Functii logice - Functii logice elementare - Moduri de exprimare a functiilor logice

O functie logica de “n” variabile , unde variabilele , pentru , iau valorile 0 si 1, se defineste ca o aplicatie a multimii în multimea , unde prin s-a notat produsul cartezian al multimii cu ea insasi de “n” ori.

Exista mai multe metode de specificare (exprimare) a unei functii logice, metode ce vor fi prezentate într-un alt subcapitol pentru a putea da exemple de functii logice. Dintre ele vom prezenta totusi metoda definirii prin “tabel de adevar”.

Tabelul de adevar al unei functii logice de “n” variabile este o configuratie geometrica cu “n+1” coloane si linii. Primele n coloane contin cele combinatii posibile de valori ale variabilelor functiei iar coloana “n+1” contine valorile functiei. Pentru exemplificare în tabelul 2.4 este prezentat tabelul de adevar al functiei MAJORITATE DE 3 VARIABILE, functie ce ia valoarea 1 atunci când majoritatea variabilelor functiei au valoarea logica “1”.

Tabelul 2.4

1. Functii logice elementare

1.1. Functii logice de o variabila

Exista patru functii logice de o variabila si anume: DA, NU, 0, 1, cu mentiunea ca functiile “0” si “1” sunt constante logice si se utilizeaza la implementarea functiilor logice atunci când circuitele logice utilizate la implementare au intrari nefolosite.

Circuitele care realizeaza functia logica DA (adica nu schimba valoarea logica a semnalului aplicat la intrare) se utilizeaza pentru formarea semnalelor sau pentru marirea puterii semnalelor (amplificare). Simbolul utilizat pentru aceste circuite este urmatorul:

Circuitele care implementeaza functia logica NU (adica inverseaza valoarea logica a semnalului aplicat la intrare) sunt utilizate atât pentru complementarea semnalului aplicat la intrare cât si pentru formarea si/sau marirea puterii sale. Simbolurile folosite pentru aceste circuite sunt:

1.2. Functii logice de doua variabile

Exista 16 functii logice de doua variabile. Dintre acestea mai frecvent intâlnite sunt functiile logice SI, SAU, SI-NU, SAU-NU, SAU-EXCLUSIV. În continuare  va fi prezentat tabelul de definitie pentru aceste functii si simbolurile utilizate pentru circuitele care le implementeaza:

Observatii:

a)     functia logica SAU de doua sau mai multe variabile ia valoarea logica 1 daca cel putin una din variabile are valoarea logica 1.

b)     functia logica SI de doua sau mai multe variabile ia valoarea logica 1 daca toate variabilele au valoarea logica 1.

2. Moduri de exprimare a functiilor logice

Exista mai multe moduri de exprimare a functiilor logice, moduri ce se împart în doua categorii:

moduri de exprimare algebrica;

moduri de exprimare grafica.

Dintre modurile de exprimare algebrica existente în cadrul prezentului curs vor fi prezentate exprimarile functiilor logice în forma canonica si respectiv în forma normala, iar dintre modurile grafice vor fi prezentate exprimarile functiilor logice prin tabel de adevar, diagrama Veitch si diagrama de timp .

2.1. Formele canonice ale functiilor logice

Forma canonica disjunctiva. Este aceea la care functia se exprima ca o suma logica de produse logice standard. Un produs standard este un produs în care fiecare variabila apare o data si numai o data, în forma negata sau nenegata.

În general cu “n” variabile se formeaza produse standard. În tabel sunt date produsele standard de trei variabile, reprezentarea lor binara si notatia folosita. De retinut ca un produs standard este o functie logica, care ia valoarea logica “1” pentru o singura combinatie de valori ale variabilelor.

Tabelul 2.7

Tinând cont de aceasta ultima afirmatie, precum si de faptul ca o suma logica ia valoarea “1” daca cel putin un termen al sumei este egal cu “1”, rezulta ca orice functie logica poate fi exprimata ca o suma de produse logice standard si anume, suma acelor produse standard ce corespund combinatiilor de valori ale variabilelor pentru care functia ia valoarea logica “1”.

De exemplu forma canonica disjunctiva a functiei “MAJORITATE DE TREI VARIABILE”, functie definita în tabelul 2.4, este:

(2.9)    

Forma canonica conjunctiva. Este aceea la care functia se exprima ca un produs logic de sume logice standard. O suma logica standard este o suma în care fiecare variabila apare o data si numai o data în forma negata sau nenegata.

În general cu “n” variabile se formeaza sume standard. În tabelul 2.8 sunt date sumele standard de trei variabile, reprezentarea lor binara si notatia folosita. De retinut ca o suma standard este o suma logica care ia valoarea logica “0” pentru o singura combinatie de valori ale variabilelor.

Tabelul 2.8

Tinând cont de aceasta ultima afirmatie, precum si de faptul ca un produs logic ia valoarea logica “0” daca cel putin un termen al produsului este egal cu “0”, rezulta ca orice functie logica poate fi exprimata  ca un produs de sume logice standard si anume, produsul acelor sume standard ce corespund combinatiilor de valori ale variabilelor pentru care functia ia valoarea logica “0”.

De exemplu forma canonica conjunctiva a functiei “MAJORITATE DE TREI VARIABILE” este:

(2.10)

Formele normale ale functiilor logice

Formele normale ale functiilor logice au în expresia lor termeni elementari. Un termen este elementar daca nu contine toate variabilele independente ale functiei de “n” variabile. Formele normale ale functiilor logice se obtin în urma operatiilor de minimizare.

Exista doua forme normale si anume:

forma normala disjunctiva în care functia se exprima ca o suma logica de produse logice.

Ex.

forma normala conjunctiva în care functia se exprima ca un produs logic de sume logice.

Ex.

2.3. Reprezentarea functiilor logice prin tabel de adevar (studiata în 2)

2.4. Reprezentarea functiilor logice prin diagrame Veitch-Karnaugh

Diagrama Veitch-Karnaugh este tot o reprezentare tabelara, dar în raport cu tabelul de adevar este mai compacta datorita dispunerii bidirectionale a valorilor variabilelor.

În cazul general al unei functii logice de “n” variabile, diagrama Veitch-Karnaugh contine linii si coloane, astfel ca p+q=n. Daca n este par, în mod obisnuit p=q, iar daca n este impar, q=p+1 (sau p=q+1). Rezulta o diagrama cu celule, câte o celula pentru fiecare combinatie de valori ale variabilelor. Celulele sunt plasate folosind regula adiacentei. Doua celule se numesc adiacente daca combinatiile de valori ale variabilelor care le corespund difera pentru o singura variabila. Celulele de la extremitatile unei linii sunt adiacente între ele, afirmatie valabila si pentru celulele de la extremitatile unei coloane. Valorile pe care le iau variabilele  se scriu în dreptul liniilor si al coloanelor sau, se traseaza o bara în dreptul liniilor sau coloanelor în care o variabila ia valoarea “1”.

În fig.2.1 sunt reprezentate diagramele Veitch-Karnaugh de 2, 3, 4 si 5 variabile, în interiorul celulelor trecându-se produsele logice standard care le corespund.

		Figura 2.1

La reprezentarea functiilor logice prin diagrame Veitch-Karnaugh se introduce valoarea logica “1” în celulele diagramei corespunzatoare combinatiilor de valori ale variabilelor functiei pentru care aceasta ia valoarea logica “1”.

Observatie: Datorita cresterii complexitatii diagramelor odata cu cresterea numarului variabilelor functiei aceasta metoda nu este utilizata pentru functii la care n>6.

2.5. Reprezentarea functiilor logice de timp

Metoda consta în reprezentarea, cu ajutorul diagramelor temporale, a variatiei valorilor variabilelor functiei si a valorilor functiei, atasându-se pentru aceasta valorii logice “0” un semnal de nivel coborât, iar valorii logice “1” un semnal de nivel ridicat, astfel ca între cele doua nivele sa existe o diferentiere neta. Reprezentarea folosind aceasta metoda este utila în studiul sistemelor secventiale în a caror evolutie intervine si timpul. De asemenea folosind aceasta reprezentare se pot studia fenomenele tranzitorii de comutare si fenomenele de hazard datorate functionarii neideale a circuitelor de comutatie care implementeaza variabilele si functiile logice.

În fig. este reprezentata prin diagrama de timp functia logica

3. Functii incomplet definite

Uneori functiile logice pe care trebuie sa le realizeze un circuit logic nu sunt definite pentru toate combinatiile posibile de valori ale variabilelor de intrare deoarece anumite combinatii nu pot sa apara efectiv în timpul functionarii sau valorile functiei pentru anumite combinatii de valori ale variabilelor sunt indiferente.

O functie logica ale carei valori nu sunt precizate pentru toate combinatiile posibile de valori ale variabilelor de intrare se numeste functie logica incomplet definita. În tabelul de adevar al functiei logice incomplet definite, în dreptul combinatiilor de valori ale variabilelor pentru care functia nu este definita se trece “*”.

Exemplu: Se considera un vehicul V ce se poate deplasa pe o cale de rulare a-d cu doua viteze :

viteza normala, VN, pe intervalul b-c;

viteza redusa, VR, la extremitatile caii în vederea opririi.

Se pune problema exprimarii functiilor VN si VR ce trebuiesc implementate de catre un sistem de comanda ce primeste la intrare informatiile si referitoare la pozitia vehicolului pe calea de rulare.

Tabelul de adevar al celor doua functii se completeaza usor tinând cont ca în timpul unei functionari normale combinatiile 101 si 111 nu pot sa apara.

	VN VR 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 Tabelul 2.10

Observatie: În cazul functiilor incomplet definite exprimate algebric, combinatiile pentru care ele sunt nedefinite se mentioneaza explicit.