Relatiile dintre alegeri si preferinte

Relatiile dintre alegeri si preferinte

Am vazut in sectiunea 5.1 cum, pornind de la multimea alternativelor pe care le are la dispozitie un actor rational intr-o anumita situatie (deci de la o agenda X) se poate construi multimea alternativelor alese de acesta, C(X); de asemenea, am amintit unele dintre proprietatile pe care le are functia de alegere C. Pe de alta parte, in sectiunea 5.2 am cercetat relatiile de preferinta pe care un actor rational le poate avea intre alternativele de pe agenda X si am vazut cum se poate construi multimea alternativelor sale maximale M(X,R) in raport cu relatia de preferinta R pe X; de asemenea, am studiat unele dintre proprietatile relatiilor de preferinta. Acum se ridica intrebarea: sunt corelate - iar daca da, atunci cum sunt corelate intre ele conceptele de preferinta si de alegere ale unui actor rational?

In particular, sa incercam sa analizam urmatoarea situatie. Sa luam o multime Φ de alternative. Asa cum am vazut, putem defini o functie de alegere C in felul urmator. C ataseaza fiecarei agende X (deci fiecarei multimi X incluse in Φ) o (unica) multime C(X) de alternative.

C: P(Φ) → P(Φ)

Intrebarea este: putem oare corela functia de alegere C cu o relatie de preferinta R definita pe multimea Φ? Ideea de a care plecam este simpla. Sa presupunem ca pentru o agenda oarecare X astfel incat f X avem C(X) = . Din comportamentul actorului nostru, ne dam seama ca, avand la dispozitie atat pe x cat si pe y, el a ales doar alternativa x; ceea ce ar indica faptul ca prefera pe x lui y. Dar sa presupunem ca pentru aceeasi agenda X avem C(X) = . In acest caz, din comportamentul actorului in situatia data (cand alege din agenda X) nu putem conchide ca una dintre alternative e preferata celeilalte. Singurele date pe care le avem la dispozitie in ce priveste comportamentul actorului sunt alegerile sale. Numai din ele putem infera ceva despre preferintele sale.

Pentru a face mai riguroase ideile mentionate aici, sa introducem urmatoarea definitie:

Definitia 5. O functie de alegere C este rationalizabila daca exista o relatie binara R definita pe Φ astfel incat pentru orice agenda X f Φ avem: C(X) = M(X,R)

Vom spune ca C este rationalizata de R.

Ceea ce am dori sa stim este, simplu zis, ce conditii trebuie sa indeplineasca o functie de alegere C pentru a fi rationalizabila. Fiindca e posibil sa dovedim ca nu orice astfel de functie este rationalizabila. De pilda, sa admitem ca Φ = si ca am definit pe C astfel:

C() = C() = ; C() = ; C() =

Atunci insa ar trebui sa avem P(y,x), fiindca C() = ; dar ar trebui sa avem si P(x,y), fiindca C() = . Desigur, acest lucru nu incalca definitia 5; potrivit acesteia si definitiilor 3 si 4, putem construi o relatie binara R pe Φ. Problema este ca R si P astfel definite nu sunt relatii de preferinta; in particular, P este asimetrica, si deci nu putem avea simultan P(x,y) si P(y,x). De aceea, daca dorim ca relatiile binare definite pe Φ sa fie relatii de preferinta (in particular, ca R sa fie o relatie de ordine slaba), inseamna ca trebuie sa punem conditii suplimentare pe care sa le indeplineasca functia de alegere C.

Sa incepem prin a defini, pentru orice functie de alegere C, o relatie R_C, pe care sa o numim preferinta pereche generata de C (Arrow: 1959). R_C se defineste astfel:

Definitia 6. Pentru orice x si y din Φ, R_C(x,y) daca si numai daca C() = .

Altfel zis, alternativa x este R_C-preferata lui y daca si numai daca in situatia de alegere in care agenda consta din exact x si y actorul alege numai pe x. Plecand de la functia de alegere C am putea sa construim si alte relatii de preferinta pe Φ (Sen: 1971). De exemplu, am putea defini o noua relatie R₁ prin generalizarea definitiei 6, in felul urmator:

Definitia 7. R₁(x,y) daca si numai daca exista o agenda X f Φ astfel incat x C(X)    si y X

Conform acestei definitii, x e preferat prin R₁ lui atunci cand x este o alternativa aleasa in situatia in care si alternativa y este disponibila. Sa definim de asemenea o relatie R₃; aceasta corespunde preferintei revelate: alternativa x este aleasa intr-o situatie in care y este nu numai disponibila, dar este respinsa (adica: nu este aleasa).

Definitia 8. R₃(x,y) daca si numai daca exista o agenda X f Φ astfel incat x I CX si y I X si y CX.

Definitia 8 trimite la o proprietate pe care functiile de alegere sociala de tipul lui C o pot avea - aceea a preferintei revelate. Intr-adevar, se poate demonstra ca, daca C are unele proprietati, atunci cele trei relatii definite aici sunt strans conectate. Vom mentiona, fara a da si demonstratiile, cateva astfel de rezultate:

Teorema 9.

Daca functia de alegere C satisface conditia α, atunci then R₁ = R_C

Daca functia de alegere C satisface conditiile α si β, atunci R_C = R₂

O functie de alegere C satisface conditiile α si β daca si numai daca pentru nici un x si y, R₂(x,y) si R₁(y,x) nu sunt impreuna adevarate.

In continuare ne vom opri numai asupra relatiei de preferinta pereche a lui Arrow. Vom mentiona cateva proprietati ale acesteia, sintetizate in teorema 11, si vom da demonstratia acestora. Inainte insa vom demonstra ca aceasta relatie este extrem de semnificativa: asa cum va rezulta din teorema 10, pentru orice functie de alegere C, daca exista o relatie care o rationalizeaza, atunci aceasta in chip necesar coincide cu R_C.

Teorema 10. O functie de alegere C este rationalizabila daca si numai daca este rationalizabila de R_C.

Demonstratie. Necesitatea este evidenta. Caci daca C este rationalizabila de R_C, atunci evident ca exista o relatie care rationalizeaza pe C. Invers, sa presupunem ca o relatie R rationalizeaza pe C. Insa, pentru orice agenda X f prin definitia lui M(X,R) avem R(x,y) daca si numai daca M( ,R). Cum am admis ca R rationalizeaza pe C, avem si x I M( ,R) daca si numai daca x I C( ). Dar acum prin definitia lui R_C avem R_C(x,y) daca si numai daca x I C( ). Prin urmare, pentru orice x si y, R(x,y) daca si numai daca R_C(x,y), altfel zis R_C = R.

Teorema 11.

Relatia R_C este reflexiva si completa.

Daca functia de alegere C satisface conditiile α si β, atunci R_C este tranzitiva.

Daca functia de alegere C satisface conditia PI, atunci P_C este tranzitiva.

Daca functia de alegere C satisface conditia α, atunci P_C este aciclica.

Sa demonstram pe rand fiecare din cele patru puncte ale teoremei.

1. Vom arata ca R_C este reflexiva si completa. Ne amintim ca functia de alegere are proprietatea ca pentru orice agenda X avem C(X ) ≠ Æ. Atunci avem mai intai C Æ, deci C = - ceea ce inseamna ca pentru orice x are loc R_C(x,x). Mai departe, C Æ pentru orice x si y. Sa luam cazul in care C = . Atunci avem R_C(x,y); daca insa e fals ca C = , va trebui sa avem C() = , caci C() ≠ Æ, deci - ceea ce inseamna ca R_C este completa.

2. Sa admitem ca functia de alegere C satisface conditiile α si β si ca de asemenea avem R_C(x,y) si R_C(y,z) - adica, prin definitia lui R_C: xIC() si yIC Vrem sa aratam ca R_C(x,z), adica xI C(). Sa observam ca prin conditia α, daca e adevarat ca xIC(), atunci e adevarat si ca xIC(). Caci avem f si deci prin α obtinem: C f C(). Daca acum xIC(), avem si xI C , deci xI C(). Prin urmare, e suficient sa aratam ca xIC() pentru a conchide ca R_C(x,z). In al doilea rand, stim ca C Æ. Atunci avem fie x, fie y, fie z in C(). Daca a) xI C(), atunci am demonstrat ce voiam. Sa prespunem acum ca b) yI C(). Atunci prin conditia α avem si yI C(). Dar am facut si supozitia ca xIC(), prin urmare f C(). Acum sa apelam la conditia β. Cum f si in plus C() C() ≠ Æ (intr-adevar, y apartine ambelor multimi), va decurge ca C fC(). Ca urmare, avem din nou xI C(). Trecem la ultimul caz posibil, zI C(). Iarasi prin α obtinem xI C(); apeland din nou la β si la supozitia noastra: yIC(), decurge ca yI C() - ceea ce ne permite sa reiteram argumentul de la punctul (b). Ca urmare, avem in orice caz xI C(), deci xI C(), deci R_C(x,z).

3. Sa admitem acum ca functia de alegere C satisface conditia PI si sa aratam ca P_C este tranzitiva. Presupunem ca avem P_C(x,y) si P_C(y,z) - adica, prin definitia lui P_C: = C() si = C Vrem sa aratam ca P_C(x,z), adica = C(). Avem C(C() c C()) = C(c) = C() = . Dar prin PI C(C() c C()) = C(), deci C() = . Pe de alta parte, avem si = c . Sa tinem cont de faptul ca C() = . Avem acum = C() = C(C() c C()) = C(c ) = C(). Deci = C(), adica P_C(x,z).

4. In sfarsit, sa admitem ca functia de alegere C satisface conditia α si sa aratam ca P_C este aciclica. Fie o agenda Y = . Sa presupunem de asemenea ca e adevarat ca P_C(x₁,x₂), P_C(x₂,x₃), P_C(x_n-1,x_n). Sa aratam ca R_C(x₁,x_n). Mai intai, sa notam ca nici una din alternativele x₂, x_n nu poate fi un element din C(Y). Caci sa admitem ca am avea sa zicem x_iI C(Y); atunci fie o agenda X = ; desigur, avem C() = , fiindca avem P_C(x_i-1,x_i). Apeland la conditia α, decurge ca ar trebui sa avem C(Y) f C(). Dar acest lucru e imposibil, fiindca C() = , insa x_i-1I C(Y) . Dar stim ca C(Y) ≠ Æ, ceea ce se poate numai daca x₁I C(Y). Iarasi apeland la conditia α (folosind agendele Y si ), obtinem x₁I C(), adica R_C(x₁,x_n).