Analiza stabilitatii schemelor cu Diferente Finite pentru ecuatia cinematica a propagarii undei de viitura

Analiza stabilitatii schemelor cu Diferente Finite pentru ecuatia cinematica a propagarii undei de viitura

Se considera un sector de rau de lungimea L, avand o albie larga care se poate asimila cu o sectiune transversala dreptunghiulara foarte larga (B>>h).

Adancimea apei in regim permanent si uniform este de h₀. Se presupune ca la momentul t₀ apare o unda de viitura care se poate aproxima sub o forma triunghiulara.

Schema de calcul al undei de viitura pe un sector de curs de apa

Date initiale:

n = 20

Q = 40 + 20 = 60 m³/s    - debitul cursului de apa

B = 30 m - latimea albiei

h₀ = 2.00 m - adancimea albiei

Distanta dintre punctele 1,2,3,., 8 este de Δx = 100m.

Ecuatia cu derivate partiale a undei cinematice:

unde    a - viteza de propagare a undei

v_m - viteza apei in rau in regim uniform

Se va utiliza ecuatia cu diferente finite corespunzatoare schemei explicite regresive:

Unda de viitura la momentul initial este urmatoarea:

Sa se analizeze problemele de stabilitate numerica a schemei cu diferente finite explicite    (FD up-wind), considerandu-se trei variante de discretizare:

Varianta 1

t - pasul de discretizare a timpului

Δt = 50 s

x - pasul de discretizare a spatiului

Δx = 100 m

Calculele se vor efectua pentru cel putin 8 pasi de timp (t₈ = 400 s).

Varianta 2

t - pasul de discretizare a timpului

Δt = 100 s

x - pasul de discretizare a spatiului

Δx = 100 m

Calculele se vor efectua pentru cel putin 4 pasi de timp (t₄ = 400 s).

Varianta 3

t - pasul de discretizare a timpului

Δt = 200 s

x - pasul de discretizare a spatiului

Δx = 100 m

Calculele se vor efectua pentru cel putin 2 pasi de timp (t₂ = 400 s).

Se vor compara si comenta rezultatele celor trei variante de calcul a propagarii undei de viitura.

Rezolvare

Varianta 1

t - pasul de discretizare a timpului

Δt = 50 s

x - pasul de discretizare a spatiului

Δx = 100 m

- schema este stabila

Calculele si rezultatele se pot vedea in tabelul si graficul urmator

Varianta 2

t - pasul de discretizare a timpului

Δt = 100 s

x - pasul de discretizare a spatiului

Δx = 100 m

- schema este instabila

Calculele si rezultatele se pot vedea in tabelul si graficul urmator

Varianta 3

t - pasul de discretizare a timpului

Δt = 200 s

x - pasul de discretizare a spatiului

Δx = 100 m

Calculele se vor efectua pentru cel putin 2 pasi de timp (t₂ = 400 s).

- schema este instabila

Calculele si rezultatele se pot vedea in tabelul si graficul urmator.