CUADRICE. SUPRAFETE RIGLATE. SUPRAFETE DE ROTATIE

CUADRICE. SUPRAFETE RIGLATE. SUPRAFETE DE ROTATIE.

1. Cuadrice de ecuatii reduse. Simetriile lor.

Gasirea formei lor geometrice prin metoda intersectiei

Ecuatiile reduse ale cuadricelor

Definitia cuadricelor si unele probleme care se pun in legatura cu ele sunt analoge cu cele de la conice

Definitia 1 Se numeste cuadrica sau suprafata de ordinul doi nucleul unei forme patratice afine pe spatiul punctual euclidian E₃.

Daca o forma patratica f este data prin functia polinomiala f, atunci ecuatia generala a cuadricei S=ker f este:

S : a₁₁x²+a₂₂y²+a₃₃z²+2(a₁₂xy+a₁₃xz+a₂₃yz)+2(a₁₀x+a₂₀y+a₃₀z)+a₀₀=0    (1)

unde a_ij=a_ji, i,j=0,1,2,3,.

Ecuatia (1) o vom scrie uneori prescurtat:

S: f(x,y,z)=0

Matricele asociate lui f se pot scrie usor folosind semiderivatele sale partiale:

(2)

si functia: f₀ (x,y,z)=a₀₁x+a₀₂y+a₀₃z+a₀₀

Matricea A se formeaza cu coeficientii coordonatelor (x,y,z) din sistemul de functii (f₁,f₂,f₃) iar D este matricea tuturor coeficientilor sistemului de functii (f₁,f₂,f₃,f₀).

S-a demonstrat in capitolul 9 ca se poate alege un reper canonic astfel incat, ca si in cazul conicelor, ecuatia cuadricei S=ker f sa se scrie sub forma canonica, adica sub una din formele:

a) l x²+l y²+l z²=0 daca rang D=rang A; (3)

b) l x²+l y²+l z²+a a 0 daca rang D=1+rang A; (4)

c) l ₁x²+l y²+2z =0, daca rang D=2+rang A .(5)

Mai mult, prin inmultirea acesteia cu un factor nenul este posibil ca ecuatia cuadricei sa se scrie sub una din formele urmatoare, numita ecuatia redusa:

1) sfera (6)

2) elipsoid vid sau imaginar ( (7)

3) elipsoid (8)

4) hiperboloid cu o panza (9)

5) hiperboloid cu doua panze (10)

6) paraboloid eliptic (11)

7) paraboloid hiperbolic (12)

8) cuadrica nula sau punct dublu (13)

9) con patratic sau suprafata conica de gradul 2 (14)

10) cilindru vid sau imaginar ( (15)

11) cilindru eliptic (16)

12) cilindru hiperbolic (17)

13) x²-2y=0 cilindru parabolic (18)

14) dreapta dubla (19)

15) pereche de plane secante (20)

16) pereche de plane strict paralele (21)

17) pereche vida de plane paralele ( (22)

18) plan dublu (23)

Cuadricele se impart in doua mari clase: cuadrice propriu zise (nesingulare) si cuadrice singulare (degenerate ). Cuadrcele 6-12 sunt cuadrice propriu zise, iar cuadricele 13-23 sunt cuadrice singulare.

Forma geometrica a cuadricelor

Vom prezenta imaginea geometrica a cuadricelor si vom justifica faptul

ca acestea sunt intr-adevar imaginile lor prin metoda intersectiilor.

Elipsoidul (fig 1) dat prin ecuatia redusa (8) sectionat cu planul z=k (k=constant) determina conica:

(24)

care este elipsa pentru k²<c², elipsa vida pentru k²>c² si punct dublu pentru k²=c².

Fig.1

Se poate arata ca prin intersectia cu oricare alt plan conica obtinuta este o elipsa, elipsa vida sau punct dublu. Elipsoidul poate fi generat de elipsa mobila G care sprijina pe elipsa fixa ACA'C cand planul XOZ se deplaseaza paralel cu el insusi.

Ecuatia carteziana implicita a elipsoidului:

este echivalenta cu ecuatiile parametrice:

(25)

u,v= parametri (fig 2) pe suprafata.

Fig.2

Daca a=b c ecuatia elipsoidului este:

(26)

Elipsoidul dat de (26) este de rotatie in jurul lui Oz. Daca a=b=c ecuatia (26) devine x²+y²+z²=a² (sfera de raza a cu centrul in O).

Hipeboloidul cu o panza (9) dat prin ecuatia redusa 4), sectionat cu un plan z=k determina elipsa:

(27)

sectionat cu un plan y=h determina conica:

y=h, (28)

care este hiperbola pentru h² b² si pereche de drepte scante pentru h²=b². Se poate arata ca prin intersectia cu oricare alt plan, conica obtinuta este elipsa, hiperbola sau pereche de drepte secante.

Fig.3

Ecuatiile parametrice ale hiperboloidului cu o panza (12.9) sunt:

(29)

Aceasta cuadrica poate fi generata de elipsa G care se sprijina pe hiperbola fixa CC'DD' cand planul xOy se deplaseaza paralel cu el insusi.

Hiperboloidul cu doua panze (fig.4) dat prin ecuatia redusa 10), sectionat cu planul x=k determina hiperbola:

G : x=k, (30)

Sectionat cu planul z=h determina conica:

z=h, (31)

care este elipsa pentru , elipsa vida pentru si punct dublu pentru . Conica obtinuta cu oricare alt plan de sectiune este hiperbola, elipsa sau elipsa vida.

Fig.4

O reprezentare parametrica a hiperboloidului cu doua panze:

este

, u,v= parametrii (32)

Aceasta cuadrica poate fi generata de hiperbola G (30) care se sprijina pe hiperbola DAEDA'E' (fig 4).

Paraboloidul eliptic (fig 5) dat prin ecuatia redusa 11), sectionat cu planul x=k, determina parabola:

G:x=k, (33)

Fig 5

Sectionat cu planul z=h, determina conica:

G : z=h, (34)

care este elipsa daca h>0, elipsa vida daca h<0 si un punct dublu daca h=0.

Conica obtinuta prin sectionarea cu oricare alt plan este elipsa vida, punct dublu sau parabola.

Paraboloidul eliptic de ecuatie:

are urmatoarele ecuatii parametrice

(35)

Paraboloidul eliptic (35) poate fi generat de parabola G care se sprijina pe parabola din planul xOy (parabola COD) cand planul yOz se deplaseaza paralel cu el insusi.

Paraboloidul hiperbolic (fig 6) dat prin ecuatia redusa (12), sectionat cu planul y=k determina parabola:

G : y=k, (35)

Fig 6

Sectionat cu planul z=h determina conica: z=h, , care este hiperbola pentru h 0 si pereche de drepte concurente pentru h=0.

Prin sectionarea acestei cuadrice cu oricare alt plan, conica obtinuta este parabola, hiperbola sau pereche de drepte concurente.

Paraboloidul hiperbolic de ecuatie redusa (12) poate fi generat de parabola G care se sprijina pe parabola BOD cand planul xOz se misca paralel cu el insusi.

Conul patratic (fig 7) dat prin ecuatia redusa (14), sectionat cu planul z=k determina conica:

z=k, (37)

care este elipsa pentru k 0 si punct dublu pentru k=0. Sectionat cu planul x=h se obtine conica:

(38)

care este hipebola pentru h 0 si pereche de drepte concurente pentru h=0. Sectionat cu planul se obtine conica:

(39)

care este parabola pentru t 0 si dreapta dubla pentru t=0.

Fig 7

Sectionand un con patratic cu un plan oarecare se poate arata ca se obtine fie o conica propriu-zisa (elipsa, hiperbola sau parabola), fie una din conicile degenerate (punct dublu, pereche de drepte concurente sau dreapta dubla).

Cilindrul eliptic (fig 8) dat prin ecuatia redusa (16), intersectat cu planul z=k, determina elipsa:

z=k, (40)

intersectat cu planul y=h da conica:

y=h, (41)

care este o conica degenerata intr-o pereche de drepte strict paralele pentru h²<b², dreapta dubla pentru h²=c² si pereche vida de drepte paralele pentru h²>b².

Sectionat cu un plan oarecare cilindrul eliptic nu poate determina altceva decat: elipsa, pereche de drepte strict paralele, pereche vida de drepte

paralele sau dreapta dubla.

Rezultate similare se pot stabili pentru cilindrul hiperbolic (fig.9) respectiv cilindrul parabolic (10).

Celelalte cuadrice degenerate prin sectiune determina doar conice degenerate.

Fig.8 Fig 9

Fig.10 Fig 11

Observatie. Sectiunea cu un plan a unui con patratic determina o elipsa, o hiperbola sau parabola, conul patratic fiind singura cuadrica din care se poate obtine prin sectiune cu un plan oricare din conicile propriu-zise. Din acest motiv conicele propriu-zise se mai numesc si sectiuni conice.

Generatoare rectilinii ale unor cuadrice

Suprafetele generate prin deplasarea unei drepte se numesc suprafete riglate. Desigur, cuadricele degenerate (con, cilindru, perechea de plane ) sunt suprafete riglate. Vom arata ca hiperboloidul cu o panza si parabolic sunt de asemenea suprafete riglate.

Hiperboloidul cu o panza

Scriem ecuatia hiperboloidului cu o panza, sub forma:

Ecuatiile:

a)      

b) () (42)

determina o familie de drepte. Fie D_l o dreapta arbitrara din aceasta familie de drepte obtinuta pentru o valoare oarecare data parametrului l

Fie de asemenea un punct oarecare M(x,y,z)ID

Coordonatele acestui punct verifica ecuatiile (10-42) deci si ecuatia hiperboloidului (care se obtine prin inmultirea celor doua ecuatii (42). Deci, pentru orice , dreapta D_l este situata pe suprafata. Familia de drepte (42) se numeste familia de generatoare rectilinii l a hiperboloidului. Analog se arata ca familia de drepte:

,

(43)

constituie de asemenea o familie de generatoare rectilinii (m) (fig.11).

Propietati ale generatoarelor rectilinii:

1. Prin fiecare punct al suprafetei trece cate o generatoare din fiecare

familie si numai una.

Fie M₀(x₀,y₀,z₀) un punct al suprafetei. Alegem valoarea lui l astfel incat ecuatia (42) sa fie verificata de punctul (x₀,y₀,z₀). Aceasta valoare a lui l este unic determinata intrucat ecuatia (42) este de gradul intai in l. Intrucat coordonatele (x₀,y₀,z₀) satisfac si ecuatia hiperboloidului si ecuatia

(42) rezulta ca ele satisfac si ecuatia (42).

2. Doua generatoare din aceeasi familie nu se intersecteaza: in caz contrar, prin punctul comun ar trece doua generatoare din aceeasi familie.

3. Oricare doua generatoare din familii diferite, D_l si D_m, se intersecteaza intr-un punct al suprafetei.

Aratam ca pentru orice l 0 si m 0, ecuatiile (42) si (43) au o solutie comuna. Rezolvand sistemul format de (42), (42) si (43) obtinem:

(44)

si, printr-un calcul simplu, rezulta ca aceste valori satisfac si ecuatia (43). Ecuatiile (44) constituie deci o reprezentare parametrica a hiperboloidului cu o panza.

4. Generatoarele care trec printr-un punct M determina planul tangent la suprafata in acel punct.

Aceasta proprietate este valabila pentru orice suprafata riglata adica pentru orice suprafata riglata planul tangent intr-un punct M al acesteia contine generatoarea care trece prin M; intr-adevar tangenta in M la generatoare este insasi generatoarea, deci aceasta este continuta in planul tangent.

5. Generatoarele l si m sunt singurele drepte situate pe suprafata. Intr-adevar, presupunand ca ar exista o alta dreapta D pe suprafata daca M₀ID rezulta ca prin M₀ trec trei generatoare (doua din familiile (l) si (m), si dreapta D). Aceste trei drepte s-ar afla deci in planul tangent la hiperboloid in M₀; astfel exprimat, planul tangent intr-un punct ar intersecta suprafata de gradul doi dupa trei drepte. Ori pentru orice cuadrica, planul tangent intr-un punct taie cuadrica dupa doua drepte ce trec prin punctul de contact. intr-adevar, luand originea in punctul de contact si planul tangent ca plan xoy, ecuatia cuadricei este: f(x,y,z)+2a₃₀z=0 (f fiind forma patratica asociata formei patratice afine f(x,y,z)). Planul tangent are ecuatia z=0. Deci curba de intersectia are ecuatiile:

z=0, a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²=0,

deci este formata din doua drepte (reale sau imaginare, eventual confundate) care trec origine.

Paraboloidul hiperbolic.

Ecuatia paraboloidului hiperbolic:

poate fi scrisa sub forma :

(46)

Din (27) obtinem doua familii de generatoare rectilinii (l) si (m

(47)

Se poate demonstra ca cele cinci proprietati ale generatoarelor rectilinii ale hiperboloidului cu o panza sunt valabile si pentru paraboloidul hiperbolic.

Ecuatiile parametrice ale acestuia sunt:

(48)

Clasificarea cuadricelor dupa invariantii geometrici ai lor

Dupa cum rezulta din cele aratate in capitolul anterior, invariantii afini ai

unei forme patratice afine f sunt:

r=rang A, r'=rang D, signd, signD,

si p, indicele pozitiv de inertie al formei patratice corespunzatoare formei patratice afine date.

Invariantii geometrici ai cuadricei S : f(x,y,z)=0 sunt acei invarianti afini ai lui f care nu depind de inmultirea formelor patratice afine cu un numar. La inmultirea formei patratice afine f cu un numar r 0, notand f'=r f avem: A'=rA, D'=rD

iar in ipoteza Rezulta de aici ca r=rang A, r'=rang D sunt intotdeauna invarianti geometrici ai cuadricei S. Daca D 0 atunci si

signD este un invariant geometric.

Observatie.

Daca notam cu p, numarul patratelor pozitive din ecuatia redusa a unei cuadrice constatam ca in cazurile r'=r (cuadrice din grupa a) si r'=r+2 (cuadrice din grupa c)) avem . Pentru cuadricele cu r'=r+1, convenind ca termenul liber din ecuatia redusa sa fie -1, rezulta ca p poate fi 0,1,2 sau 3.

Cuadricele cu D 0 deci r'=4 se numesc cuadrice propiu-zise iar cuadricele cu D=0, deci r'<4 se numesc cuadrice singulare sau degenerate.