Metode de stabilire a validitatii inferentelor cu propozitii compuse

Metode de stabilire a validitatii inferentelor cu propozitii compuse

1. Metoda matriceala

Aplicarea acestei metode presupune, in primul rand, construirea unui tabel de adevar in a carui baza se inscriu, de sus in jos, toate combinatiile de 0 si 1 pentru variabilele propozitionale din formula data. Daca notam cu k numarul acestor combinatii, k va fi egal cu 2ⁿ, unde n reprezinta numarul variabilelor propozitionale distincte din formula data. Apoi, in coloane distincte de la stanga spre dreapta, se calculeaza valoarea de adevar a fiecarei subformule din structura formulei date, incepand cu cele mai simple, continuand cu cele mai complexe si incheind, in ultima coloana din dreapta, cu insasi formula data.

Sa aplicam aceasta metoda pentru formula:

[(p q (p r (q r r

Daca formulei date ii corespunde, in ultima coloana din dreapta, valoarea 1 pentru oricare din combinatiile din baza matricei, atunci inferenta reprezentata de ea este valida. Daca insa in ultima coloana din dreapta apare si valoarea 0, atunci inferenta reprezentata de ea nu este valida, ci doar realizabila, in timp ce, daca in ultima coloana apare doar valoarea 0, inferenta respectiva este un exemplu de contradictie logica.

2. Metoda deciziei prescurtate

Implicatiile care corespund unor inferente foarte complicate pot contine un numar foarte mare de variabile propozitionale, fapt ce face practic inaplicabila metoda matriceala. Evitand astfel de dificultati, metoda deciziei prescurtate permite stabilirea validitatii acestor inferente pe o cale mai simpla.

Aplicarea metodei deciziei prescurtate se bazeaza pe definitia implicatiei, mai exact pe faptul ca o implicatie adevarata nu admite antecedent adevarat si consecvent fals.

In plus, metoda deciziei prescurtate foloseste proprietatile si legile de posibilitate ale operatorilor aflati in structura formulei analizate pentru a o reduce treptat fie la valoare 1 (daca formula este valida), fie la valoarea 0 (daca nu este valida).

Aplicarea metodei deciziei prescurtate poate lua una din urmatoarele forme:

a) Atunci cand consecventul implicatiei este mai simplu decat antecedentul ei se aleg acele combinatii de 1 si 0 pentru care consecventul acestei implicatii ia valoarea 0. Apoi aceste combinatii sunt folosite pentru evaluarea antecedentului implicatiei. Pentru fiecare din aceste combinatii, evaluarea antecedentului se face prin reducerea sa treptata, cu ajutorul proprietatilor si legilor de posibilitate ale operatorilor logici, cautand ca in locul sau sa obtinem valoarea 1 sau valoarea 0. Daca pentru cel putin una din combinatiile considerate antecedentul ia valoarea 1, implicatia analizata este nevalida, deoarece, in acest caz, avand antecedent adevarat si consecvent fals, ea ia valoarea 0. Insa, daca pentru oricare din combinatiile considerate antecedentul ia valoarea 0, implicatia analizata este valida, intrucat atunci cand consecventul ei este fals, antecedentul ei nu poate fi adevarat, deci aceasta implicatie ia intotdeauna valoarea 1.

[(p q (p r (~q ~r)] ~p

1 1 0

q r

q r

q r ~q ~r

0

b) Atunci cand antecedentul implicatiei este mai simplu decat consecventul ei se aleg acele combinatii de 1 si 0 pentru care antecedentul ia valoarea 1 si, apoi, aceste combinatii sunt folosite pentru evaluarea consecventului implicatiei. Daca pentru cel putin una din aceste combinatii consecventul ia valoarea 0, implicatia nu este valida, deoarece, in acest caz, avand antecedent adevarat si consecvent fals, implicatia ia valoarea 0. Daca insa consecventul ia valoarea 1 pentru oricare din aceste combinatii, implicatia data are intotdeauna valoarea 1 si este un exemplu de implicatie logica, intrucat atunci cand antecedentul ei este adevarat, consecventul ei nu poate fi fals.

(p ~q) [(p r (q ~r

1 1 1 0

1 r

r

1

Metoda deciziei prescurtate permite o distinctie neta intre clasa formulelor valide si clasa formulelor nevalide. Insa distinctia intre formulele realizabile (implicatii materiale) si formulele inconsistente (contradictii logice) impune precizari suplimentare. Astfel, in cazul ambelor variante, pentru a fi siguri ca implicatia care s-a dovedit nevalida este, totodata, o contradictie logica, este necesar sa nu existe nici o combinatie de 1 si 0 care sa faca antecedentul ei fals sau consecventul ei adevarat.

Pentru a fi siguri ca o implicatie nevalida este, totodata, o implicatie materiala, este obligatoriu ca ori antecedentul (pentru prima forma a deciziei prescurtate), ori consecventul (pentru cea de a doua) sa nu se reduca exclusiv la 1 sau la 0, ci la o variabila propozitionala (sau la negatia unei variabile propozitionale), care poate avea fie valoarea 0, fie valoarea 1.