Comportamentul optim al agentului consumator - modelul dinamic

Comportamentul optim al agentului consumator - modelul dinamic

Exemplul 1:

Se considera ca agentii economici consumatori determina cantitatea pe care o vor consuma dintr-un cos de bunuri atat in momentul prezent (notat cu 1) si intr-un moment viitor (notat cu 2), precum si economiile pe care le vor face in prezent. Functia de utilitate are urmatoarea forma :

unde U(C_i) reprezinta utilitatea adusa de consumul C_i. C_i este consumul agregat din perioada i. δ reprezinta o rata de actualizare subiectiva a utilitatii viitoare si are o valoare pozitiva. Cu cat δ este mai mic, cu atat consumatorul acorda o importanta mai mare consumului din a doua perioada.

Consumatorii tin cont de veniturile pe care le obtin in fiecare moment de timp si de nivelul preturilor asociat acelui cos de bunuri. Acestea sunt variabile pe care nu le poate influenta. Ca urmare, consumatorii au cate o restrictie bugetara pentru fiecare moment:

unde     E - economii ; r - rata nominala a dobanzii. Deoarece veniturile sunt exogene, in momentul curent consumatorii au de facut urmatoarea alegere: sa consume mai mult si, ca urmare, sa faca economii mai mici ceea ce ii va reduce consumul viitor sau sa mai mult si, ca urmare, sa faca economii mai mari ceea ce ii va creste consumul viitor. Consumatorii pot folosi mai mult decit ceea ce le permite venitul curent daca apleaza la credite, adica in prezent nu fac economii ci se imprumuta .

Fie functia de utilitate :

Se cere:

a)      Stabiliti in ce conditii consumul prezent este mai mare decat consumul viitor ()?

b)      Calculati si .

c)      Calculati economiile realizate si stabiliti conditiile necesare pentru ca E1>0.

d)      Ce efect are asupra consumului curent o crestere a ratei dobanzii nominale?

a)     

Matematic, problema dinamica de optim a consumatorului se scrie astfel:

Modul de rezolvare al problemei de optim ar trebui sa fie acelasi ca si in cazul modelului consumatorului static numai ca in acest caz avem doua restrictii bugetare. Avem doua optiuni: i) putem folosi doi multiplicatori Lagrange sau ii) putem transforma cele doua restrictii in una singura si astfel sa folosim un singur multiplicator Lagrange ca si in cazul problemei statice.

Alegem varianta ii):

In acest fel, problema de optim a consumatorului devine:

O vom rezolva ca si in cazul consumatorului static:

Conditii de optim :

, unde π este rata inflatiei, i este rata reala a dobanzii

In cele de mai sus am folosit faptul ca raportul a doi indici de preturi este 1+ rata inflatiei adicasi relatia lui Fisher pentru legatura dintre rata nominala de dobanda si rata reala, adica. S-a notat cu c ritmul de crestere al consumului.

Din relatia 4 se pot trage urmatoarele concluzii:

daca i>δ     => rata dobanzii mai mare decat coeficientul de actualizare al utilitatii conduce la o scadere a consumului in prima perioada si la translatarea acestuia in a doua perioada. Consumatorul prefera sa economiseasca in prima perioada o parte din venitul V1 si sa o aloce consumului din a doua perioada => C₂>C₁

daca i=δ     => C₂=C₁

daca i<δ     => C₂<C₁

b) Inlocuind in restrictia de buget relatia (4) dintre consumurile din cele 2 perioade se ajunge la :

,

c) Introducand in prima restrictie de buget rezultatele anterioare se obtine valoarea economiilor:

E₁>0 este echivalent cu:

unde v este ritmul de crestere al veniturilor.

Folosind relatia (4) de mai sus obtinem: . Consumatorii fac economii daca ritmul de crestere a consumului este mai mare decat ritmul de crestere al veniturilor, adica fac economii pentru a-si sustine consumul viitor. Desigur E₁0, adica consumatorii apleaza la credite daca - ritmul de crestere al consumului este mai mic decat ritmul de crestere al venitului.

d) pentru a raspunde la aceasta intrebare vom determina senzitivitatea consumului curent la modificarea ratei dobanzii adica vom calcula , adica relatia dintre consumul curent si rata dobanzii este negativa. Cum se poate explica economic acest rezultat? Sa presupunem ca rata dobanzii creste, consumatorii vor prefera sa economiseasca in prezent. Cum venitul din perioada curenta este fixat, consumatorii nu au alta solutie decat sa isi reduca consumul.

Exemplul 2:

Consideram ca agentii economici consumatori au un orizont de previziune de 2 perioade, iar functia de utilitate are urmatoarea forma

unde l₁ este timpul lucrat in prima perioada, iar l₂ este timpul lucrat in cea de-a doua perioada. Timpul lucrat este exprimat ca o fractiune din timpul total (1 sau 100%). Ca urmare, 1-l_i reprezinta timpul liber din perioada i.

Se observa ca utilitatea consumatorului depinde atat de cantitatea consumata din cosul de bunuri cat si de timpul liber de care dispun consumatorii. Restrictia bugetara va evidentia faptul ca, in aceasta problema, consumatorii nu au de ales numai intre cat sa consume in prezent si cat sa consume in viitor, dar au de ales pentru fiecare moment de timpul liber pe care il doresc. Cu cat au mai mult timp liber, utilitatea lor creste, dar muncind mai putin veniturile se diminueaza si au la dispozitie o suma mai mica destinata consumului. Pe scurt, restrictiile bugetare se scriu astfel:

w₁ si w₂ reprezinta salariile pe care agentii consumatori le-ar castiga daca ar munci intreg timpul disponibil. Deoarece ei opteaza sa munceasca doar o fractiune din timpul total (l₁ si, respectiv, l₂) veniturile incasate de ei sunt w₁l₁ si respectiv w₂ l₂.

Pentru functia de utilitate se cere:

a)      Determinati C₁, C₂

b)      Calculati E₁ si stabiliti conditiile necesare pentru ca E₁>0

a)

Matematic problema de optim se scrie:

Transformam cele doua restrictii bugetare in una singura:

In aceste conditii problema de optim devine:

Se scrie Lagrangeanul:

Prin derivare se obtin conditiile de optim:

Impartind (12) la (13) si (14) la (15) se obtin:

(17) si

(18)

Impartind (12) la (14) rezulta

(19)

Inlocuind C₂, l₂ si l₁ din (17), (18) si (19) in (16) se obtin C₁ si C₂:

,

Probleme propuse

Refaceti exemplul 1 pentru cazul in care functia de utilitate este .

Pentru modelul dinamic al consumatorului se cunoaste functia de utilitate intertemporala: , rata nominala a dobanzii este r, rata inflatiei este , iar rata de crestere a veniturilor este egala cu . Se cere:

a) sa se exprime indicele de crestere a consumului optim in functie de rata reala de dobanda si de elasticitatea functiei de utilitate.

b) sa se stabileasca volumul optim al economiilor.

c) sa se discute semnul volumului optim al economiilor in functie de parametrii modelului. Interpretare economica.

Se cunoaste faptul ca utilitatea individului consumator este modelat prin functia de utilitate CRRA :, venitul disponibil al consumatorului in cele doua perioade este V₀, respectiv V₁. Pretul bunurilor care fac obiectul consumului sunt p₁, respectiv p₂. Individul consuma cantiatea C₀ in momentul 0 si C₁ in momentul 1, iar in momentul 1 face economii in valoare de E.

Cunoscand faptul ca aversiunea relativa la risc a individului consummator este :

a) Sa se descrie problema de optimizare intertemporala si sa se deduca functiile de cerere pentru bunuri si servicii in momentele 0 si 1.

b) Sa se studieze semnul economiilor.

Agentii consumatori din economie isi fundamenteaza consumul de bunuri perisabile (Cp) si consumul de bunuri duarbile (Cd) pentru momentul prezent (notat cu 1) si momentul viitor (notat cu 2). Functia de utilitate intertemporala este data de:

Restrictiile consumatorului in cele doua perioade sunt:

Unde este pretul bunurilor perisabile, iar este pretul bunurilor durabile. Restul variabilelor au notatiile consacrate. Sa se determine:

a) consumul de bunuri perisabile si durabile din fiecare perioada;

b) economiile facute de consumatori;

c) care este efectul modificarii ratei dobanzii asupra economiilor?

Consideram un consumator care traieste doua perioade, perioada 0 si perioada 1. Utilitatea lui este data de functia:

Unde C este cantitatea consumata dintr-un cos de bunuri, iar l este munca depusa de consumator. Restrictiile bugetare in cele doua perioade sunt:

Unde p este indicele preturilor pentru cosul de bunuri, w este salariul real, iar S economiile.

a)      In ce conditii consumul si munca sunt stationare ()?

b)      Se stie ca . Sa se determine consumul si munca in cele doua perioade si economiile.

6. Se considera urmatorul model dinamic pentru consumator:

Se considera ca inflatia anticipata este constanta si egala cu . De asemenea, rata de crestere a venitului este constanta si egala cu v.

a) sa se determine restrictia de buget intertemporala;

b) sa se determine conditia de optim intertemporala. In ce conditii consumul este stationar?

?

c) in conditiile in care consumul este stationar sa se determine si . Discutie.

d) sa se determine traiectoria optima a consumului .

R:

a)

b)

c)