Comparatia radacinilor unei ecuatii de gradul al doilea cu doua numere reale distincte

Fie ecuatia de gradul al doilea si numerele reale a b (). Ne propunem sa stabilim seturile de conditii care trebuie puse pentru pozitionarea corecta a radacinilor reale ale ecuatiei date (deci conditia nu trebuie defel uitata).

Am vazut ca la comparatia radacinilor cu un singur numar real a apareau trei cazuri distincte. Aminteam acolo ca problema se poate rezolva relativ simplu notand y=x-a si studiind apoi semnele ecuatiei in y care se obtine. Pentru stabilirea pozitiei in raport cu doua numere a si b date (), problema nu mai este la fel de simpla (desi se poate efectua substitutia ). Apar urmatoarele 6 cazuri (cu modificari evidente cand inegalitatile sunt stricte):

I)

II)

III)

IV)

V)

VI)

Cazul I) Setul de conditii echivalent este:

(1)

Figura 1. Pentru cazul I.

Nu mai prezentam justificarea acestor conditii; cand am comparat radacinile unei ecuatii de gradul al doilea cu un numar real a, am observat care este maniera de lucru.

Cazul II)

Figura 2. Pentru cazul II.

Cazul III) (3)

Figura 3. Pentru cazul III.

Cazul IV)

Figura 4. Pentru cazul IV.

Cazul V) (5)

Figura 5. Pentru cazul V.

Cazul VI)

Figura 6. pentru cazul VI.

Observatie. In unele exercitii (in functie de cerinte) este necesar si studiul cazului in care ecuatia nu admite radacini reale ().

Exercitiu rezolvat (admitere, 1986) Sa se determine astfel incat functia sa pastreze semn constant pe intervalul .

Solutie. Avem trei posibilitati:

a)      fie functia data nu are radacini reale, deci pastreaza semn constant pe R, deci si pe intervalul

b)      fie functia data are radacini reale, dar acestea nu apartin intervalului . Aici vor aparea mai multe subcazuri, pe care le vom studia in mod separat.

c)      cazul special m=0 il vom studia separat.

Cazul a) Se pune conditia:

Cazul b) Punem mai intai conditia:

Pentru ca radacinile ale ecuatiei date sa nu se afle in intervalul , trebuie sa ne situam intr-unul din cazurile I, IV sau VI explicate in breviarul teoretic. Calculam separat:

Punem pe rand seturile de conditii echivalente (cu inegalitati stricte):

(I):

è

(IV) :

è

(VI) :

è

è

Cazul c) Daca m=0, avem f(x)=1-x, care se anuleaza in x=1, deci pastreaza semn constant pe (-1,1).

Ramane sa reunim solutiile gasite in cele trei cazuri, obtinand solutia generala

Exercitii propuse

Sa se determine astfel incat multimea:

sa aiba un singur element.

Sa se determine astfel incat multimea:

sa aiba doua elemente.

Sa se determine astfel incat: