Propozitii compuse

Propozitii compuse

O propozitie compusa este echivalentul unei fraze in gramatica : este formata din doua sau mai multe propozitii categorice legate intre ele de niste operatori sau conectori propozitionali. Deoarece nu ne mai intereseaza ce fel sunt propozitiile categorice, ele vor fi simple variabile propozitionale, pe care le vom nota cu p, q, r, s, t, u etc. Suntem interesati ce valori de adevar iau operatorii propozitionali : negatie, conjunctie, disjunctie neexclusiva (inclusiva), disjunctie exclusiva, implicatie, echivalenta.

Nota : notam adevarul cu "1" si falsul cu "0". Numarul functiilor de adevar posibile este 2ⁿ (n = numarul de variabile propozitionale).

Negatia

Ia valori de adevar opuse valorilor de adevar ale propozitiei date. Tabel de adevar :

Exemplu : "Nu este adevarat ca afara ninge."

"Este fals ca merg la cinema."

"Nu este cazul sa minti."

Conjunctia

Este adevarata doar daca toti termenii ei sunt adevarati. Tabel de adevar :

Exemplu : "Merg la scoala si iau note mari."

Disjunctie neexclusiva

Este adevarata daca cel putin un termen al ei este adevarat. Tabel de adevar :

Exemplu : "Vrei sa stau sau vrei sa plec."

Disjunctie exclusiva

Este adevarata daca termenii ei au valori de adevar diferite. Tabel de adevar :

Exemplu : "Sau mergi cu mine, sau ramai acasa."

Implicatie

"p" este antecedent iar "q" este consecvent;

Este falsa doar daca antecedentul este adevarat iar consecventul fals. Tabel de adevar :

Exemplu : "Daca ninge, atunci va fi recolta bogata."

Echivalenta

Este o implicatie reciproca, de aceea :

(p≡q) ≡ (p→q) & (q→p)

Este adevarata daca termenii ei au aceeasi valoare de adevar. Tabel de adevar :

Exemplu : "Daca si numai daca uzi florile, atunci vor fi frumoase."

Metoda matriceala sau a tabelelor de adevar

Avem urmatoarea propozitie compusa (formula) care este un argument :

"Daca elevul vrea sa invete, el nu are nevoie sa fie controlat. Daca nu vrea sa invete, atunci trebuie pedepsit. Prin urmare, daca il pedepsesti si nu il controlezi, elevul vrea sa invete."

Notam propozitiile :

p : "elevul vrea sa invete";

q : "nu trebuie controlat";

r : "trebuie pedepsit".

[(p→q) & (~p→r)] → [(r&q) → p]

1 1 1 1 01 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 01 1 0 1 0 0 1 1 1

1 0 0 0 01 1 1 1 1 0 0 1 1

1 0 0 0 01 1 0 1 0 0 0 1 1

0 1 1 1 10 1 1 0 1 1 1 0 0

0 1 1 0 10 0 0 1 0 0 1 1 0

0 1 0 1 10 1 1 1 1 0 0 1 0

0 1 0 0 10 0 0 1 0 0 0 1 0

Observam ca implicatia finala ia atat valoarea "1", cat si valoarea "0". Spunem ca este formula contingenta, iar argumentul redat de o astfel de formula este nevalid.

Daca ultimul operator efectuat ia numai valoarea "1", spunem ca este tautologie sau lege logica; este singurul caz in care argumentul redat de formula este valid.

Daca ultimul operator efectuat ia numai valoarea "0", spunem ca este formula inconsistenta sau contradictie, si in acest caz argumentul redat de formula este nevalid.

Exercitiul 1 : transcrieti in limbaj formal si verificati daca argumentul este valid, precizand ce fel de formula este :

"Daca X copiaza si el este pedepsit, atunci el este tratat drept, iar daca nu copiaza si nu este pedepsit, atunci este tratat drept. Asadar, X nu copiaza si este pedepsit."

Exercitiul 2 : verificati daca argumentul este valid :

"Daca autobuzul pleaca la ora fixata si nu are intarzieri pe traseu, inseamna ca va ajunge la timp. Intrucat autobuzul nu a ajuns la timp, rezulta ca el sau nu a plecat la ora fixata, sau a avut intarzieri pe traseu."

Exercitiul 3 : verificati validitatea argumentului; precizati ce fel de formula este :

"Caile cometelor sunt sau elipse, sau parabole, sau hiperbole. Calea unei comete care revine nu poate fi nici parabola, nici hiperbola. Deci, calea acelei comete este o elipsa."

Exercitul 4 : verificati validitatea argumentului; ce fel de formula este :

"Daca esti frumos sau destept, atunci reusesti in viata, ceea ce este tot una cu nu esti frumos si nu esti destept, sau reusesti in viata. Rezulta ca sau esti frumos sau nu esti destept, si a nu fi frumos este echivalent cu a fi destept."

Exercitiul 5 : stabiliti daca sunt corecte sau nu urmatoarele inferente :

1."Daca Dumnezeu poate sti mai mult decat stie inseamna ca nu este omniscient, iar daca nu poate sti mai mult decat stie inseamna ca nu e omniscient. Ori poate sti mai mult decat stie ori nu poate sti. Oricum, nu este omniscient."

2."Sau trebuie sa filosofam sau nu trebuie sa filosofam. Daca trebuie sa filosofam atunci trebuie. Daca nu trebuie sa filosofam, atunci trebuie (pentru a arata de ce nu trebuie). Prin urmare trebuie sa filosofam." (Aristotel)

3."Daca aceste carti contin aceeasi doctrina ca in Coran, atunci ele trebuie distruse pentru ca sunt de prisos, iar daca contin altceva decat doctrina Coranului trebuie distruse pentru ca sunt daunatoare. Ele sau sunt in acord cu Coranul sau contravin lui. Prin urmare, ele trebuie distruse."

4."Trei suspecti declara urmatoarele :

X : "Y este nevinovat, dar Z este vinovat."

Y : "Daca este vinovat X, atunci si Z este vinovat."

Z : "Eu sunt nevinovat, dar cu siguranta fie X, fie Y este vinovat."

Stabiliti : a) daca pot fi toate declaratiile adevarate si cine este vinovat in aceasta situatie; b)daca sunt toti vinovati, cine minte; c) daca vinovatii mint si nevinovatii spun adevarul, cine este vinovat si cine nu; d) ce se poate stabili cu privire la vinovatia lor daca o singura declaratie este adevarata; e) daca o singura declaratie este falsa; f) daca sunt posibile declaratiile d si e."

a

b

c

d

e

f

5."Daca opresti brusc masina, vei fi tamponat. Daca nu opresti brusc, vei lovi o persoana care trece strada. Deci fie vei fi tamponat, fie vei lovi trecatorul."

6."Daca X este frumos sau superstitios, se teme si de umbra lui. X nu se teme de propria umbra deoarece nu este fricos, dar este supestitios."

7."Daca un silogism are trei termeni, atunci el este corect. Daca nu are trei termeni este fie incorect, fie o forma speciala de argumentare silogistica. Acest silogism este corect, dar nu are trei termeni, deci este o forma speciala de argumentare silogistica."

Exercitiul 6 : construiti in limbaj natural formule (argumente) conforme urmatoarelor expresii date in limbaj formal si verificati validitatea lor :

1.[p V (~q & r)] → (~p V q)

2.[(~p & ~q) ≡ (q & r)] → ~p

3.[p → (~q V r)] → [~p ≡ (q W ~r)]

Metoda deciziei prescurtate ( a tabelelor de adevar partiale sau a reducerii la absurd)

Se bazeaza pe faptul ca orice argument este o implicatie de la premise la concluzie, si orice implicatie este falsa intr-un singur caz : premise adevarate, concluzie falsa. De aceea, presupunem prin absurd ca acesta este cazul nostru, ca argumentul este nevalid, adica implicatia este falsa, si verificam daca plecand de la aceasta ipoteza ajungem sau nu la o contradictie. Daca ajungem inseamna ca presupunerea este gresita, deci implicatia este adevarata, argumentul este valid. Daca nu ajungem la o contradictie inseamna ca ipoteza este corecta, adica implicatia este falsa, argumentul nevalid.

Exemplu : "Daca ai fi avut nevoie de hrana, ti-as fi dat bani, dar intrucat nu vrei sa muncesti, nu se poate sa ai nevoie de hrana si, prin urmare, nu-ti voi da nici un ban."

Notam propozitiile si, identificand operatorii, obtinem formula :

[(p → q) & (~r → ~p)] → ~q

Presupunem ca implicatia este falsa. Rezulta ca antecedentul este adevarat, iar consecventul (~q) este fals. Alegem sa lucram in unul din termenii implicatiei. Deoarece consecventul contine doar una din variabile alegem sa lucram in antecedent :

[(p → q) & (~r → ~p)] este o conjunctie de doi termeni care trebuie sa fie adevarata. Deci :

(p → q) = 1 si (~r → ~p) = 1 rezulta ca avem trei situatii :

1.p = 1    2.p = 0 3.p = 0

q = 1 q = 0 q = 1

1.Inseamna ca ~p = 0, deci ~r = 0 [pentru ca (~r → ~p) = 1], adica r = 1

2,3.Inseamna ca ~p = 1,deci ~r = 1 sau 0,adica r = 1 sau 0

Ceea ce inseamna ca avem urmatoarele cinci combinatii ale valorilor de adevar ale variabilelor :

p = 1, q = 1, r = 1

p = 0, q = 0, r = 1

p = 0, q = 0, r = 0

p = 0, q = 1, r = 1

p = 0, q = 1, r = 0

Observam ca q poate fi atat adevarat, cat si fals. Il inlocuim ca valoare in consecvent (unde deocamdata nu am lucrat) si obtinem ca ~q poate fi atat adevarat, cat si fals.

Daca este adevarat, este o contradictie fata de ceea ce am presupus, deci implicatia este adevarata; daca este fals, nu este o contradictie, ci exact cum am presupus, deci implicatia este falsa. O formula care ia atat valoarea "1", cat si valoarea "0" este contingenta, deci argumentul este nevalid.

Exercitiul 7 : folosind metoda deciziei prescurtate, stabiliti daca argumentul este valid :

"Daca un om este predestinat sa se inece, nu are nici un sens sa lupte pentru a se salva; daca nu este predestinat, atunci nu este nevoie sa lupte. Prin urmare, fie este lipsit de sens, fie nu este nevoie ca el sa lupte pentru a se salva." (J.M.Keynes)

Exercitiul 8 : verificati daca argumentul folosit de Pascal (pentru a ne convinge ca trebuie sa credem in Dumnezeu chiar daca nu stim ca exista) este valid sau nu :

"Daca Dumnezeu exista si pariezi pe el castigi totul, iar daca exista si nu pariezi pe el pierzi totul. Daca Dumnezeu nu exista si pariezi pe el nu pierzi nimic, iar daca nu exista si nu pariezi pe el nu castigi nimic. Dumnezeu sau exista sau nu exista. Deci, pariaza ca el exista."

Exercitiul 9 : verificati corectitudinea logica a acestei inferente :

"Ei bine, daca mananc marul si el ma face sa vresc mai mare, pot sa ajung cheia si sa intru in gradina; daca ma face sa devin mai mica, pot sa ma strecor pe sub usa si sa intru in gradina. Oricum o fi, voi intra in gradina." (Lewis Carroll)

Exercitiul 10 : folosind metoda deciziei prescurtate verificati validitatea urmatoarelor argumente :

1."Daca inveti mecanic nu intelegi nimic. De asemenea, invatarea mecanica duce la o uitare rapida. Dar intelegi ceea ce inveti si uiti repede, deci nu inveti mecanic."

2."Daca medicamentul iti face bine il cumperi, iar daca iti dauneaza nu-l cumperi. Medicamentul fie iti face bine, fie iti dauneaza. Deci fie il cumperi, fie nu."

3."Daca spui adevarul, zeii te vor iubi, iar daca spui minciuni, oamenii te vor iubi. Nu poti spune decat fie adevarul, fie minciuni si prin urmare vei fi fie iubit de zei, fie de oameni."

4."Nu este adevarat ca daca as fi bogat lucrul acesta m-ar face fericit. Asadar, nu sunt bogat."

5."Daca ai parasit postl meriti pedeapsa cu moartea sau daca l-ai lasat pe prizonier sa fuga meriti aceeasi pedeapsa. Asadar, fie ai parasit postul, fie l-ai lasat pe prizonier sa fuga, tot moartea te asteapta."

6."Daca in momentul respectiv paznicul nu era atent, masina nu putea fi observata cand a intrat in depozit; daca depozitia martorului este adevarata, paznicul nu era atent in momentul respectiv. Fie masina a fost observata, fie soferul ascunde ceva; intrucat soferul nu ascunde nimic, rezulta ca depozitia martorului nu este adevarata."

7."Daca inveti prea mult obosesti si trebuie sa dormi. Daca muncesti prea mult obosesti si trebuie sa dormi. Dar nici nu inveti prea mult si nici nu muncesti prea mult. Prin urmare, nu trebuie sa dormi."

8."Daca esti tanar esti frumos, iar daca esti batran esti intelept. Dar nu esti frumos si nici batran, deci nu poti fi decat tanar si intelept."

9."Daca X este fricos sau superstitios se teme si de umbra lui. X nu se teme de propria umbra deoarece nu este fricos, dar este superstitios."

Inferente deductive valide cu propozitii compuse

Inferente ipotetico-categorice :

1.Ponendo-ponens -   

2.Tollendo-tollens -

Inferente disjunctivo-categorice :

1.Ponendo-tollens -

2.Tollendo-ponens -

   

*Proprietatile principalilor operatori propozitionali

Proprietatile negatiei :

1.Legea noncontradictiei - ~(p & ~p)

2.Legea tertului exclus - p V ~p

3.Legea dublei negatii - ~~p ≡ p

Proprietatile conjunctiei :

1.Idempotenta - (p & p) ≡ p

2.Comutativitatea - (p & q) ≡ (q & p)

3.Asociativitatea - [(p & q) & r] ≡ [p & (q & r)]

4.Contragerea - [(p & q) → p] sau [(p & q) → q]

Proprietatile disjunctiei :

1.Idempotenta - (p V p) ≡ p

2.Comutativitatea - (p V q) ≡ (q V p)

3.Asociativitatea - [(p V q) V r] ≡ [p V (q V r)]

4.Extinderea - [p → (p V q)] sau [q → (p V q)]

Proprietatile implicatiei :

1.Reflexivitatea - p → p

2.Contrapozitia (transpozitia) - (p → q) ≡ (~q → ~p)

3.Tranzitivitatea - [(p → q) & (q → r)] → (p → r)

4.Traducerea prin disjunctie si negatie sau conjunctie si negatie - (p → q) ≡ (~p V q)

- (p → q) ≡ ~(p & ~q)

Proprietatile echivalentei :

1.Reflexivitatea - p ≡ p sau (p ≡ q) ≡ (q ≡ p)

2.Contrapozitia (transpozitia) - (p ≡ q) ≡ (~q ≡ ~p)

3.Tranzitivitatea - [(p ≡ q) & (q ≡ r)] → (p ≡ r)

4.Traducerea prin implicatie

- (p ≡ q) ≡ [(p → q) & (q → p)

Distributivitatea conjunctiei fata de disjunctie si a disjunctiei fata de conjunctie:

[p & (q V r)] ≡ [(p & q) V (p & r)]

[p V (q & r)] ≡ [(p V q) & (p V r)]

Legile lui De Morgan :

1.(p & q) ≡ ~(~p V ~q)

2.~(p & q) ≡ (~p V ~q)

3.(p V q) ≡ ~(~p & ~q)

4. ~(p V q) ≡ (~p & ~q)

Exercitiul 11 : care din formulele ce alcatuiesc urmatoarele perechi sunt logic-echivalente :

1.a)~(~p & ~q)

b)~(p V q)

2.a)p → q

b)~(~q & p)

3.a)q V p

b)p → q

4.a)~p → q

b)p V q

5.a) p → q

b)p → (p & q)

Exercitiul 12 : stabiliti daca in urmatoarea lista sunt formule echivalente si, in caz afirmativ, care sunt acestea:

1.p V q

2.p → q

3.~(p & ~q)

4.~(~p & ~q)

5.~p V q

6.p V ~p

7.[p → (p & ~p)] → ~p

Exercitiul 13 : stabiliti care din formulele urmatoare sunt logic echivalente cu formula (p & q) → r si care cu formula (p V q) → r :

1.p → (q → r)

2.q → (p → r)

3.(p → r) & (q → r)

4.(p → r) V (q → r)

Exercitiul 14 : stabiliti daca in urmatoarea lista exista formule contradictorii si, in caz afirmativ, care sunt acestea :

1.~[(p → q) & (q → p)

2.p → q

3.p ≡ q

4.p V q

5.~(~p → q)

6.p W q

7.p & ~q

Exercitiul 15 : sa se determine care din formule implica q si care p :

1.p & (p → q)

2.~q & (~p → q)

3.q & (p → ~q)

4.~p & (~q → p)