Functia de gradul I

Functia de gradul I

1. Definitie: f : , f(x) = ax + b, a,bI

2. Reprezentarea grafica a functiei de gradul I, f(x) = ax + b. Graficul functiei de gradul I este o dreapta:

3. Intersectia graficului cu axele de coordonate:

Intersectia cu axa OX, este data de ecuatia f(x)=0, deci ax + b=0, de unde , deci punctul de intersectie cu axa OX este (dupa cum se vede si pe grafic).

Intersectia cu axa OY, este data de ecuatia y= f(0)=b, deci punctul de intersectie cu axa OY este (dupa cum se vede si pe grafic).

4. Monotonia functiei.

Studiul monotoniei se face prin semnul diferentei ,() , si anume , de unde rezulta ca:

daca atunci , deci deci f(x) = ax + b este crescatoare

iar daca atunci , deci deci f(x) = ax + b este descrescatoare, cazuri reliefate si de figurile urmatoare.

Cazul Cazul

Semnul functiei

5. Inecuatii de forma ax + b ≤ 0 (≥, <, >) studiate pe sau pe intervale de numere reale.

Inecuatia ax + b ≤ 0 (≥, <, >) se rezolva fie construind tabelul semnului pentru f(x)=ax + b, de unde se alege intervalul care satisface inegalitatea ca fiind solutia inecuatiei. Aceasta poate fi sau , respectiv sau .

Aceste solutii se pot obtine si rezolvand inecuatia direct astfel: ax ≤ - b (≥, <, >), de unde prin impartirea cu a se obtine: x ≤ - b a (≥, <, >) daca si respectiv x ≥ - b a (≤,>,<) daca (deci sensul inegalitatii se schimba daca a este negativ) si evident de aici se obtin solutiile de mai inainte. Daca inecuatia se rezolva pe intervale de numere reale atunci solutia obtinuta mai inainte se intersecteaza cu reuniuniea acestor intervale obtinandu-se astfel solutia finala a inecuatiei.

6. Sisteme de inecuatii de gradul I, studiate pe sau pe intervale de numere reale.

Se rezolva fiecare inecuatie in parte obtinandu-se solutiile (pentru prima inecuatie), (pentru a doua inecuatie),, (pentru a n-a inecuatie). De unde se obtine solutia sistemului de inecuatii (daca acesta se rezolva pe ) ca fiind . Daca sistemul se rezolva pe o reuniune de intervale atunci solutia se intersecteaza cu acesta reuniune de intervale.

7. Sisteme de ecuatii de gradul I. Pozitia relativa a doua drepte.

Sisteme de tipul

, a,b,c,m,n,pI

Fiecare ecuatie in parte este reprezentata in planul XOY de o dreapta.

- Daca cele doua drepte sunt concurente, deci , atunci sistemul admite o solutie unica si .

- Daca cele doua drepte sunt confundate, deci , atunci sistemul admite o infinitate de solutii, deci este nedeterminat.

- Daca cele doua drepte sunt paralele, deci , atunci sistemul nu are solutie, deci este incompatibil.

Exercitii relative la functii si functia de gradui I.

Fie functiile definite de si . Sa se calculeze functia .

Rezolvare: Avem .

2) Inecuatia are solutia S

a) b) c) d) e)

Rezolvare: si .

Rezulta ca pentru , avem , deci si astfel Pentru , deci si astfel . Pentru , deci si astfel Rezulta Raspuns corect e).

3) Fie functia Valorile parametrului pentru care functia f este injectiva sunt:

a)    b) c) d) e)

Rezolvare: Pentru , avem , deci functia f este constanta pe Pentru imaginea functiei este si . Functia f va fi injectiva , deci Raspuns corect c).

4) Fie functia Atunci are valoarea:

a) b) c) d) e)

Rezolvare: , , deci . Cum , obtinem , deci Raspuns corect c).

5) Multimea maxima a solutiilor inecuatiei este:

a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

Rezolvare: Inecuatia , cu conditia , se mai poate scrie de unde tinand seama si de definitia celor doua module si rezulta:

- daca atunci deci si de aici solutia ;

- daca atunci deci si de aici solutia ;

- daca atunci deci si de aici solutia ;

Deci multimea maxima a solutiilor inecuatiei este

si deci raspunsul corect este c).

Care dintre urmatoarele afirmatii este adevarata pentru functia

,

a) este injectiva si nu este surjectiva; b) este injectiva si este surjectiva;

c) nu este injectiva si este surjectiva; d) nu este injectiva si nu este surjectiva;

e) niciuna dintre afirmatiile a),b),c), d) nu este adevarata.

Rezolvare: Avem . Rezulta ca f nu este injectiva. Orice paralela la axa absciselor intersecteaza graficul lui f in cel putin un punct. Rezulta ca f este surjectiva. Deci c).