LEGI DE PROBABILITATE

1. Variabile aleatoare discrete

Fie [I, (I),Pr] un camp de probabilitate, unde

I=

este multimea rezultatelor posibile (finita sau infinit numarabila), desemnand in acest caz numere si p probabilitatea fiecarui eveniment elementar .

Definitia 1. Numim variabila aleatoare, o aplicatie f care asociaza fiecarui element al spatiului de selectie (eveniment elementar), un numar x.

Definitia 2. Legea de probabilitate a variabilei discrete X este multimea (finita sau infinit numarabila) de cupluri (x, p), unde xI desemnand un rezultat posibil iar p probabilitatea evenimentului elementar asociat acestui rezultat.

Dandu-se valorile numerice posibile x a variabilei aleatoare X , in vederea caracterizarii acesteia este suficient sa cunoastem cuplurile (x, p), i=. O variabila aleatoare se noteaza simbolic:

x. x.x

X:

p. p.p

cu p=P(X= x) si .

O variabila aleatoare X, este o optiune a priori, fiind posibil a inregistra una din valorile x, i=. Aceasta nu trebuie confundata cu o valoare particulara x, care constituie rezultatul observat in urma efectuarii experientei, prin urmare este o notiune a posteriori.

Legea Bernoulli

Aceastǎ lege corespunde experientelor aleatoare cu douǎ rezultate posibile.

Definitia 1. O variabilǎ urmeaza legea lui Bernoulli dacǎ admite doar douǎ valori posibile 0 si 1 cu probabilitatile de realizare q respectiv p. O asemenea variabilǎ se noteaza Z(p) si se mai numeste variabilǎ Bernoulli.

Deoarece p + q = 1, cunoasterea parametrului p este suficient pentru a caracteriza o astfel de variabilǎ.

Simbolizǎm aceastǎ variabilǎ astfel:

Z(p) : .

E(Z) = 0 * q + 1 * p = p

V(Z) = E(Z) - [E (Z)]= p - p= p*q

Intr-o experientǎ cu douǎ rezultate posibile, cum ar fi: calitate sau noncalitate, apare sau nu apare, adevarat sau fals, evenimentului convenabil i se asociaza 1 cu o probabilitate p corespunzand sanselor apriori de realizare a acestuia. O astfel de experientǎ se numeste experientǎ Bernoulli.

Legea binomialǎ

Definitia 2. O variabilǎ aleatoare binomialǎ este suma a n variabile aleatoare de tip Bernoulli independente de acelasi parametru p.

O variabilǎ care urmeaza o astfel de lege de parametri n si p se noteaza cu:

unde Z(p), i= este o variabilǎ Bernoulli. Ansamblul de valori posibile a unei variabile binomiale este constituit din numerele intregi de la 0 la n.

Identificand termen cu termen, putem scrie

unde este numarul de combinari de n elemente luate cate k, adica numarul de posibilitati de a alege k elemente dintr-un total de n.

Speranta matematicǎ si varianta unei astfel de variabile se calculeaza astfel:

deoarece variabilele Z sunt independente.

Intr-o experientǎ Bernoulli, variabila Z(p) semnificǎ sansele de aparitie a cazului favorabil. Intr-un sir de experiente Bernoulli, repetate in aceleasi conditii, suma celor n variabile este o variabilǎ binomialǎ de parametri n si p. Numarul de piese de calitate obtinute ca urmare a n alegeri aleatoare cu repunere, dintr-un lot de N piese in care p% sunt de calitate, este o variabilǎ Bin(n,p).

Legea Poisson

Aceastǎ lege de probabilitate, numitǎ si legea de repartitie a evenimentelor rare, este frecvent intalnitǎ in studiul fenomenelor din: biologie, tehnicǎ, telecomunicatii etc. Pentru caracterizarea unei variabile, care urmeaza o asemenea lege, este necesar un singur parametru.

Definitia 3. O variabilǎ X urmeaza legea lui Poisson, dacǎ admite ca valori posibile numere intregi pozitive, iar probabilitatile asociate se calculeaza conform relatiei:

unde este un parametru pozitiv.

Dacǎ X urmeaza legea lui Poisson, atunci scriem:

unde suma probabilitatilor este 1 deoarece se cunoaste relatia:

Ca urmare, o variabilǎ Poisson, depinde de un singur parametru , care este in acelasi timp medie si variantǎ.

Legea geometricǎ

Definitia 4. O variabilǎ X urmeaza legea geometricǎ de probabilitate, dacǎ admite ca valori posibile numere intregi strict pozitive, iar probabilitatile asociate se calculeaza astfel:

Scriem aceasta astfel:

unde p si q sunt valori cuprinse intre 0 si 1, legate prin relatia .

Suma probabilitatilor este 1, deoarece:

Deci, pentru caracterizarea unei variabile geometrice este necesar a cunoaste una dintre cele douǎ valori, p sau q. Semnificatia unei variabile geometrice rezultǎ din urmatorul rationament: intr-un sir de experiente Bernoulli, de acelasi parametru p, considerǎm aparitia unui caz favorabil; numarul de experiente necesare pentru a aparea un nou caz este o variabilǎ aleatoare geometricǎ.

Legea hipergeometricǎ

O populatie statisticǎ de volum N, se imparte in douǎ subpopulatii, de volume respectiv . Din populatia initialǎ se fac n extrageri, fǎrǎ repunere. Numarul k de unitati, din cele n extrase, care apartin primei subpopulatii este o variabilǎ aleatoare hipergeometricǎ.

Definitia 5. O variabilǎ X urmeaza legea hipergeometricǎ de probabilitate, dacǎ admite ca valori posibile numere k intregi, iar probabilitatile se calculeaza astfel:

cu conditia

Notǎm o asemenea variabilǎ cu , unde (proportia primei subpopulatii in raport cu intreaga populatie), iar simbolic apare astfel:

Conform legilor binomialǎ si hipergeometricǎ, numarul mediu de unitati statistice, posedand un anume caracter dat, este acelasi pentru extrageri cu repunere si extrageri fǎrǎ repunere. In schimb varianta celor douǎ legi difera prin raportul , care este subunitar, numit coeficient de exhaustivitate si se leaga de natura extragerilor.

Legea discretǎ uniformǎ

Definitia 6. O variabilǎ X urmeaza legea discretǎ uniformǎ, dacǎ cele n valori posibile sunt echiprobabile si uniform repartizate pe intervalul [0,1].

Simbolizǎm o asemenea variabilǎ, in felul urmator:

2. Variabile aleatoare continue

Modelarea comportamentului probabilistic, intr-un cadru discret, se dovedeste insuficient pentru intreaga gamǎ a fenomenelor aleatoare. Este cazul a numeroase probleme practice, a cǎror studiere impune considerarea unor mǎrimi aleatoare ale cǎror valori pot acoperi multimi continue de numere reale.

In cazul unei variabile aleatoare continue, multimea valorilor posibile este infinit numǎrabilǎ, iar probabilitatea atasatǎ unei valori oarecare este totdeauna nulǎ. Multimea de definitie a unei variabile aleatoare continue este fix axa realǎ intreagǎ, fie submultimi de forma sau

O variabilǎ aleatoare continuǎ se poate defini, fie prin functia de repartitie, fie prin densitatea de probabilitate, ambele putand fi considerate functii de variabile aleatoare reale.

Functia de repartitie

Definitia 1. Notǎm cu X o variabilǎ aleatoare continuǎ. Pentru fiecare numǎr real x, notǎm probabilitatea cu care X ia valori mai mici decat x, adicǎ:

Functia F astfel definitǎ se numeste functia de repartitie a variabilei aleatoare X.

Cele mai importante proprietati ale acestei functii sunt:

a) , pentru orice .

b) F(x) este o functie nedescrescǎtoare.

c) si

d) F(x) este o functie continuǎ.

Densitatea de probabilitate

Definitia 2. Se numeste densitate medie de probabilitate a variabilei X pe intervalul , raportul dintre probabilitatea atasatǎ acestui interval si lungimea sa:

In cazul intervalului de forma avem:

Se defineste astfel o functie - densitatea de probabilitate - a lui X prin egalitatea:

cu exceptia (eventual) unui numar de puncte in care f nu este derivabilǎ.

Definitia 3. O functie numericǎ f(x), poate fi consideratǎ ca densitate de probabilitate pentru o variabilǎ aleatoare continuǎ X, dacǎ indeplineste urmatoarele conditii:

ia valoarea zero pentru punctele care nu se aflǎ in domeniul de definitie a variabilei X;

ia valori nenegative pe intervalul de definitie a variabilei X;

• verificǎ egalitatea:

Legea exponentialǎ

Aceastǎ lege de probabilitate este urmatǎ in special de acele fenomene care se deruleaza in timp. Acest lucru presupune o divizare a perioadei de timp in subintervale suficient de mici, astfel incat sǎ existe cel mult o realizare a fenomenului intr-un astfel de subinterval.

Definitia 1. O variabilǎ aleatoare continuǎ X, urmeaza o lege de probabilitate exponentialǎ, dacǎ functia sa de repartitie are urmatoarea formǎ:

unde este un parametru real si pozitiv.

Densitatea de probabilitate a unei variabile ce urmeaza o lege exponentialǎ, se obtine prin derivarea functiei de repartitie si are forma:

, si .

Legea normalǎ redusǎ (standard)

Aceastǎ lege de probabilitate se mai numeste si legea Laplace-Gauss, dupa numele celor doi care au descoperit-o.

Definitia 2. O variabilǎ aleatoare continuǎ urmeaza o lege normalǎ redusǎ dacǎ functia sa de repartitie este de urmatoarea formǎ:

unde este variabila de integrare, iar x marginea superioarǎ a integralei, putand lua orice valoare realǎ. Tinand cont de regulile de derivare aplicate functiei , rezultǎ densitatea de probabilitate:

Densitatea de probabilitate este o functie simetricǎ in raport cu axa ordonatelor, admitand un maxim in si douǎ puncte de inflexiune pentru functia de repartitie, este intotdeauna crescatoare, admitand un punct de inflexiune pentru si un centru de simetrie de coordonate (0,1/2).

Notǎm o variabilǎ X normalǎ redusǎ.

Legea normalǎ

Definitia 3. Dacǎ X este o variabilǎ aleatoare normalǎ redusǎ, , atunci variabila aleatoare unde este un numar real strict pozitiv iar un numar real oarecare, se numeste variabilǎ normalǎ.

Vom nota cu faptul cǎ variabila Y urmeaza o lege normalǎ. Din definitia de mai sus rezultǎ:

domeniul de definitie pentru o variabilǎ normalǎ este multimea numerelor reale, deoarece este pozitiv;

valoarea medie

varianta

Din relatia rezultǎ:

ceea ce constituie standardizarea variabilei Y.

Legea log-normalǎ

Definitia 4. Fie o variabilǎ normalǎ , atunci o variabilǎ log-normalǎ se defineste ca o variabilǎ aleatoare de forma:

Cu alte cuvinte, spunem cǎ Z este o variabilǎ log-normalǎ dacǎ logaritm natural (ln) din aceasta devine o variabilǎ normalǎ.

Urmatoarea teoremǎ ne precizeaza domeniul de definitie a unei astfel de variabile, cat si expresia densitatii de probabilitate a acesteia.

Teoremǎ: O variabilǎ log-normalǎ Z admite ca valori posibile multimea numerelor reale poztive, iar densitatea de probabilitate are urmatoarea expresie:

Legea

Definitia 5. Fiind dat un sir de variabile aleatoare centrate si independente, variabila

se numeste variabilǎ hi-pǎtrat cu n grade de libertate.

O variabilǎ , fiind o sumǎ de patrate, poate lua numai valori pozitive.

Pentru cazul particular cand:

iar si sunt independente, variabila

urmeaza legea de probabilitate hi-pǎtrat.

Numarul n de grade de libertate reprezinta, in principiu, numarul de variabile care constituie suma, deoarece fiecare este independentǎ de celelalte. In cazul variabilei

cand este indeplinitǎ conditia , aceasta va urma aceeasi lege de probabilitate dar cu n-1 grade de libertate. Pierderea unui grad de libertate se explicǎ prin faptul, cǎ in acest caz, fiind datǎ o valoare pentru , sunt suficiente cunoasterea a n-1 variabile pentru determinarea celeilalte rǎmase. De aceea, vom nota numarul gradelor de libertate cu , pentru cǎ este posibil sǎ difere de numarul n care apare in definitia variabilei.

Tabelul din anexa 2 ne permite sǎ calculǎm probabilitatile de forma:

cand se cunosc si . Folosind acelasi tabel, cunoscandu-se si p se poate gasi .

De exemplu, pentru =21 si p= 0,975 rezultǎ =10,3.

Legea de probabilitate Student

Definitia 6. O variabilǎ Student, notatǎ cu t, este raportul dintre o variabilǎ U normalǎ centratǎ si radacina pǎtratǎ a unei variabile impǎrtitǎ prin numarul gradelor de libertate. Cu alte cuvinte

este o variabilǎ Student (variabilǎ t).

Pentru o variabilǎ Y, care urmeaza legea Student cu grade de libertate, folosind tabelul din anexa 3 se poate gasi t astfel incat:

pentru o probabilitate p datǎ. Cum intervalul este centrat pe origine p este repartizat in mod egal.

Legea de probabilitate Fisher-Sndcor

Definitia 7. O variabilǎ Fisher-Sndcor, notatǎ cu F, este raportul dintre douǎ variabile si ponderate respectiv prin numarul de grade de libertate si , de urmatoarea formǎ:

Fie , i= si , j= douǎ multimi de variabile aleatoare de variantǎ (pentru orice i=), respectiv ( pentru orice j = ).

Dacǎ luǎm:   

atunci in virtutea celor aratate in cazul legii Student, avem:

In cazul particular = , avem:

Tabelul repartitiei teoretice, din anexa 4, pentru o variabilǎ F Fisher-Sndcor, cu si grade de libertate, ne permite sǎ gasim acea valoare , astfel incat:

unde p poate fie gal cu 0,05 sau 0,01.