Alternative la regula majoritatii

Alternative la regula majoritatii

Condorcet si Borda. Cum se poate inlatura aceasta preferinta ciclica? Vom incepe cu doua raspunsuri clasice: cel formulat de Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marchiz de Condorcet (1743 - 1794), si cel al lui Jean Charles Borda (1733 - 1799). (Ambii autori au propus solutiile lor in secolul al XVIII-lea; in fapt, Borda si-a expus punctul de vedere in 1770, iar Condorcet in 1785 .)

Sa incepem cu solutia lui Condorcet (Young: 1988). El este de acord cu ideea regulii majoritatii; dar aceasta devine inefectiva atunci cand, aplicand-o in situatii precum cea de mai sus, se obtine un vot circular. Ca urmare, trebuie gasita o regula mai generala.

Regula propusa de Condorcet este urmatoarea: stim cum se compara intre ele doua alternative. Daca luam un sir ordonat format din cele trei alternative, vom defini sprijinul pentru acest sir prin suma preferintelor pe care le indica. Astfel, fie sirul xyz. Sprijinul pentru acest sir este dat de: 28 (numarul persoanelor care prefera pe x lui y) + 36 (numarul persoanelor care prefera pe y lui z) + 21 (numarul persoanelor care prefera pe x lui z) = 85. Analog, putem indica sprijinul pe care il au celelalte cinci posibilitati de a forma un sir ordonat din cele trei alternative. Avem deci:

xyz

xzy

yxz

yzx

zxy

zyx

Regula lui Condorcet spune ca sirul ales este cel care obtine cel mai mare sprijin - deci in cazul nostru yzx. Iar alternativa aleasa este, evident, y (in exemplul nostru, alocarea celor mai multe fonduri pentru repararea strazilor din oras).

Solutia pe care o ofera Borda este diferita. El porneste de la observatia intuitiva ca taria sustinerii pe care o au membrii unui grup fata de o alternativa de actiune nu e data exclusiv de numarul de optiuni prime pentru acea alternativa. Pentru a evalua reala tarie a sustinerii unei alternative, crede Borda, e nevoie sa cunoastem cum sta acea alternativa in cadrul intregii ierarhizari de catre membrii grupului a tuturor alternativelor. In acest scop, putem proceda astfel (luam situatia in care avem exact trei alternative). Presupunem mai intai ca fiecare membru al grupului si-a ierarhizat strict toate alternativele (deci nu este indiferent intre ele in nici un caz). Apoi, pentru fiecare persoana, atasam 1 punct alternativei aflate pe ultimul loc, 2 puncte celei aflate pe al doilea loc si 3 puncte alternativei care e cel mai mult preferata. Adunand punctele, obtinem preferinta sociala. Sa vedem ce obtinem in exemplul nostru daca aplicam regula lui Borda:

x = 99 puncte

y = 108 puncte

z = 93 puncte

Asadar, ordinea alternativelor este, potrivit acestei reguli, yxz, iar alternativa aleasa este, din nou, y (alocarea celor mai multe fonduri pentru repararea strazilor din oras). Regula lui Borda pare extrem de naturala, si este, de asemenea, in concordanta cu cea a alegerii majoritare (in cazurile in care nu avem vot ciclic).

Dar sa notam deja ca ordinea indusa prin aceasta regula e diferita de cea indusa de regula lui Condorcet, fiindca alternativele z si y si-au schimbat locul. (Sa accentuam insa un fapt foarte important: regula lui Borda are in comun cu cea a lui Condorcet faptul ca depinde numai de evaluarile pereche cu pereche ale alternativelor - deci de mecanisme pe care le cunoastem deja. Ca lucrurile stau astfel se vede daca ne uitam la felul in care se ataseaza un punctaj fiecarei alternative. In ierarhia xyz, pe care, sa zicem, o realizeaza o anumita persoana, lui z am vazut ca ii atasam 1 punct. Putem sa interpretam acest punctaj in sensul ca z este preferata nestrict unei singure alternative (anume lui z insasi); lui y ii atasam 2 puncte, pentru ca ea este preferata nestrict lui z si lui y insasi; si analog in cazul lui x

De aici ajungem la urmatoarea intrebare: este oare posibil ca cele doua reguli sa difere si in ce priveste prima alternativa, deci actiunea aleasa? Sa luam un exemplu (el ii apartine lui Condorcet insusi); avem 81 de membri ai grupului nostru, care au urmatoarele preferinte:

Sa aplicam cele doua reguli. Cititorul poate calcula usor ca, potrivit regulii lui Condorcet, sprijinul pe care il au cele sase siruri ordonate este urmatorul:

xyz

xzy

yxz

yzx

zxy 73

zyx 72

Asadar, sirul ordonat care exprima preferinta sociala este xyz si, ca urmare, alternativa x este cea preferata de grup.

Sa trecem insa la regula lui Borda. Potrivit ei, vom avea:

x = 182 puncte

y = 190 puncte

z = 114 puncte

Ca urmare, sirul ordonat care exprima preferinta sociala este yxz si, deci, alternativa y este cea preferata de grup.

In exemplul nostru, cele doua reguli conduc la alegeri diferite. Putem sa evaluam aceste alegeri? Cel mai adesea, exista doua metode de a proceda in acest sens. Prima consta in cercetarea modului in care functioneaza efectiv o astfel de procedura. Cea de-a doua - cu care vom incepe - consta in gasirea unor presupozitii ale mecanismelor de alegere utilizate, deci ale celor doua reguli.

Mergand pe aceasta a doua cale, vom discuta un argument pe care l-a propus chiar Condorcet. El ridica urmatoarea problema: intuitiv, noi consideram ca ar fi normala urmatoarea exigenta asupra unei reguli de decizie sociala. Anume, sa observam ca alternativa x este preferata (in comparatia directa, pe care, asa cum am vazut, o presupune si procedura lui Borda) atat lui y cat si lui z x este preferata lui y de jumatate plus unu din membrii grupului (de 41 de persoane) si este preferata lui z de 61 de persoane, deci de mai bine de trei sferturi din membrii grupului. Normal, zice Condorcet, ar fi ca - pe aceasta baza - alternativa x sa fi fost declarata ca preferata social (asa cum de altfel face metoda lui Condorcet insusi). Cum regula lui Borda produce un rezultat diferit, ar decurge ca ea nu este acceptabila.

Care este insa motivul pentru care regula lui Borda induce rezultatul ca, totusi, y este alternativa preferabila social? Motivul, considera Condorcet, este acela ca evaluarile se fac prin luarea in considerare si a alternativei z (care, potrivit ambelor reguli discutate aici, se claseaza pe locul al treilea in topul preferintelor). Sa vedem cum intervine ea. Am vazut ca scorul in comparatia dintre x si y este extrem de strans: doar un vot le diferentiaza. Dar, comparate cu z, alternativa x e preferata de 61 de persoane, in timp ce alternativa y este preferata de mult mai multe persoane, anume de 69. Ca urmare, se naste banuiala ca motivul pentru care regula lui Borda selecteaza alternativa y in comparatie cu x este acela ca ea se situeaza mai bine in comparatie cu alternativa z - care, cum am vazut, e de fapt (ca sa folosim aici un termen sportiv) un outsider. Argumentul lui Condorcet pare sa fie atunci urmatorul: in selectarea alternativei preferate, nu trebuie sa tinem cont decat de felul in care se raporteaza intre ele alternativele considerate, si nu de alte alternative. Argumentul pare extrem de pertinent. Cel putin doua motive cantaresc puternic in favoarea lui:

in acest fel deciziile pot fi realizate prin considerarea unui domeniu dat de alternative, in care nu trebuie incluse toate alegerile posibile;

rezultatul ales nu trebuie manipulat prin adaugarea unor alternative noi.

Intr-adevar, este evident ca alternativa z este una slaba, atat x cat si y fiind preferate in raport cu ea. Faptul ca alternativele mai bine situate se raporteaza intr-un anumit fel la ele nu ar trebui sa conteze in comparatia dintre ele insele. Intr-un fel, alternativa z trebuie considerata ca irelevanta in alegerea dintre x si y

Putem acum sa formulam problema lui Condorcet: daca dorim sa alegem intre regula, alternativa, a lui Borda si regula propusa de el insusi, atunci trebuie sa ne precizam pozitia fata de optiunea de a accepta sau nu un principiu mai adanc decat cele doua reguli - anume principiul independentei alternativelor irelevante:

Independenta alternativelor irelevante. Sa presupunem ca avem doua profile p¹_G si p²_G ale grupului G, deci doua seturi de preferinte posibile ale membrilor grupului. Daca in cele doua profile relatia de preferinta intre doua alternative x si y este aceeasi, pentru orice membru al grupului, atunci preferinta sociala intre x si y este aceeasi in ambele cazuri.

Potrivit acestui principiu, alegerea colectiva trebuie pusa in legatura in mod direct cu preferintele individuale; ea revine la a spune ca daca preferintele pe baza carora se face o alegere colectiva nu se schimba, atunci alegerea trebuie sa ramana aceeasi. (Sa observam ca potrivit acestui principiu conteaza doar ordinea in care se afla preferintele, nu si indicatori numerici ai preferintelor, asa cum se procedeaza in cazul regulii lui Borda. Aceasta imprejurare este esentiala in compararea celor doua strategii.) Daca admitem acest principiu, vom fi nevoiti sa respingem o regula precum cea a lui Borda. Dar regula lui Condorcet este compatibila cu el.

Exista argumente impotriva admiterii conditiei de independenta a alternativelor irelevante. In unele situatii respingerea ei ne apare ca intuitiva si usor de aplicat. In campionatul national de fotbal toata lumea accepta sistemul dupa care fiecare joaca cu fiecare. S-ar putea ca anul acesta echipele plasate la sfarsitul campionatului pe primele doua locuri, atunci cand au jucat intre ele, sa fi terminat meciurile cu acelasi rezultat: una dintre ele a invins de fiecare data. Dar e posibil ca cealalta echipa sa ia campionatul, fiindca a avut rezultate mai bune in intalnirile cu celelalte echipe din campionat (cu alternativele irelevante). La fel, se prea poate ca in cadrul unui turneu de sah castigatorul sa fi pierdut in fata sahistului clasat al doilea, dar s-a clasat mai bine pentru ca a avut rezultate mai bune in partidele cu ceilalti concurenti.

Pe de alta parte, exista argumente in favoarea criteriului de independenta a alternativelor irelevante. In primul rand, el pare intuitiv acceptabil. Caci, intuitiv, atunci cand aleg pe x in raport cu y eu il exclud de la statutul de a fi ales pe y. Dar daca y este o alternativa nefezabila, atunci a a spune ca y este exclus prin alegerea mea nu are sens, fiindca oricum ea era exclusa ca alegere. Daca vreau sa aleg intre a petrece o seara placuta cu Ioana sau cu Maria, alegerea are sens, stiind ca ambele persoane si-au exprimat ieri dorinta de a cina impreuna cu mine. Dar daca vreau sa aleg intre una din ele si Cleopatra, regina Egiptului, e limpede ca cina cu vestita regina era deja exclusa, chiar inainte ca eu sa-mi pun problema de a decide.

De asemenea, sunt situatii in care intuitiv respingerea acestei conditi pare de-a dreptul irationala. Sa presupunem ca suntem la un restaurant si vrem sa comandam o ciorba. Ospatarul imi spune: avem ciorba de legume si ciorba de perisoare. Eu prefer intre acestea ciorba de legume, si aleg in consecinta. Dar dupa un minut ospatarul revine, isi cere scuze si imi spune ca bucatarul a pregatit si ciorba de burta. Ah, zic eu, atunci comand ciorba de perisoare! Multi vor zambi ascultand aceast poveste. Structura ei este evident una care incalca proprietatea independentei alternativelor irelevante. Anume, intre doua alternative x si y eu preferam (strict) pe x: avem P x y). Dar in prezenta unei a treia alternative, preferinta mea intre x si y se schimba - si este acum P y x

In al doilea rand, cel mai adesea situatiile reale in care luam decizii satisfac acest criteriu. Intr-adevar, in deciziile reale noi nu punem la lucru toate preferintele noastre. Poate ca l-as prefera la conducerea P.N.L. pe Ionel Bratianu, dar el nu este, evident, o alternativa efectiva; poate ca as prefera sa-l vad pe M. Eminescu editorialist la ziarul meu preferat, numai ca de buna seama ca nu am cum sa-l aleg pe el. In al treilea rand, acest criteriu are o implicatie practica importanta: el functioneaza ca un instrument de restrangere a agendei grupului la acele alternative care sunt efectiv semnificative; iar daca restrangerea are ca rezultat un numar rezonabil de mic de alternative - intre care alegerea se poate face mai usor - atunci criteriul functioneaza ca un mecanism important de decizie. In sfarsit, criteriul impiedica aparitia unei pante alunecoase: caci, daca el nu ar functiona, ne-am putea astepta sa apara un numar urias de alternative (irelevante). La conducerea unui partid de astazi de la noi ar putea fi atunci candidat nu doar liderul lui de acum un veac, dar si vreun om politic ori filosof de acum doua milenii, ori Tanase Scatiu, ori vreun cyborg - si desigur ca insiruirea nu ar avea sfarsit. In al patrulea rand, asa cum vom vedea mai jos printr-un exemplu, daca este incalcata conditia independentei alternativelor irelevante atunci uneori alegerile pot fi manipulate (sau, cep putin, incercarile in acest sens au mai mari sorti de izbanda). Si inca un lucru: asa cum vom vedea mai jos, principiul independentei alternativelor irelevante este central in formularea teoremei lui Arrow.

Daca vom considera ca exemplele de tipul celui privind alegerea la restaurant a unei ciorbe sunt mai semnificative pentru ce inseamna conditia independentei alternativelor irelevante, atunci va trebui sa conchidem ca regula lui Borda nu trebuie preferata in raport cu, sa zicem, cea a lui Condorcet Dar daca suntem mai atrasi de exemple precum cele privind campionatul de fotbal sau turneul de sah, atunci s-ar putea sa nu vedem nimic rau in acceptarea conditiei independentei alternativelor irelevante si vom fi mai dispusi, bunaoara, sa constuim un sistem electoral bazat pe regula lui Borda.

Sa ne intoarcem insa acum la metodele de a evalua meritele relative ale celor doua proceduri propuse de Condorcet si de Borda de alegere sociala intre alternative si sa cercetam modul in care functioneaza efectiv acestea. Vom insista asupra regulii lui Borda, pentru motivul ca aceasta a fost cel mai discutata in incercarile de construire si de evaluare comparativa a sistemelor electorale. Trasatura cea mai aplaudata a regulii lui Borda (pe care chiar autorul ei a indicat-o) e ca aceasta ia in considerare intregul sprijin pe care il poate avea o alterantiva: cum ea cere sa vedem nu numai ce alternativa este pe primul loc, ci si care e pe locurile urmatoare, alternativa care este aleasa e cea care se bucura de cel mai larg sprijin din partea votantilor (care, intr-un fel, este cea mai populara). E interesant ca potrivit abordarilor moderne, regula lui Borda pare sa indice ca intr-o alegere candidatul cu cele mai mari sanse este cel moderat, cel mai apropiat de ceea ce vom numi "votantul median". Merrill (1984) a realizat o simulare a felului in care intr-un context dat diferite aranjamente electorale ar produce rezultate. Regula lui Borda, a conchis el, are o caracteristica importanta: ea are probabilitatea cea mai ridicata sa selecteze un invingator Condorcet (si prin urmare, ea minimizeaza posibilitatea aparitiei paradoxurilor votarii).

Desigur insa - se va replica - nu trebuie uitat ca procedura lui Borda lasa libera si posibilitatea manipularii alegerilor. Iata un exemplu in acest sens (dupa Reilly: 2002): in unele state din zona Oceanului Pacific se practica, dupa proclamarea independentie acestora, un sistem de vot care e bazat pe regula lui Borda. Unul dintre aceste state este Republica Kiribati. Independenta din 1979, aceasta e alcatuita din 33 mici atoluri raspandite pe o suprafata de trei milioane de kilometri patrati in Pacificul central. Cea mai importanta functie din stat e cea de presedinte, ales prin vot universal. Dar nominalizarile pentru functia de presedinte se fac intr-un mod specific. Anume, doar membrii Parlamentului au acest drept. Legea prevede ca in alegerile prezidentiale sa fie cel putin trei candidati, dar nu mai mult de patru. Cum de multe ori se intampla astfel, e nevoie ca Parlamentul, format din 41 de membri, sa aleaga intre candidati. Modul in care face acest lucru este apeland la regula clasica a lui Borda: se acorda patru puncte pentru candidatul preferat pe locul intai, trei pentru cel preferat al doilea, doua puncte pentru cel plasat al treilea, un punct pentru cel aflat pe locul patru si nici un punct pentru ceilalti. Candidatii care acumuleaza cel mai mare numar de puncte pot apoi sa candideze pentru presedintie. Presedintele e ales prin vot popular, iar metoda folosita e cea a pluralitatii (castiga acel candidat care are cel mai mare numar de voturi).

In anul 1991 alegerile au scos in evidenta existenta a patru grupuri - sa le spunem aici A, B, C si D - in Parlament. Fiecare a propus cate doi candidati, sa ii desemnam aici pe scurt prin A1 si A2, B1 si B2, C1 si C2, D1 si D2. Grupurile A si C s-au coalizat si au votat strategic (pentru acest concept a se vedea mai jos Capitolul 10), cu scopul de a-l elimina din joc pe candidatul B1 - cel care parea cel mai puternic contracandidat din partea opozitiei. Votul din Parlament a fost urmatoarul:

Cum se observa, grupurile A si C au introdus cate inca un candidat, cu scopul de a avea in total un numar de patru candidati - si deci sa acorde puncte numai acestora, nu insa si candidatilor celorlalte grupuri B si D; iar rezultatul este ca au intrat in competitia populara numai candidatii sustinuti de A si C - astfel fiind eliminat cel mai puternic adversar: B1 (care, cum se vede, era pe primul loc in preferinte pentru 10 membri ai Parlamentului). (De altfel, in alegerile din 1991 candidatii A2 si C2 au fost nominalizati numai pentru acest scop; ei nici nu au facut campanie electorala: dupa ce s-au inscris in cursa pur si simplu s-au intors pe insulele lor.)

Alte alternative la regula majoritatii. Nu vom discuta pe larg alte proceduri de alegere, diferite de regulile lui Condorcet si Borda. Vom aminti insa pe scurt unele dintre acestea, iar apoi vom construi un exemplu si vom vedea cum difera inte ele diferitele proceduri, alternative la regula majoritatii simple, de selectare a alternativelor.

Regula pluralitatii simple: fiecarui votant i se aloca un singur vot, pe care il poate atasa unei alternative. Preferinta sociala este in favoarea alternativei cu cele mai multe voturi.

Sa observam ca regula majoritatii simple este un caz particular al acestei reguli: intr-adevar, daca avem doar doua alternative, atunci potrivit regulii pluralitatii castiga alternativa care are sprijinul a mai mult de jumatate din numarul total de voturi.

Balotaj plural: fiecarui votant i se aloca un singur vot, pe care il poate atasa unei alternative. Primele doua alternative in ordinea numarului de voturi intra in turul doi, cand se alege prin regula pluralitatii simple

Balotaj secvential: se elimina alternativa cu cel mai mic numar de voturi si se repeta votul.

Vot prin aprobare: votantilor li se aloca un numar de voturi egal cu cel al alternativelor de pe agenda; ei le pot folosi pe toate sau numai pe unele, atasand voturi alternativelor pe care le aproba. Castiga alternativa cu cele mai multe voturi.

Regula votului prin aprobare pare sa fie mai usor de acceptat decat cea a lui Borda, pentru ca spre deosebire de aceasta, care presupunea ca fiecare votant sa fie in stare sa ierarhizeze toate alternativele de pe agenda, acum votantii trebuie doar sa deosebeasca intre alternativele proaste si cele care nu sunt proaste: cele care nu sunt considerate proaste primesc, fiecare, un vot - dar nu este nevoie ca votantii sa poata sa le ierarhizeze.

Acum sa luam urmatorul exemplu[2]. Presupunem ca avem un grup format din 55 persoane, care urmeaza sa aleaga intre cinci alternative: x, y, z, u, w si ale caror preferinte sunt prezentate in tabelul urmator (daca exista cinci alternative, sunt 120 de feluri in care un votant le poate ordona strict; dar, cum se vede, votantii din grupul nostru prefera doar in sase feluri intre alternative). Tabelul difera de cele pe care le-am construim mai devreme prin faptul ca pe fiecare coloana indicam cu litere bold doar acele alternative pentru care votantul respectiv - daca ar urma sa se foloseasca drept regula de selectare a alternativelor votul prin aprobare - ar atasa un vot. Exemplul este remarcabil prin faptul ca face ca prin cel putin o metoda de agregare a preferintelor individuale fiecare din cele cinci alternative sa ajunga preferinta grupului.

Primul lucru pe care il verificam este acela daca exista un invingator Condorcet. El intr-adevar exista, fiindca in comparatii in pereche alternativa w invinge fiecare alta alternativa (obtine 37 voturi cand e comparata cu x; 33 cand e comparata cu y; 36 cand e comparata cu z si 28 cand e comparata cu u). Dar sa observam o caracteristica importanta a acestei alternative: ea este asezata ca prima preferinta de cei mai putini membri ai grupului.

Prin regula pluralitatii se observa usor ca alternativa care iese invingatoare este insa x - care este ierarhizata de cel mai mare numar de voanti ca prima preferinta: e oarecum surprinzator, fiindca toti ceilalti votanti o aseaza pe ultimul loc. (Nu va fi de aceea surprinzator sa constatam ca, de pilda, prin regula lui Borda alternativa x se claseaza cel mai prost!)

Prin regula pluralitatii secventiale in turul doi se califica alternativele x si y, dintre care in al doilea tur alternativa y castiga detasat.

Prin regula lui Condorcet (de data aceasta calculele sunt mult mai lungi, fiindca exista 5! = 120 modalitati diferite de a ierarhiza strict cele cinci alternative; cititorul este rugat sa le faca singur) ordinea rezultata a alternativelor este: wuzyx, care cu 356 puncte le invinge pe toate celelalte. E de observat ca regula lui Condorcet o indica drept alternativa preferata exact pe cea care este invingatoare Condorcet.

Regula lui Borda da urmatoarea ordine a preferintei sociale: uwzyx, deci cel mai bine plasata este alternativa u (e drept, la o distanta foarte mica de w), in timp ce alternativa x, care prin regula pluralitatii devenea preferata social, acum este in mod detasat pe ultimul loc. (Iarasi, cititorul e rugat sa calculeze singur: va atasa cinci puncte pentru alternativa aflata pe locul intai si asa mai departe.) (Inca o observatie interesanta: regula lui Borda poate fi manipulata: daca votantii din grupul doi sau trei - care au, respectiv, 12 si 10 membri - isi reprezinta strategic altfel preferintele, asezand mai jos alternativa u, atunci ei fac ca alternativa w - pe care o prefera lui u - sa iasa invingatoare!)

Prin votul prin aprobare alternativele u si w sunt pe primele doua locuri (la egalitate de voturi), urmate fiind de y, z si x. Aceasta regula, spre deosebire de celelalte, nu da un singur invingator.

Morala discutiei din acest paragraf poate fi rezumata simplu: daca ne intrebam, intr-o situatie de decizie, care dintre alternativele aflate pe agenda este alternativa corecta, date fiind preferintele individuale (deci, mai tehnic vorbind, dat fiind un anumit profil al grupului), atunci nu exista ceva de genul unui raspuns ferm. Alegerea corecta depinde de regula pe care o folosim. Asadar, faptul ca o alegere este sau nu corecta nu poate fi stabilit la modul aboslut: fiecare regula de alegere creeaza propriul ei concept de corectitudine, si nu exista un concept absolut de corectitudine.

Asa cum a argumentat Plott (1991), alegerea grupului poate fi simplu reprezentata prin ecuatia:

Preferinte H Reguli Y Rezultate

Aceasta relatie (uneori numita si ecuatia fundamentala a politicii) ilustreaza doua aspecte foarte importante: 1) daca preferintele individuale se schimba, atunci si rezultatele se pot schimba, chiar daca regulile raman neschimbate; 2) daca regulile se schimba, atunci si rezultatele se pot schimba, chiar daca preferintele individuale raman constante.

Daca mergem mai departe si intrebam: dar oare nu cumva putem alege intre diferitele reguli de agregare a preferintelor individuale?, atunci ne intoarcem la o chestiune cercetata pe larg in Capitolul 7; anume, la proprietatile pe care le au sau nu le au diferitele astfel de reguli. Iar alegerea noastra va depinde de modul in care ne raportam la aceste reguli. Comparatia facuta acest capitol, intre regulile lui Borda si Condorcet, este un exemplu cu privire la felul in care se poate face o asemenea analiza.