Teoria jocurilor

Teoria jocurilor

Strategii dominante si strategii dominate

Sa incepem cu urmatorul joc simplu: consideram doi jucatori, A si B carora li se cere sa scrie pe o foaie de hartie X sau Y. In functie de ceea ce va scrie fiecare, matricea rezultatelor se prezinta astfel:

B

X Y

A X

Y

Cifra din stanga corespunde castigului jucatorului A, iar cea din dreapta castigului jucatorului B. Astfel, daca A scrie X el va obtine 2 daca B scrie tot X si 0 daca B scrie Y. Aceasta matrice descrie complet jocul, in sensul ca arata numarul de jucatori, strategiile pe care acestia le au la dispozitie, ca si castigurile corespunzatoare diferitelor tipuri de strategii. Matricea castigurilor se mai numeste si forma strategica a jocului, intrucat descrie relatia dintre combinatiile de strategii posibile si castigurile aferente.

In acest joc, daca A scrie X, el poate castiga 2 sau nimic, pe cand daca scrie Y poate castiga 3 sau 1. Daca este iubitor de risc, el poate castiga mai mult cu strategia Y decat cu X. Daca este adversar la risc, el pierde mai putin cu strategia Y decat cu X. Indiferent de profilul sau psihologic, el va alege Y. Acelasi rationament il putem face si pentru B. In consecinta, atat A, cat si B vor scrie Y, aceasta fiind solutia jocului, in ipoteza ca jucatorii sunt rationali. Spunem ca Y este strategie dominanta, iar X este strategie strict dominata.

In general, vom spune ca o strategie este strict dominanta daca permite obtinerea unor castiguri superioare oricaror altor strategii, indiferent de strategiile alese de celalalt jucator. In cazul in care castigurile sunt mai mari sau egale, strategia este dominanta.

Solutia jocului (Y,Y) nu este insa optima in sensul lui Pareto deoarece daca ambii jucatori ar scrie X castigul ar fi mai mare. Solutia (X,X) nu este insa un echilibru stabil, intrucat fiecare jucator stie ca-si poate mari castigul daca joaca Y.

Un exemplu de astfel de joc este modelul Cournot.

Matricea oligopolului: a coopera sau a nu coopera?

Daca A si B coopereaza, fiecare va produce jumatate din productia pietei, deci va castiga 1,3 miliarde de lei profit. Dar atat A, cat si B stiu ca daca produc trei sferturi din piata, pot obtine 1,5 miliarde de lei profit. Deci combinatia (1/2QA+1/2QB) nu este un echilibru stabil, pentru ca firmele sunt tentate sa produca mai mult. In schimb, la o productie de 3/4 din piata fiecare, nici A, nici B nu au motive sa modifice productia, deoarece aceasta actiune ar presupune un profit mai mic.

Acest joc simplu evidentiaza ca, in absenta unui "comisar al preturilor", concurenta si adoptarea descentralizata a deciziilor nu conduce la o situatie de optim paretian.

Ce se intampla in cazul in care nu exista o strategie strict dominanta? Alegerea strategiilor se va face eliminarea treptata a strategiilor strict dominate. Pentru a intelege, sa complicam un pic jocul de la care am pornit. Sa presupunem acum ca A are posibilitatea sa scrie X, Y sau W. Matricea castigurilor se prezinta astfel:

B

X Y

A X

Y

W

Pentru jucatorul A, strategia X este strict dominata de Y. Dar Y nu mai este dominanta, pentru ca daca B joaca X, A poate sa obtina un castig mai mare cu W (4). Dar B nu va juca niciodata X, pentru ca, pentru el X ramane o strategie strict dominata (poate obtine 2 sau 0, pe cand cu Y poate obtine 3 sau 1). Prin urmare putem elimina coloana din dreapta a matricei. Prin urmare A stie ca B va juca Y si va alege si ea tot Y, aceasta fiind solutia jocului. Sa observa ca acest joc se bazeaza pe o informare completa a jucatorilor. Acestia cunosc castigurile lor, castigurile celorlalti jucatori, ceea ce ceilalti jucatori cunosc si modul in care acestia gandesc. Vom spune ca informatia este cunoastere comuna    in sensul ca ea este cunoscuta de toti jucatorii, fiecare jucator stie ca ceilalti stiu s.a.m.d..

Echilibrul Nash

Ce se va intampla in situatia in care nici unul dintre jucatori nu dispune de o strategie dominata? Sa consideram urmatorul joc:

B

X Y

A X

Y

W

Cu X, A poate castiga 1 sau 3, cu Y 2 sau 2, iar cu W 3 sau 1. Suma castigurilor, indiferent de ceea ce ar alege este patru. B cu X poate castiga 1, 2 sau 1, la fel si cu Y. Nash a propus un alt criteriu de alegere decat cel al strategiei dominate, criteriu ce nu mai poate fi evident aplicat in jocul de mai sus. Astfel, un echilibru Nash este o combinatie de strategii realizata astfel incat strategia fiecarui jucator este cel mai bun raspuns la strategiile celorlalti. In jocul nostru, daca A joaca X, cel mai bun raspuns al lui B este Y. Daca A joaca Y, cel mai bun raspuns al lui B este X. Daca A joaca W, cel mai bun raspuns al lui B este din nou Y. Ansamblul celor mai bune raspunsuri a lui B este (Y,X,Y). Pentru A, ansamblul celor mai bune raspunsuri este (W, X). In matricea noastra, strategia (X, Y) este un echilibru Nash si totodata solutia jocului. Astfel pentru ca A joaca doar W sau X, linia a doua dispare. Cu X, B va castiga 1 sau 1, pe cand cu Y 2 sau 2. Evident va juca Y. A stie acest lucru si va alege cel mai bun raspuns, adica X.

Echilibrul Nash corespunde asadar intersectiei ansamblurilor compuse din cele mai bune raspunsuri ale jucatorilor, solutia (X,Y) fiind in cazul nostru singura intersectie.

Echilibrul Nash ridica insa doua probleme: poate sa nu fie unic sau poate sa nu fie deloc.

Astfel, sa consideram urmatorul joc:

B

X Y

A X

Y

In acest joc nu exista un echilibru Nash, intrucat combinatiile celor mai bune raspunsuri nu se intersecteaza, asa cum evidentiaza asterixul. Jocul pare sa nu aiba solutie, totusi, se poate ajunge la un rezultat. Sa presupunem ca fiecare jucator "da cu banul" daca sa scrie X sau Y. Pentru cap va scrie X, iar pentru pajura Y,ceea ce inseamna ca alege la intamplare X sau Y. Fiecare jucator va alege X cu o anumita probabilitate si Y cu o alta probabilitate. X si Y poarta numele de strategii pure, pe cand alegerea probabilitatilor asociate acestor strategii poarta numele de strategie mixta. In exemplul nostru va exista o combinatie de strategii mixte care sa fie un echilibru Nash. Vom nota cu α probabilitatea ca jucatorul A sa joace X si cu β probabilitatea ca jucatorul B sa joace X. Daca A stie ca B va juca X cu probabilitatea β, speranta sa de castig in cazul in care joaca X va fi: β(1)+(1- β)(-1)=2 β-1. Daca alege Y, speranta sa de castig va fi: β(-1)+(1- β)(1)=1-2 β. A nu va accepta sa aleaga la intamplare intre X si Y decat daca speranta sa de castig este aceeasi ceea ce inseamna ca: 2 β-1=1-2 β, de unde rezulta β=1/2. Asemanator, B va accepta sa joace in strategii mixte numai daca α=1/2. In consecinta vom avea pentru A: 1/2X+1/2Y, iar pentru B 1/2X+1/2Y, aceasta combinatie de strategii mixte fiind un echilibru Nash.

Pentru o mai buna intelegere, sa modificam rezultatele jocului astfel:

B

X Y

A X

Y

Se observa cu usurinta ca nici acest joc nu are un echilibru Nash pur, deci trebuie sa apelam la strategiile mixte. Sa spunem ca A alege sa joace X cu probabilitatea α, iar B sa joace X cu probabilitatea β. Speranta de castig a lui A daca joaca X este: 1β+(1-β)0=β, iar daca joaca Y: β0+2(1-β). Pentru ca cele doua sa fie egale vom avea β= β0+2(1-β), de unde rezulta β=2/3. Asemanator α+2(1- α)=4 α+1- α, de unde α=1/4. Echilibrul Nash va fi combinatia de strategii mixte: m₁,m₂, cu m₁=(1/4)X+(3/4)Y si m₂=(2/3)X+(1/3)Y.

Rezulta ca ori de cate ori numarul strategiilor pure este finit va exista cel putin un echilibru Nash.

Ce se intampla insa daca exista mai multe echilibre Nash? Jocul numit "razboiul sexelor" este exemplul celebru de joc care admite mai multe echilibre Nash.

Sa ne intoarcem la Ana si la Dan care doreau sa iasa impreuna in oras. Sa spunem ca Ana doreste sa mearga la film, pe cand Dan prefera sa mearga la restaurant. Fiecare poate alege doua strategii: sa fie ferm pe pozitie, sau sa cedeze. Sa spunem ca matricea rezultatelor se prezinta astfel:

Dan

Ferm Cedeaza

Ana Ferm

Cedeaza

in care cifrele reprezinta aprecierea utilitatii fiecarei actiuni.

Cel mai bun raspuns al fiecarui jucator la actiunile celuilalt este sa fie ferm, daca celalat cedeaza si sa cedeze, daca celalat este ferm. In aceste conditii vom avea doua echilibre Nash, marcate in matrice cu asterix. In consecinta, exista jocuri in care solutia este imposibil de prevazut cu ajutorul echilibrului Nash. Desigur, aici avem la dispozitie din nou strategiile mixte care ne vor conduce la un echilibru unic. Astfel, daca α este probabilitatea ca Ana sa fie ferma, iar β probabilitatea ca Dan sa nu cedeze, in urma exprimarii sperantelor de castig vom obtine:

- β+3(1- β)=2 β+(1- β), de unde β=2/5. Asemanator α=2/5, prin urmare combinatia va fi m₁, m₂, cu m₁=m₂=(2/5)ferm+(3/5)cedeaza.

Plecand de la multiplicitatea echilibrelor Nash, s-au cautat si identificat solutii de selectare a acestora, solutii ce corespund unor cazuri particulare.

De exemplu, R.J Auman (1974) a aratat ca jucatorii isi pot imbunatati situatia daca aleg sa-si coordoneze actiunile in functie de un eveniment aleator: sa spunem ploua sau nu ploua (presupunand ca restaurantul era in aer liber). Sa presupunem ca probabilitatea sa ploua este de 1/2. Ana si Dan incheie urmatoarea conventie: daca ploua merg la film, iar daca nu ploua merg la restaurant. In absenta acestei conventii speranta de castig era 7/5=1,4. Acum fiecare este dispus sa cedeze cu probabilitatea 1/2, ceea ce inseamna ca speranta de castig este: 3x1/2+2x1/2=5/2=2,5, mai mare decat 1,4.

Un acord care consta in a conditiona alegerea de combinatii de strategii care constituie un echilibru Nash de un anumit eveniment aleator poarta numele de echilibru corelat. Se observa ca probabilitatea de producere a evenimentului aleator influenteaza castigurile jucatorilor. Echilibru corelat permite identificarea unei solutii unice in cazul unui joc caracterizat prin mai multe echilibre Nash, daca jucatorii au posibilitatea sa comunice intre ei inainte de adoptarea deciziei. Dar el nu ne spune nimic despre modul in care va fi ales evenimentul aleator.

O alta posibilitate de a alege intre mai multe echilibre Nash este oferita de conceptul de punct focal. Sa presupunem ca Ana si Dan, fara a se cunoaste in prealabil, se intalnesc din intamplare intr-un Internet-caffe, stau de vorba si decid sa se revada. Ei stabilesc sa se revada a doua zi la ora 18, dar uita sa precizeze locul intalnirii. De asemenea, nu fac schimb de adrese sau de numere de telefon. In acest caz, locul intalnirii va fi cu siguranta Internet-caffe-ul. Acest loc este "punctul focal". El este un reper care permite coordonarea actiunilor. Cu toate acestea "punctul focal" poate fi adesea inoperant. De exemplu, sa presupunem ca pe parcursul primei intalniri Ana si Dan au discutat despre cat de mult le place sa manance la KFC. Atunci unul dintre ei poate crede ca celalalt a inteles ca intalnirea va fi la KFC, ceea ce dovedeste fragilitatea coordonarii prin intermediul unui punct focal.

O alta modalitate de a alege printre mai multe echilibre Nash o constituie conventiile. Sa ne intoarcem la razboiul sexelor: daca Dan si Ana sunt sot si sotie, iar in familiile celor doi, de-a lungul mai multor generatii, s-a incetatenit obiceiul ca doamna sa cedeze, acest obicei va juca rolul unei conventii, iar echilibrul va fi (cedeaza, ferm). Conventiile constituie asadar un mijloc de corelare a deciziilor prin imitare. Pornind de la aceasta concluzie, firmele acorda o importanta mare cunoasterii istoricului comportamentului concurentei.

Prin comparatie cu biologia, conventiile pot fi considerate drept consecinta a unui proces evolutiv asemanator celui descris de Darwin. Astfel, indivizii care obtin castiguri mari alegand cele mai bune strategii vor fi imitati de ceilalti jucatori. Conventiile sunt rezultatul unui proces de incercari si de esecuri prin care nici unul dintre jucatori nu mai doreste sa treaca. De aceea ele corespund unor echilibre Nash (nici un jucator nu este incitat sa se abata de la ele). Acest tip de echilibru Nash poarta numele de "stare stabila in evolutie"(evolutionary stable states).

Un alt criteriu se selectie a echilibrului este riscul. Astfel, exista posibilitatea ca o strategie sa fie dominanta din punct de vedere al riscului inn raport cu alta strategie. Sa luam ca exemplu urmatorul joc:

B

X Y

A X

Y

In acest joc, daca A alege X, poate castiga 9 sau pierde 15, pe cand daca alege Y poate castiga 8 sau 7. Se observa ca avem doua echilibre Nash, marcate cu asterix. Din punct de vedere al optimului paretian, alegerea optima ar fi (X,X). Dar A si B pot considera strategia X prea riscanta si atunci aleg Y. Spunem ca strategia (Y,Y) este dominanta din punct de vedere al riscului in raport cu (X,X).