absoluta a numarului de salariati:

Fondul de salarii se poate descompune pe factorii de influenta, numar de salariati (factorul cantitativ) si salariu mediu (factorul calitativ).

Salariul mediu pe fiecare firma se calculeaza ca raport intre fondul de salarii si numarul de salariati si se completeaza coloanele 3 si 4 ale talelului 8.

Indicele de grup al fondului de salarii:

Indicele fondului de salarii sub influenta numarului de salariati este:

Indicele fondului de salarii sub influenta salariului mediu este:

Intre cei trei indici se verifica relatia de sistem:

Pe baza indicilor de grup se calculeaza modificarile absolute corespunzatoare, astfel:

Si in acest caz se verifica relatia de sistem:

Interpretarea rezultatelor

Problema 2. Pentru o societate comerciala se cunosc datele:

Tabelul 9.

Se cere

indicii individuali ai valorii si ai preturilor;

indicii de grup ai valorii, volumului fizic si al preturilor;

sa se descompuna valoarea absoluta pe total.

Rezolvare

Indicii individuali ai volumului fizic se determina utilizand relatiile:

De exemplu, pentru marfa "A":

Indicii individuali ai valorii se deduc din relatia de sistem:

pentru marfa "A".

Rezultatele calculelor se prezenta in tabelul 10. (coloanele 2, 3 si 4).

Tabelul 10.

Pentru calculul indicilor de grup se calculeaza valoarea incasarilor in perioada curenta () si valoarea incasarilor in preturi comparabile () (vezi coloanele 5 si 6).

Modificarile absolute, pe cei doi factori de influenta

Modificarea absoluta pe total:

Interpretarea rezultatelor

Problema 3. Pentru doi agenti economici se cunosc datele:

Tabelul 11.

Se cere

dinamica salariului mediu pe fiecare agent economic;

salariul mediu pe total in cele doua perioade;

indicii de grup ai salariului mediu cu structura variabila, cu structura fixa si al variatiei structurii;

modificarile absolute corespunzatoare pe total.

Rezolvare

Indicii individuali ai salariului mediu se calculeaza dupa relatia:

,

si anume:

pentru agentul economic "A"

pentru agentul economic "B"

Salariul mediu in cele doua perioade se determina ca medie aritmetica ponderata a salariilor medii partiale:

Pentru analiza dinamicii salariului mediu, pe total, in functie de factorii sai de influenta vom calcula indicii de grup cu structura variabila, cu structura fixa si al variatiei structurii.

Pentru a putea folosi formulele de calcul restranse vom calcula mai intai salariul mediu intre perioade:

Indicele cu structura variabila:

Indicele variatiei structurii:

Indicele cu structura fixa:

Se verifica relatia de sistem:

Modificarile absolute corespunzatoare:

respectiv,

Interpretarea rezultatelor

Poblema 4. Se cunosc urmatoarele date pentru economia Romaniei in perioada 1990 - 1998:

Tabelul 12.

Sursa: Prelucrare dupa Anuarul Statistic al Romaniei, 2005, pag. 415-41

Se cere

deflatorul PIB in fiecare an fata de 1998 si fata de anul precedent;

rata inflatiei in fiecare an fata de 1998 si fata de anul precedent;

PIB real fata de 1998 si fata de anul precedent;

dinamica PIB real in fiecare an fata de anul precedent;

dinamica PIB real si rata inflatiei fata de 2000.

Rezolvare

Pentru a calcula deflatorul PIB este necesar sa se calculeze mai intai indicii PIB nominal (cu baza fixa 1998).

unde

De exemplu:

1,4599 sau 145,99%

Rezultatele calculelor sunt prezentate in tabelul 12., coloana 3.

Deflatorul PIB, fiind un indice al preturilor in sistem Paasche, se poate calcula ca raport intre dinamica PIB nominal (indicele valorii) si dinamica PIB real (indicele volumului fizic):

unde

De exemplu:

1,4776 sau 147,76%

2,129 sau 212,9%

Rezultatele calculelor sunt prezentate in tabelul 12., coloana 4.

Pentru a calcula deflatorul PIB in fiecare an fata de anul precedent, se aplica formula de trecere de la baza fixa la baza in lant, astfel:

De exemplu:

1,4776 sau 147,76%

1,4408 sau 144,08%

Rezultatele calculelor sunt prezentate in tabelul 12., coloana 5.

Rata inflatiei

fata de 1998

(vezi tabelul 12., coloana 6)

fata de anul precedent

(vezi vezi tabelul 12., coloana 7)

PIB real se calculeaza ca raport intre PIB nominal si deflatorul PIB astfel:

in fiecare an fata de 1998

(vezi vezi tabelul 13., coloana 4)

in fiecare an fata de anul precedent

(vezi vezi tabelul 13., coloana 5)

Tabelul 13.

Dinamica PIB real in fiecare an fata de anul precedent se calculeaza astfel:

Rezultatele calculelor sunt prezentate in tabelul 13., coloana

Aceleasi rezultate se obtin daca se foloseste formula de trecere de la baza fixa la baza in lant, pornind de la indicii PIB real cu baza fixa:

Dinamica PIB real fata de 2000 ():

unde

Prin urmare

Rata inflatiei corespunzatoare fiecarui indice se calculeaza scazand 100% din valoarea acestuia exprimata procentual:

unde

Astfel:

Interpretarea rezultatelor

TEMA

Problema 1. Pentru doua produse se cunosc datele:

Tabelul 14.

Se cere

indicii individuali ai valorii, volumului fizic si ai preturilor;

modificarea absoluta si relativa a valorii desfacerilor pe total si influenta factorilor;

stiind ca numarul personalului, pe total, a crescut in perioada curenta fata de perioada de baza cu 2%, sa se determine modificarea relativa a productivitatii muncii.

R: 2. =190 mii RON; = +42,22%; = -15 mii RON; = = -3,33%; = 205 mii RON; = +47,12%; 3. = -5,22%.

Problema 2. La o societate comerciala s-au inregistrat datele:

Tabelul 15.

Se cere

indicii individuali ai preturilor si ai valorii vanzarilor;

modificarea relativa a valorii, volumului fizic si a preturilor, pe total;

sa se reprezinte grafic structura valorii vanzarilor in cele doua perioade.

R: 2. = +69,7%; = +3,25%;

Problema 3. Pentru o societate comerciala se cunosc datele:

Tabelul 1

Se cere

indicii individuali ai valorii si ai preturilor;

indicii de grup ai valorii, volumului fizic si al preturilor;

sa se descompuna valoarea absoluta pe total.

R: 2. = 145,05%; = 99,83%; = 145,30%.

Problema 4. Pentru doi agenti economici se cunosc datele:

Tabelul 17.

Se cere

dinamica salariului mediu pe fiecare agent economic;

salariul mediu pe total in cele doua perioade;

indicii de grup ai salariului mediu cu structura variabila, cu structura fixa si al variatiei structurii;

modificarile absolute corespunzatoare pe total.

R: 1. 105% si 105,88%; 2. = 824 RON/pers.; = 873 RON/pers.;

=827,5 RON/pers.; = 105,95%; = 100,42%; = 105,5%.

Problema 5. Se cunosc datele:

Tabelul 18.

Se cere

indicii individuali ai valorii si ai preturilor;

iindicii de grup privind valoarea, volumul fizic si preturile;

stiind ca numarul personalului, pe total, s-a redus in perioada curenta fata de perioada de baza cu 5%, sa se determine modificarea relativa a productivitatii muncii.

R: 2. = 160,05%; = 96,92%; = 165,14%; 3. = +2,02%.

5. Intrebari recapitulative

Ce sisteme de ponderare se pot utiliza la construirea indicilor de grup factoriali?

Ce sisteme de ponderare se folosesc, de regula, pentru construirea indicelui de grup al factorului cantitativ?

Ce sisteme de ponderare se folosesc, de regula, pentru construirea indicelui de grup al factorului calitativ?

Ce sistem de ponderare se foloseste la construirea indicilor de grup factoriali in comparatiile internationale?

Cand se utilizeaza sistemul de ponderare Laspeyres la construirea indicelui de grup al preturilor?

In ce conditii se verifica relatia de sistem intre indicii de grup?

Care este explicatia pentru aparitia restului nedescompus?

Ce reprezinta restul nedescompus?

Ce modalitati de calcul al indicilor de grup cunoasteti?

Ce alti indicatori se pot calcula pe baza indicilor de grup?

In ce conditii se foloseste agregarea pentru calculul indicilor de grup?

Cand se foloseste media armonica pentru calculul indicilor de grup? Exemplificati.

Cand se foloseste media aritmetica pentru calculul indicilor de grup? Exemplificati.

Ce semnificatie are indicele de grup cu structura variabila?

Ce semnificatie are indicele de grup cu structura fixa?

Ce semnificatie are indicele de grup al variatiei structurii?

Ce metode de descompunere pe factori a variatiei unui fenomen complex cunoasteti?

Ce presupune metoda substitutiei in lant?

Cand se aplica metoda substitutiei in lant?

Ce avantaje prezinta metoda substitutiei in lant?

Care sunt principalele dezavantaje ale metodei substitutiei in lant?

In ce consta metoda influentei izolate a factorilor (sau metoda restului nedescompus)?

Ce modalitati de distribuire a restului nedescompus pe factorii de influenta cunoasteti?

Cand se aplica metoda restului nedescompus?

Ce avantaje prezinta metoda restului nedescompus?

Care sunt principalele dezavantaje ale metodei restului nedescompus?