Angrenaje Conice

Angrenaje Conice

Notiuni Generale

ngrenajele conice sunt angrenaje cu axe concurente la care suprafetele de rostogolire au forma conica si sunt tangente dupa o generatoare comuna, iar suprafetele exterioare ale rotilor componente au aceeasi forma ca si suprafata de rostogolire, adica suprafete conice.

Intre axele suprafetelor de rostogolire si generatoarea comuna se stabilesc unghiurile , unghiuri a caror suma reprezinta unghiul intre axele de transmitere a miscarii, unghi notat ∑.

Fig. 2.1

In cazul in care unul din aceste unghiuri este de 90^o, conul respectiv se transforma intr-o suprafata plana, dantura fiind inscrisa intr-un cerc pe aceasta suprafata. Angrenajul capata in aceasta situatie denumirea de angrenaj conic cu roata plana

Roata plana in angrenajul conic corespunde cremalierei din angrenajul cilindric, ea fiind intermediara intre roata conica cu dantura exterioara si cea cu dantura interioara.

   Din punct de vedere geometric, dantura angrenajului conic corespunde unor suprafete conjugate definite conform teoriei angrenarii, dar studiul acestor suprafete pune o serie intreaga de probleme a caror rezolvare nu se face absolut exact din punct de vedere matematic, ci folosind o serie de aproximatii pentru a se stabili o metodologie de calcul mai larg accesibila si, totodata, pentru asigurarea posibilitatii de executie.

   Din punct de vedere cinematic, problema care se pune este de a determina prin calcul dimensiunile danturii si limitele intre care exista posibilitatea de generare a suprafetelor conjugate ale dintilor. Acest studiu al angrenajului conic prezinta o serie de dificultati, dat fiind faptul ca suprafetele de rostogolire (axoidele) sunt suprafete conice si ca cele doua cercuri de rostogolire ale bazei axoidelor nu se gasesc in acelasi plan (fig. 2.2

Datorita acestui fapt nu se poate aplica direct teoria angrenarii, dezvoltata pentru angrenarea in plan, in vederea determinarii caracteristicilor danturii. Evident, prin metodele geometriei diferentiale este posibil studiul teoretic al acestui tip de angrenare, dar relatiile de calcul sunt complicate, ceea ce nu le confera o utilitate imediata fara programe de calcul foarte bine puse la punct.

O alta cale de studiu a fost ca, prin analogie cu angrenarea in plan, sa se dezvolte o geometrie a angrenarii teoretic exacta, plecand de la incadrarea suprafetelor conice intr-o sfera si aplicand formulele trigonometriei sferice (fig. 2.3), profilul dintelui rotilor conice rezultand dupa o evolventa sferica.

Dintele rotii plane obtinute in acest caz nu are insa profil rectiliniu, ci unul cu punct de inflexiune, ceea ce reprezinta complicatii constructive in ceea ce priveste realizarea sculelor (fig. 2.4

Fig. 2.4

Tolerantele pentru angrenajele conice sunt stabilite prin STAS ; ele se aplica la angrenaje conice concurente cu roti dintate metalice prelucrate, cu dinti drepti, inclinati sau curbi, avand diametrul de divizare pana la 2000mm si modulul exterior de la 1 pana la 30mm.

     Sunt prevazute 12 clase de precizie, fara a prevedea tolerante pentru clasele de precizie si

     Fiecare clasa de precizie este determinata de criteriile de precizie cinematica a rotii, de functionarea lina in angrenare, de contactul dintre dinti.

     Fiecare criteriu de precizie este caracterizat prin anumite erori si abateri ale elementelor rotilor dintate conice si a angrenajelor, denumite indici de precizie

     In alegerea criteriilor de precizie se admite si combinarea lor, avand tolerante din diferite clase de precizie, respectandu-se unele reguli. Astfel, criteriul de functionare lina nu poate sa difere decat cu o clasa de precizie in sus sau in jos fata de criteriul de precizie cinematica.

     Criteriul de contact dintre dinti nu poate fi de clasa mai putin precisa decat clasa de precizie a criteriului de functionare lina a rotii in angrenaj.

Forma rotilor

Fig. 325-2(ab)

Fig. 325-2(cd) si 325-3(a)

Fig. 325-3(bc) si 325-4(abcd)

In fig. 325-2a este reprezentata o roata conica cu un diametru mic, care nu are inima.

In fig. 325-2b este reprezentata o roata conica, taiata dintr-o bucata cu arborele.

In fig. 325-2c este reprezentata o roata conica constituita din semifabricate sudate.

In fig. 325-2d este reprezentata o roata conica la care coroana dintata este constituita dintr-un alt material, pentru economie de otel aliat.

Rotile se asambleaza cu arborii prin pene longitudinale caneluri sau prin presare

Forma dintilor

     Roti plane cu dinti ale caror flancuri sunt plane

     Roti conice cu dinti drepti (cremaliera circulara cu dinti drepti)

     Roti conice cu dinti inclinati (cremaliera circulara cu dinti inclinati)

     Roti conice cu dinti curbi (cremaliera circulara cu dinti curbi)

      Angrenajul conic cu dantura evolventa se numeste angrenaj paloid

      Angrenajul conic cu dantura epicicloida se numeste angrenaj eloid

La aceste doua angrenaje, inaltimea dintelui este constanta, dintii cremalierei circulare fiind marginiti in sens axial de doua plane paralele cu roata plana.

Functiunea

Angrenajul cu roti conice transmite puterea nominala P_1n de la un arbore conducator ) cu turatia n₁ la un arbore condus ) cu turatia n₂, axele celor doi arbori fiind concurente (in general, unghiul axelor este de 90^o).

Contactul perfect si rigid intre dintii unui angrenaj conic cu dinti drepti sau inclinati, al carui cremaliera circulara are flancurile plane, se face dupa o dreapta; intre dintii curbi, contactul perfect si rigid se face dupa o curba

Roata ( ) actioneaza asupra rotii ( ) prin forte normale si tangentiale fata de flancurile dintilor in contact, repartizate de-a lungul contactului. Repartizarea este proportionala cu deformatiile elastice ale dintilor in contact, care variaza proportional cu distanta pana la varful comun al conurilor primitive; rezulta o repartizare trapezoidala a fortelor normale si tangentiale pe lungimea contactului. Rezultantele F_n si F_n ale acestor forte sunt aplicate intr-un punct deplasat spre periferia rotilor fata de punctul median. Directia acestor forte variaza de-a lungul arcului de angrenare descris de punctul lor de aplicatie. In calculele obisnuite se considera, cu o aproximatie neglijabila, ca punctul de aplicatie se gaseste in mijlocul liniei de contact si se neglijeaza variatia orientarii.

Caracteristici

Angrenajul cu roti conice este mai scump decat angrenajul cu roti cilindrice. Prelucrarea si montajul trebuie sa fie supravegheate mai atent. Din cauza greselilor de montaj, a prelucrarii sau a deformatiei in functionare, se produce o deplasare a varfurilor conurilor primitive; contactul rigid devine punctual, cel real (elastic) se produce intr-o zona in vecinatatea punctului de contact rigid; se produc concentrari de sarcini, vibratii si zgomot. Pentru corectarea acestor erori inevitabile, dintii se fac bombati, ca si la angrenajele cilindrice.

Domenii de aplicare

Se folosesc in constructia de masini, unde este nevoie sa se transmita miscarea intre doi arbori concurenti (cel mai des intre doi arbori care fac intre ei un unghi de 90^o).

Rotile conice cu dinti drepti se folosesc pentru viteze periferice mici (23m/s); la viteze mai mari se folosesc rotile cu dinti curbi, asigurand un mers mai linistit. Se folosesc in mod obisnuit pentru rapoarte de transmitere pana la i = 6.

Tehnologie

La masinile de danturat roti conice, muchia cutitului de taiat se misca in pozitia finala, de-a lungul flancului dintelui cremalierei circulare, materializand astfel acest flanc. Roata conica executa miscarea relativa de rostogolire fata de cremaliera circulara. Se obtine astfel flancul dintelui rotii conice ca infasuratoare a flancului dintelui cremalierei. Se pot obtine roti conice cu cremaliera circulara deplasata fata de pozitia normala. Spre deosebire de angrenajele cilindrice, nu se pot obtine decat angrenaje conice de zero

Studii teoretice

Relatiile geometrice si cinematice

Notatiile utilizate sunt aratate in fig. ; se deduc urmatoarele relatii:

a) raportul de transmitere

(

b) unghiurile de varf ale conurilor de rostogolire:

Pentru cazul cel mai obisnuit:

c) lungimea generatoarei comune

d) lungimea dintilor L; se noteaza:

Coeficientul de alungire a dintilor λ se alege dupa recomandari.

e) diametrul mediu D_m este:

f) modulul mediu m_m. Se noteaza cu m modulul masurat pe cercul exterior: m=D/z, rezulta:

Angrenaje de inlocuire

Mergand pe linia celor aratate anterior, s-a cautat o aproximatie care sa dea erori de calcul admisibile si care sa permita un calcul al danturii conice bazat pe sistemul cunoscut de calcul al angrenarii danturii evolventice in plan.

Un astfel de calcul se poate face prin aplicarea metodei angrenajului de inlocuire, numita si aproximatia lui Tredgold

In acest caz, studierea rotii plane se face prin inlocuirea suprafetei sferice cu o suprafata cilindrica, suprafata ce poate fi desfasurata, iar pentru studierea angrenajului conic se inlocuieste suprafata calotelor sferice, ce reprezinta baza axoidelor, prin cate o suprafata conica numita con suplimentar

Cele doua suprafete conice au ca baza cercurile de rostogolire ale rotilor conice si generatoarele lor sunt tangente la sfera, in timp ce generatoarele ce trec prin polul angrenarii P, respectiv si , se confunda cu generatoarea cilindrului amintit.

In acest fel, prin desfasurarea cilindrului si a conurilor de inlocuire O₁PP₁ si O₂PP₂ se obtine o angrenare in acelasi plan a doua roti cilindrice, cu razele rotilor r^'₁ si r^'₂, numite roti de inlocuire

Evident, desfasurand cilindrul si cele doua suprafete conice se obtine o situatie echivalenta angrenarii conice, iar studiul angrenajului conic se transforma (cu oarecare aproximatie) in studiul unui angrenaj cilindric, utilizand relatiile din angrenarea in plan.

Aproximarea consta in faptul ca, in realitate, profilul de pe sfera al danturii conice nu corespunde exact cu cel de pe suprafata conica, ceea ce duce la unele diferente intre valorile calculate si valorile reale obtinute pe dantura (vizibile in special la module mari), distorsiuni ce includ si faptul ca dantura conica nu este evolventica, ci octoidala.

Cu toate aceste diferente, in prezent aceasta metoda de calcul este metoda curent aplicata, data fiind transformarea calculului intr-un calcul de angrenaje in plan si totodata datorita faptului ca include in sine roata plana cu dinti avand sectiune trapezoidala, roata care constituie elementul teoretic fundamental al constructiei masinilor de prelucrat dantura conica prin generare cu rostogolire prin metoda ruletelor.

Din fig. se port determina cateva elemente privind angrenajul conic, elemente necesare in precizarea angrenajului cilindric de inlocuire.

Astfel, raportului de transmitere al angrenajului in cazul cand unghiul intre axe este ∑ = 90^o (angrenaj conic ortogonal) va fi

, (

iar elementele angrenajului de inlocuire, urmatoarele:

- razele rotilor de inlocuire. (

- nr. de dinti al rotilor de inlocuire (

Rotile de inlocuire fiind elemente imaginare de calcul, se lucreaza pentru numerele de dinti de inlocuire cu numerele fractionare reiesite din calcul.

Raportul de transmitere al rotilor de inlocuire va fi:

(

Intrucat    rezulta ca raportul de transmitere al angrenajului de inlocuire, exprimat prin raportul de transmitere al angrenajului inlocuit, este

(

In mod asemanator, utilizand (2.7) si tinand seama de relatia

rezulta numerele de dinti ale angrenajului de

de inlocuire exprimate prin numerele de dinti si raportul de transmitere al angrenajului inlocuit:

Cele mai raspandite angrenaje conice sunt angrenajele ortogonale dar se pot intalni si cazuri cand unghiul intre axe este diferit de 90^o. Un asemenea angrenaj se numeste angrenaj conic unghiular

Utilizand angrenajul de inlocuire se poate determina, pentru un angrenaj conic unghiular, un angrenaj conic ortogonal echivalent, angrenaj ce are profilul dintilor acelasi in sectiunea frontala comuna cu angrenajul conic unghiular dat.

In fig. 2.12 sunt indicate conurile de referinta ale angrenajului conic unghiular, avand unghiurile

unghiul intre axe si raportul de transmitere i.

Generatoarele conurilor suplimentare

sunt ele

fiind razele angrenajului de inlocuire.

Se poate construi un angrenaj conic avand aceleasi generatoare ale conurilor suplimentare si unghiul intre axe (fig. 2.12). Se

noteaza la acest angrenaj unghiurile conurilor de referinta prin

Daca se noteaza raportul de transmitere al angrenajului conic ortogonal echivalent prin i₉₀, tinand cont de relatiile ( ) si ( ) se poate scrie unde, conform (

(

In functie de elementele angrenajului conic unghiular rezulta:

(

Razele pinionului si rotii ortogonale echivalente rezulta din expresiile:

(

Deoarece numarul de dinti este proportional cu razele cercurilor de referinta (cercurile de divizare) se poate scrie:

Aceste formule ( ) au o mare importanta, deoarece permit studierea angrenajului conic unghiular pe baza angrenajului conic ortogonal, valorile si constantele care se aleg pentru proiectare si executie fiind determinate pentru angrenaje ortogonale.

Bazele geometriei angrenajelor conice

Prima problema la determinarea unui angrenaj conic o reprezinta stabilirea conurilor de referinta pentru un unghi intre axe dat, luand in considerare raportul de transmitere al angrenajului.

Fiind vorba de stabilirea elementelor ce determina rotile conice a angrenajului respectiv, evident conurile de referinta vor fi conurile de divizare, acestea fiind si conuri de rostogolire.

Exista diverse situatii in functie de unghiul intre axele angrenajului, situatii ilustrate in fig. 2.1

In cazul angrenajului ortogonal (fig. 2.1-a) daca se noteaza cu R generatoarea comuna, se poate scrie:

Deoarece numarul de dinti este proportional cu razele iar ∑ = 90^o, rezulta de unde relatiile pentru determinarea angrenajului vor fi:

(

Elementele geometrice ale rotii plane vor fi:

raza rotii plane in punctul P (

Cand angrenajul este ortogonal, rezulta:

Numarul de dinti al rotii plane:

unde m este modulul danturii.

Pentru angrenajul ortogonal din relatia 2.17 rezulta:

In cazul angrenajelor unghiulare se poate scrie aceeasi relatie

de unde:

Efectuand calculele, rezulta:

Pentru determinarea numarului de dinti al rotii plane se observa ca si in cazul angrenajului conic unghiular relatiile 2.18 sunt valabile. Inlocuind in relatia cu in functie de , tinand cont de relatia 2.20 si efectuand calculele rezulta:

(

In cazul angrenajului cu roata plana, intrucat este cunoscut unghiul

rezulta imediat

Cazul angrenajului conic cu dantura interioara nu se va mai aborda, dat fiind faptul ca acest tip de angrenaj nu se utilizeaza in practica.

Luand in considerare roata plana, daca examinam figura se observa ca aceasta cuprinde planul imaginar PO (plan de referinta, respectiv plan de divizare si de rostogolire), care se rostogoleste fara alunecare impreuna cu conurile de rostogolire ale angrenajului, dintii rotii plane fiind distribuiti pe cerc si fiind descrescatori in inaltime spre centrul de rotatie, in cazul danturii de inaltime variabila standard.

Fig. 2.13

Pentru dantura conica dreapta, flancurile dintilor rotii plane constituie un fascicol de plane care se intretaie in centrul rotii.

Pasul exterior al danturii P_e se masoara pe cercul exterior de raza R_e.

Marimea pasului pe latimea danturii variaza proportional cu raza, adica P_e = 2πR_e /z₀, iar pe un cerc oarecare

P_x = 2πR_x /z₀ (

Din aceste expresii rezulta:

P_x = P_e ∙R_x /R_e (

deci pasul este direct proportional cu raza.

Exprimand pasul in functie de modul, rezulta:

m_x = m_eR_x / R_e, unde m_e - modulul pe cercul de divizare exterior (

Prin urmare, modulul mediu in punctul P va fi:

m = m_eR/R_e (

In cazul danturii de inaltime variabila standard (la care dreptele de varf si de fund ale dintelui trec prin varful conului de divizare), modulul este proportional cu inaltimea dintelui, deoarece se poate scrie:

R_e /h_e = R_x /h_x, respectiv R_x /R_e = h_x /h_e, de unde:

m_x = m_e ∙ h_x /h_e, respectiv h_x = m_x ∙ h_e /m_e     (

Cu toate ca demonstratiile au fost facute luand in considerare dantura dreapta din figura 2.13, aceste relatii sunt valabile si in cazul danturii conice curbe de inaltime variabila standard.

Exceptie face, in cazul danturii conice curbe prelucrata prin metoda bilaterala, grosimea dintelui si latimea golului, acestea nemaifiind in functie numai de R_x ci si de unghiul de inclinare al dintelui, unghi variabil in lungul dintelui.

Angrenaje conice cu dantura curba in arc de cerc, cu inaltimea dintelui constanta

La rotile conice cu dantura curba si inaltime constanta a dintelui, generatoarele conurilor de cap, de divizare si de picior sunt paralele intre ele, iar dintele rezulta cu aceeasi inaltime pe toata latimea rotii.

Reglajul masinii este mai simplu in acest caz decat la rotile cu inaltimea dintelui variabila, din motive de cinematica a generarii.

Aceasta forma, avantajoasa din multe puncte de vedere, prezinta ca dezavantaj o subtaiere si o ascutire mai pronuntata a dintelui la capatul dinspre interiorul rotii plane de referinta, la pinioanele cu numere mici de dinti.

Eliminarea efectului negativ al acestei subtaieri poate fi realizata printr-o deplasare judicios aleasa a profilului dintelui.

In legatura cu aceasta, dantura de inaltime constanta se recomanda a fi utilizata in limitele:

in care:

k_b - coeficientul latimii danturii;

b - latimea coroanei dintate;

R_e - lungimea generatoarei exterioare a conului de divizare;

z₁ - numarul de dinti al pinionului;

z₀ - numarul de dinti al rotii plane de referinta.

Principala proprietate a acestui tip de dantura - reglaje mai simple si scule mai universale - o fac utilizabila la unicate si serie mica, dar in egala masura este folosita si in productia de mare serie.

Inaltimea dintelui se determina in functie de modulul normal din punctul mediu al dintelui, cu luarea in considerare a deplasarii profilului, respectiv deplasari radiale de profil egale in valoare absoluta, dar de semn contrar, la cele doua roti ale angrenajului.

Coeficientii deplasarii radiale a profilului (x_r) sunt determinati din conditiile de imbunatatire a angrenarii.

Coeficientii inaltimii capului dintelui (f_a) sunt determinati din conditia lipsei subtaierii la diametrul interior.

De asemenea, pentru stabilirea unor proportii juste ale dintilor se aplica o deplasare tangentiala a profilului (x_t). Acesti coeficienti sunt dati tabelar in cele ce urmeaza.

Verificarea la ascutire se face pentru capatul interior al dintilor prin analiza dintelui rotii cilindrice de inlocuire a rotii conice.

Ca un criteriu la ascutire, se admite grosimea dintelui la varful din interior

Ascutirea dintelui este dependenta de metoda de taiere aplicata, la metoda unilaterala de prelucrare fiind mai predispus la ascutire pinionul, iar la metoda bilaterala roata

Pentru a micsora ascutirea, se recomanda sa se prelucreze dantura cu capete portcutite de diametru relativ mic, r_CPC < R, unde:

r_CPC - raza nominala a capului portcutite;

R - lungimea medie a generatoarei conului de divizare.

In caz de ascutire a dintelui, in zona spre interior se poate face o fateta la varful dintilor.

Inaltimea fatetei (cat se intra in varful dintelui) se admite mai mica sau egala cu unde h_a - inaltimea capului dintelui.

Pentru verificarea subtaierii se apeleaza la figura 2.49 unde s-au facut urmatoarele notatii:

h_f - inaltimea piciorului dintelui rotii de verificat la ascutire (respectiv inaltimea capului dintelui rotii plane);

δ - semi unghiul la varf al conului de divizare al rotii;

- axa instantanee de rotatie (miscarea relativa intre roata plana si roata conica);

- axa rotii conice de prelucrat.

Muchia taietoare a sculei este si ea matura suprafata laterala a dintelui rotii plane (suprafata hasurata in figura 2.49

este distanta de la axa rotii plane la punctul P_y corespunzator pozitiei in care vrem sa facem verificare.

- dreapta care limiteaza capul dintelui rotii plane fara a da interferente.

β_y - unghiul de inclinare a danturii in punctul unde se face verificarea.

In figura 2.49a este data schema de calcul pentru determinarea subtaierii in cazul rotii conice, iar in figura 2.49b pentru analogie in cazul rotilor cilindrice

a    b

Fig. 2.49

Din figura 2.49a se pot scrie urmatoarele:

din care rezulta:

Din relatiile rezulta (

iar din relatiile si

Pentru flancul opus α_n are in calcule semn contrar.

Rezulta ca pentru evitarea subtaierii, piciorul dintelui rotii trebuie sa fie mai mic decat valoarea calculata cu formula 2.73, in care sin v se determina cu relatia 2.72, calculat in doua cazuri, respectiv pentru +α_n si -α_n.

Verificarea la ascutirea dintelui se face pe roata cilindrica inlocuitoare a rotii conice in sectiunea dorita.

Pentru aceasta se stabilesc urmatoarele notatii:

- unghiul de angrenare in punctul de intersectie a evolventelor flancurilor dintelui;

α_y - unghiul de angrenare intr-o sectiune oarecare;

- unghiul de angrenare pe cercul de divizare;

s - grosimea dintelui pe cercul de divizare al rotii de inlocuire;

d - diametrul de divizare al rotii de inlocuire;

d_a - diametrul exterior al rotii de inlocuire;

s_y - grosimea dintelui intr-o sectiune oarecare;

s_v - grosimea dintelui la varf pe cercul exterior al danturii.

Grosimile s_y si s_v se determina cu relatiile:

Intrucat

inlocuind se obtine:

Rezulta:

Exemplu de calcul al unui angrenaj cu dantura conica in arc de cerc, cu inaltimea dintelui constanta

Elementele cunoscute initial:

     Numarul de dinti al pinionului si rotii z₁ = 27 ; z₂ = 48

     Unghiul intre axele angrenajului

     Modulul frontal la diametrul mare    m_t = 4

     Unghiul de inclinare al spirei pe cercul mediu al rotii plane β = 35^o

     Unghiul de angrenare in sectiune normala    α_n = 20^o

Desenul angrenajului si notatiile corespund cu figura 2.53

Valorile necesare pentru a fi marcate pe desenele de executie sunt indicate in tabelul 2.6

Punctele 16 din tabelul 2.6, corespund datelor initiale ale angrenajului, iar punctele 713 corespund valorilor calculate conform tabelului 2.5, in tabelul 2.7

Fig. 2.53

Tabelul 2.6 Indicarea elementelor danturii pe desen

Tabelul 2.7 Exemplu de calcul a danturii in arc de cerc cu inaltimea constanta a dintelui

Tabelul 2.7 continuare

Tabelul 2.7 continuare

for a better world