Controlul de receptie al produselor

Controlul de receptie al produselor

I. Nivelul de calitate acceptabil (AQL) si planurile de control statistic de receptie

II. Proiectarea planurilor de control pentru loturi de produse cu caracteristici atributive

II.1. Generalitati

II.2. Planuri de control simplu

II.3. Planuri de control secvential

II.4. Truncherea controlului secvential

II.5. Planuri de control multiplu

II.6. Planuri de control secvential pentru loturi mici

II. Proiectarea planurilor de control pentru loturi de produse cu caracteristici atributive

II. 1. Generalitati

Sistemul de reguli prin care se realizeaza in practica controlul se constituie sub forma planurilor de control statistic de receptie.

Planurile de control se deosebesc intre ele in functie de tipul caracteristicii controlate, de modalitatea de prelevare a unitatilor din lot in vederea efectuarii controlului, de exigentele impuse de parteneri fata de conditiile de control.

Elementele unui plan de control sunt:

-conditiile de receptie stabilite de furnizor si beneficiar, adica marimile P₁, P₂, a si b

-tipul controlului (prin atribute sau masurare);

-tipul de prelevare (simplu, dublu, multiplu si secvential);

-parametrii planului de control pe baza carora se iau decizia cu provire la acceptarea sau respingerea lotului.

In functie de schema de prelevare a unitatilor ce formeaza esantionul se cunosc urmatoarele planuri de control:

-planuri de control simplu

-planuri de control de tip secvential:

-planuri de control de tip secvential-trunchiat cu variantele dublu si multiplu:

II.2. Planuri de control simplu

La acest control se testeaza ipoteza:

H₁:P£P₁

in care caz lotul se accepta sau se respinge pe baza esantionului de marime n₁ pentru alternativa :

H₂:P£P₂

Fiind fixate marimile P₁, P₂, a si b se pot determina :

-marimea n a esantionului, care trebuie extras din lot;

-numarul maxim de rebuturi din esantion care conditioneaza acceptarea sau respingerea lotului, A.

Sa admitem ca intr-un lot de marimea N se gasesc D rebuturi si N-D produse corespunzatoare. Din lot se fac n extractii succesive, fara sa se puna exemplarul verificat inapoi. Probabilitatea ca in n extractii sa obtinem d rebuturi si n-d produse corespunzatoare este data de expresia:

Am obtinut o repartitie hipergeometrica si care poate fi aproximata prin modelul binomial:

probabilitatea de acceptare corespunzatoare fiind:

Urmeaza in continuare alcatuirea sistemului de ecuatii si rezolvarea sa.

Obs. Pentru p mic (p£0,1) si n mare (n³30) astfel incat n/N£0,05), repartitia hipergeometrica se poate aproxima prin cea Poisson, cu media si dispersia l=n P. Aproximarea da rezultate foarte bune, in special in cazul loturile de volum mare, deoarece aparitia rebuturilor constituie un eveniment rar. In acest caz probabilitatea ca in esantion sa se gaseasca d rebuturi este:

iar probabilitatea de acceptare este:

Determinarea parametrilor n si A se face prin rezolvarea sistemului:

dar si acest sistem fiind greoi de rezolvat se va utiliza o noua metoda de aproximare convenabila -metoda repartitiei c

Pentru cele doua fractiuni defective P₁ si P₂ obtinem doua valori c corespunzatoare numarului de grade de libertate (A+1) s probabilitatilor 1-a si b. Deci:

ceea ce inseamna ca:

iar:

Tehnica de lucru pentru stabilirea lui n si A consta in a calcula raportul r=P₂/P₁ si a cauta in tabele valorile lui si pentru care este valabila egalitatea aproximativa anterior dupa care citim numarul gradelor de libertate 2(A+1) si aflam numarul A. Impartim la 2P₂ si la 2P₁ rezultand n₂ si n₁ cu ajutorul carora calculam numarul de exemplare din esantion,

O alta cale de a obtine parametrii planurilor de control de tipul controlului simplu o constituie utilizarea nomogramelor.

Aplicatie

Fie un plan de control pentru receptia unor loturile de furnituri, pentru care se cunosc: fractiunea defectiva P₁=0,03 sa fie acceptate cu o probabilitate egala cu 0,95, iar loturile cu fractiunea defectiva P₂=0,075 sa fie acceptate cu probabilitatea 0,05

Rezolvare

Se determina r=P₂/P₁=0,075/0,03=2,5. Unei probabilitati de b=0,05, in tabelul cu valorile c ii corespunde un egal cu 2 (respectiv , iar , deci ). Ambele valori le corespund 28 grade de libertate. Rezulta ca A, numarul de acceptare, este egal cu (28/2)-1=13.. Raportand valoarea la 2P₂, obtinem n₂, adica n₂ =41,3/(2 0,07)=295, iar n₁ este n₁=16,9/(2 282. Asa dar n=(n₁+n₂)/2=(285+282)/2

Din lot se vor extrage 286 esemplare care se vor controla bucata cu bucata. Daca numarul defectelor din esantion (d) nu este mai mare de 13, lotul se accepta, iar daca este mai mare, se respinge.

II.3. Planuri de control secvential

Caracteristic pentru controlul secvential este faptul ca numarul unitatilor care se controleaza nu este dinainte stabilit, decizia fiind luata dupa verificarea fiecarei unitati.

Cele trei decizii probabile ce pot fi luate folosind criteriul raportului probabilitaatilor sunt:

-acceptarea lotului, cand: ;

-respingerea lotului, cand: ;

-continuarea controlului, in situatia in care:

unde: -P_1,n -probabilitatea ca esantionul de marimea n sa contina d rebuturi in ipoteza ca lotul contine D₁ rebuturi, adica P£P₁;

-P_2,n -probabilitatea ca esantionul de marimea n sa contina d rebuturi in ipoteza ca lotul contine D₂ rebuturi, adica P³P₂.

Raportul probabilitatilor se calculeaza dupa fiecare extractie, deci n ia valori succesive incepand cu 1. Calcularea raportului de probabilitate dupa fiecare unitate extrasa si controlata face incomoda aplicarea practica a planului. Pentru luarea mai rapida a deciziilor se calculeaza numerele specifice de rebuturi in functie de care se ia decizia, si anume: numarul de exemplare A_n si numarul de respingere R_n cu relatiile:

A_n=rn+h₁; R_n=rn+h₂

unde: ; ;

Pentru orice numar "n" de produse extrase, se stabileste numarul efectiv de rebuturi d care se compara cu A_n si R_n, iar decizia se ia astfel:

-daca d£A_n, lotul se accepta'

-daca d³Rn, lotul se respinge;

-daca A_n<d<R_n se continua controlul,

Parametrii A_n si R_n se modifica liniar, in functie de variatia marimii n a esantionului, fapt ilustrat de fig. 1. Acest lucru se datoreaza faptului ca P₁, P₂ a si b sunt constante pentru un plan de control, rezultand astfel ca si r, h₁ h₂ ale unui plan de control secvential sa fie constante.

In practica se utilizeaza cu succes metoda grafica pentru luarea deciziilor privind receptia loturilor de produse. Metoda consta in aceea ca dupa fiecare unitate extrasa se figureaza pe grafic cate un punct cu abscisa corespunzatoare numarului de unitati controlate n si ordonata corespunzatoare numarului de rebuturi d gasite printre cle n unitati. Evident ca produsele corespunzatoare primelor unitati se afla de obicei in domeniul de continuare al controlului. Verificarea continua pana cand punctele de coordonate (n,d) se situiaza fie in domeniul de acceptare , fie in domeniul de respingere.

Aplicatie

Se contoleaza loturile unui produs "zahar". Loturile au greutatea de pana la 10000 kg, produsul fiind ambalat in pachete de 500g. Partile contractante au stabilit ca procesul de receptie sa fie efectuat prin controlul statistic, asupra caracteristicii "greutatea pachetului", care trebuie sa fie 500 Conditiile contractuale prevad si valorile fractiunilor defecte si ale riscurilor, astfel: P1=0,04; P2=0,10; a b=0,10. Se cere sa se determine

Calculam:

Rezulta ca ecuatiile de acceptare si respingere sunt:

A_n=0,0658n-2,29529

R_n=0,0658n+0,706695

Daca se reprezinta grafic cele doua ecuatii se obtinediagrama de control. Efectuand controlul unui lot s-au identificat ca fiind necorespunzatoarele pachetele 10, 17. (fig. 2)

Verificarea prin regula scorului

Reprezinta o varianta a controlului secvential. Pornind de la expresiile deciziilor de acceptere si respingere:

d£A_n=rn+h₁

d³R_n=rn+h₂

pentru a scoate in evidenta, pe de o parte, numarul produselor bune g=(n+d) , iar pe de alta parte, pentru a se obtine in stanga celor doua inegalitati o aceeasi expresie, se scriu ecuatiile de decizie in urmatoarea forma:

, pentru acceptare

, pentru respingere.

Deci parametrii de control sunt:

Controlul se efectueaza astfel: din lotul prezentat la receptie se extrage un produs; daca este corespunzator calitativ se adauga cifra 1 la marimea , iar daca este rebut se scade marimea din . Procedeul se repeta pana cand se obtine o cifra mai mare decat , caz in care lotul se accepta, fie un numar negativ, caz in care lotul se respinge. Indicatorul se numeste handicap.

Aplicatie

II. 4. Truncherea controlului secvential

Pentru accelerarea procesului decizional in legatura cu calitatea unui lot de produse se va limita numarul de produse controlate la o valoare superioara n₀, valoare care sa asigure o suficienta siguranta ca dupa verificarea a celor n₀ unitati se vor lua decizia finala de acceptare sau respingere.

Conditia ca dupa verificarea produsului cu numarul de ordine n₀ controlul sa se incheie prin acceptare este:

Notand cu n' -numarul unitatilor de control necesar pentru luarea deciziei finale si cu P₁(n'£n₀) probabilitatea ca, in cazul cand este adevarata ipoteza H₁:P£P₁, controlul se incheie dupa verificarea a cel mult n'£n₀. In acest caz probabilitatea de acceptare este:

unde F(z₁) este functia de repartitie normala pentru care se alege in general o valoare egala cu P₀ a furnizorului (de obicei intre 0,95 si 1), iar z₁ este:

unde: m, s sunt parametrii receptiei normale (media si abaterea mediei standard)

si

In mod asemanator se determina si n₀ care asigura , cu probabilitate mare (1-b) respingerea loturilor cand P³P₂.

De data aceasta vom avea:   unde:

in care , iar

Valoarea F(z₂) se alege suficient de mica, iar n₀ se determina din relatia pentru z₂, care se constituie in final ca o ecuatie de gradul II cu necunoscuta n₀. Pentru sporirea preciziei se lucreaza cu n₀ cel mai mare din valorile obtinute: n=max().

Operatiunea de limitare a controlului secvential stabileste un numar maxim de produse controlate pentru luarea unei decizii finale si reprezinta o etapa de lucru intermediara in alcatuirea altor metode de verificare statistica a calitatii loturilor de produse.

Aplicatie

II.5. Planuri de control multiplu

Construirea planului de control multiplu pleaca de la premiza ca s-a efectuat operatiunea de trunchere a controlului secvential. Specific acestui plan de control este faptul ca deciziile nu se formuleaza dupa fiecare unitate extrasa, ci dupa extractia si controlul unor esantioane.

Avantajul principal al acestei variante de control consta in faptul ca duce la reducerea volumului de produse controlate, calculele arata o reducere de pana la 50%.

Parametrii planului de control multiplu sunt:

-n -marimea subesantionului;

-l -numarul subesantioanelor;

-A_ln -numerele de acceptare al subesantioanelor;

-R_1n -numarul de respingere al subesantioanelor.

Decizia finala asupra calitatii loturilor se ia cel mai tarziu dupa cel de al "l"-lea esantion. Pentru determinarea numarului de acceptare si de respingere se procedeaza astfel:

-se determina, in functie de valorile contractuale a b, P₁, si P₂ marimile r, h₁ si h₂ prin relatiile prezentate;

-se calculeaza n₀ maxim prin intermediul operatiunii de limitare a controlului secvential;

-se alege numarul grupelor "l", in functie de posibilitatile de extractie, in practica pentru l se ia 5£l£

-se determina marimea grupului "n" astfel incat sa se indeplineasca conditia l_n >n₀, ca prima aproximare pentru n gasim inegalitatea:

Pentru determinarea mai riguroasa a lui n, se va tine seama in continuare de asigurarea urmatoarelor conditii:

-n₀ sa fie multiplu intreg a lui n, adica n₀≈l_n;

-"n" sa fie egal cu sau, cand este prea mic, sa fie egal cu un multiplu intreg al acestuia (adica n=a);

-h₁ fiind negativ, pentru numarul de acceptare A_n =ρn+h₁ se obtin valori negative pana in momentul cand se realizeaza cel putin ρn+h₁=0, de unde rezulta n_min= sau n_min≈a n, (a=1, 2, .). Indeplinirea acestei conditii -prezinta importanta deoarece asigura luarea deciziei de acceptare chiar dupa controlul primei serii de "n" unitati, careia ii corespunde numarul de acceptare A_n=0;

-se determina numerele de acceptare si respingere A_1n, A_2n, ., A_ln si respectiv R_1n, R_2n, ., R_ln.

Pentru a forta decizia in ultima treapta l, se recalculeaza numerele de acceptare si respingere, astfel incat sa fie indeplinita conditia: R_1n=A_1n+1. Rezulta:

si

Tehnica de control

Se extrage din lot primul esantion format din n elemente. Se controleaza si se identifica numarul de produse necorespunzatoare d₁ care se compara cu A_1n si R_1n. Daca d_1n£A_1n lotul se accepta, daca d_1n³R_1n lotul se respinge, iar daca A_1n<d_1n<R_1n se trece la prelevarea unui nou subesantion (2n).

Se supune controlului subesantionul numarul 2, stabilindu-se d2 care se supune comparatiei:

D_2n£A_2n -lotul se accepta;

D_2n³R_2n -lotul se respinge;

A_2n<d_2n<R _2n se extrage un alt subesantion.

Se continua pana la luarea unei decizii, astfel incat cel mai tarziu in ultima faza se va lua decizia finala, prin compararea numarului cumulat de rebuturi cu numerele de acceptare si respingetre. Daca:

d_1n£A'_ln lotul se accepta;

d_1n³R'_ln lotul se respinge.

Aplicatie

Un gater livreaza loturi de scandura de stejar de 1000 bucati. Caracteristica controlata grosimea unei scanduricare trebuie sa fie 30 mm. Cu ajutorul dispozitiv de masurare, scandurile se clasifica in corespunzatoare si rebuturi. Furnizorul si beneficiarul au convenit ca loturile cu o fractiune defectiva P₁=2% sa fie acceptate cu o probabilitate de 95%, iar loturile cu o fractiune defectiva P₂=5% sa fie acceptate cu o probabilitate de 5%. Se ceresa se intocmeasca schemele de control studiate mai inainte. Se stabilesc marimile h1=-3,5; h2=3,5 si r

Rezolvare

In situatia data ecuatiile de decizie sunt:

A_n=0,03n-0,395

R_n=0,03n+3,07

A caror reprezentare este in fig. 3

Numarul minim pentru luarea unei decizii de acceptare este n_min=|h₁|/r=0,395/0,03=13 unitati pentru care A_n=0

si

, iar

Valoarea n₀ se determina din expresiile de calcul ale marimilor z₁ si z₂ astfel

unde z₁=1,97, deoarece Φ(z₁)=0,95

sau sau

sau

daca notam n₀=x² si se obtine:

x₁=203.973

x₂=-10,6

deci n₀=x²=41604

Respectiv in functie de riscul beneficiarului si P₂

iar pentru z₁=z₂=1,97, rezulta ecuatia

sau

Daca se notyeaza n₀=y² rezulta:

de unde rezulta

y₁=18.l66

astfel rezulta ca n₀=y²=330

Dintre cele doua valor n₀ retinem valoarea maxima, deci n₀=41604

II.6. Planuri de control secvential pentru loturi mici

In practica sunt dese cazurile cand loturile de produse supuse controlului sunt de volum mic. In general, specialisti au cazut de acord ca loturile "mici" au N<5000 unitati.

Sub raport probabilist, prelevarea produselor nu mai reprezinta evenimente independente, deci nu se mai poate utiliza modelul binomial sau Poisson in vederea construirii schemelor concrete pentru controlul loturilor, ci se va utiliza modelul hipergeometric.

Fie un lot de volum N ce contine D₁ rebuturi, probabilitatea ca esantionul de volum n: x₁, x₂, ., x_n sa contina d produse necorespunzatoare, se stabileste astfel:

Pentru calculul probabilitatii ca lotul sa contina numarul tolerat de rebuturi D₂ se foloseste relatia:

In continuare se procedeaza ca la planul secvential al loturilor mari, se determina raportul probabilitatilor conform testului Wald: P_2n/P_1n, raport care se compara pentru luarea deciziei, cu numerele de acceptare si respingere. Cele trei conditii pentru luarea deciziei sunt:

-conditia de acceptare a ipotezei H₁:P£P₁ deci a lotului

-conditia de acceptare a ipotezei H₂:P³P₂ si implicit a incheierii controlului prin respingerea lotului supus receptiei

-conditia de continuare a controlului

Este necesara intr-o asemenea situatie extragerea unei noi unitati si recalcularea raportului probabilitatilor.

Pentru aducerea testului in stadiul probabilitatii de operare practica, se procedeaza la liniarizarea expresiilor rapoartelor de probabilitati, permitand astfel utilizarea diagramei de control ca mijloc practic de lucru in procesul de receptie.

In urma operatiilor aritmetice se obtin ecuatiile dreptelor de acceptare si respingere, care au relatiile:

Dreptele se intersecteaza in planul (n, d), deoarece coeficientii unghiulari nu mai sunt egali, ca in cazul modelului binomial.

Ordonata punctului de intersectie este:

Stiind ca D₁=NP1 si D₂=NP₂, relatia devine:

Daca volumul lotului este N>100, iar fractiunile defective P₁£0,1, P₂³0,2, atunci relatia de mai sus devine:

Deci punctul de intersectie al dreptelor de acceptare si respingere are ordonata dn, iar abscisa N. Reprezentarea grafica este prezentata in fig. 2.

Se realizeaza pornind de la ecuatiile de acceptare si respingere si egaland dn=0. Deci, intersectiile cu axele sunt:

;

Se poate observa ca d_n>D₁ se asigura indeplinirea conditiei . Altfel spus, dreapta d_n=D₁=NP₁ este o alta limita de respingere, care trunchiaza controlul, grabind decizia in cazul cand calitatea productiei este necorespunzatoare.

Aplicatie