Functii

Functii

2. Siruri.

In limbajul uzual prin sir intelegem o multime de numere aranjate intr-o anumita ordine. Elementele unui sir se numesc termenii sirului.

Exemple de siruri:

(a_n)_n≥1 ; 1, 2, 3, .,n, . 2)

Definitie : Se numeste sir de numere reale orice functie x:NA→R, unde A este o submultime finita a lui N.

Moduri de a defini un sir: - printr-o regula de calcul

Ex: sirul: (a_n)_n≥1 cu a_n= termenul a₃==

prin mai multe reguli de calcul

Ex: sirul: (a_n)_n≥1 cu termenul general a_n=

printr-o relatie de recurenta

Ex: (a_n)_n≥0 cu a₀=-1, a_n+1=a_n+3; n≥0

Exemple de siruri - Progresia aritmetica

Definitie: Un sir (a_n)_n≥1 pentru care fiecare termen al sau, incepand cu al doilea , se obtine din precedentul prin adaugarea aceluiasi termen r se numeste progresie aritmetica. Nunarul r se numeste ratia progresiei.

Formula termenului general. Daca sirul este 0 progresie aritmetica cu primul termen a₁ si ratia r atunci n≥1

Observatie: Orice termen al unei progresii aritmetice incepand cu al doilea este medie aritmetica intre precedentul si succesorul sau.

a_n=

Suma primilor n termerni ai unei progresii aritmetice

(a_n)_n≥1 este S_n=

Exercitii: Se da progresia aritmetica (a_n)_n≥1. Determinati in fiecare din cazuri , elementele cerute:

a₁=3; r=2. Calculati a₁₅ si S₁₅

a₁=-2; a₂₅=22. Calculati r si S₁₅

Daca a₁+a₂₌42 si a₁₀+a₃₌ Calculati a₁ si r

Solutia pentru Ex.1) a₁₅=a₁+(15-1)*r=31 S₁₅=

Progresie geometrica Sirul (b_n)_n≥1 cu b₁≠0, pentru care fiecare termen al sau incepand cu al doilea, se obtine din precedentul prin inmultirea cu acelasi numar q≠0 se numeste progresie geometrica. Numarul q se numeste ratie.

Formula termenului general b_n=

Observatie Intr-o progresie geometrica, orice termen incepand cu al doilea este media geometrica intre precedentul si succesorul sau.

Suma unei progresii geometrice:

Exemple: Se da progresia geometrica (b_n)_n≥1 cu ratia q

Determinati in fiecare din cazuri, elementele cerute

q=4, n=8, b₈=49152. Calculati b₁ si S₈

_, q=4 Calculati b₁₀

_, q=-, Calculati b₁

Calculat q>0.

Test de evaluare

1. Sa se determine numerele reale in progresie geometrica a, b, c daca suma lor este 26, iar numerele a+1, b+6, c+3 sunt in progresie aritmetica.
2. Sa se gaseasca suma primilor douazeci de termeni ai unei progresii aritmetice daca
3. Sa se gaseasca primul termen a₁ si ratia r a unei progresii aritmetice daca :
4. Sa se rezolve ecuatia 5+13+21++x=588
5. Daca    (b_n)_n≥1 este o progresie geometrica cu Calculati b₁ si q.