Inversarea unei matrici cu ajutorul coeficientilor polinomului caracteristic

Inversarea unei matrici cu ajutorul coeficientilor polinomului caracteristic

Fie A o matrice patratica de dimensiune n. Consideram polinomul caracteristic cu semn schimbat (det A ≠ 0):

det (λE - A) =

Din identitatea Cayley - Hamilton avem

(3.13)

Inmultind (3.13) la dreapta prin A^-1 se obtine:

sau, pentru p_n ≠ 0, avem:

(3.14)

Exemplu 3.4.1 Sa se determine prin metoda de mai sus inversa matricii nesingulare

Puterile A² si A³ s-au calculat in exemplul precedent.

Polinomul caracteristic este

Deci

Verificarea preciziei calculelor se face prin egalitatea

AA = E

O varianta a metodei Leverrier de inversare a unei matrici patratice nesingulare va fi varianta Frame - Fadeev, care inlocuieste calculul urmelor pterilor succesive ale matricii A, A^k, prin urmele unor matrici ce se obtin mai simplu.

Deci

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

Pe de alta parte

adica

Daca A este nesingulara avem:

Programul pentru calculul inversei unei matrici folosind polinomul caracteristic

Programul prezentat determina inversa unei matrici nesingulare folosind metoda Frame Fadeev.

Se determina coeficientii polinomului caracteristic si, daca matricea este nesingulara ( p_n ≠ 0), se calculeaza inversa.

Datele de intrare sunt: dimensiunea si elementele matricii.

# include <math .h>

# include <conio .h>

# include <iostream .h>

int n, i, j, k, m;

double a[10][10], b[10][10], c[10][10], p[10], s[10];

void main (void)

p[1] = 0.0;

for( i = 1; i <= n; i++)

p[1] - = a[i][i];

for( m = 2; m <= n; m++)

for( i = 1; i <= n; i++)

for( j = 1; j <= n; j++)

p[m] = 0.0;

for( i = 1; i <= n; i++)

p[m] - = c[i][i];

p[m] /= m;}

cout<<"Coeficientii polinomului caracteristic:"<<endl;

for( i = 1; i <= n; i++)

cout<<"p"<<i<<"="<<setw(10)<<p[i]<<endl;

if (!p[n])

cout<<"Matricea nu este inversabila !"<<endl;

else

}

getch ( );

}