Formulele lui Frenet

Formulele lui Frenet

Fie C o curba parametrizata de clasa C³ (J, ) reprezentarea sa naturala, s parametrul natural pe curba, M = (s) un punct pe curba si versorii tangentei, normalei principale respectiv binormalei in punctul M. Din (4.019) si (4.30) rezulta ca:

.

Fie versorul binormalei. Ne propunem sa gasim in functie de .

Deoarece , rezulta ca este coliniar cu , deci .

Tinand seama de (5.1), obtinem

(6.1)

Aceasta este prima formula a lui Frenet.

Pe de alta parte, deoarece , rezulta ca vectorii sunt coplanari, deci

Inmultind scalar cu , obtinem ca . Derivand relatia si tinand seama de (6.1), rezulta ca

Vom nota l (s) = k₂(s) si-l vom numi torsiunea curbei in punctul M. Am obtinut astfel a doua formula a lui Frenet:

(6.2)

Derivand relatia , obtinem

Folosind (6.2) si (6.2), rezulta ca , deci

(6.3)

aceasta fiind a treia formula a lui Frenet.

Asadar, formulele lui Frenet sunt:

(6.4)