Moduri de reprezentare a unei suprafete

Moduri de reprezentare a unei suprafete

1. Reprezentare parametrica

Fie Σ o suprafata determinata de panza parametrizata nesingulara

unde x, y, z I C^k(D). Relatiile

(u, v) I D (2.1)

se numesc ecuatiile parametrice ale suprafetei Σ

Fie, acum, M(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) un punct al suprafetei Σ. Atunci

este vectorul de pozitie al punctului M. Ecuatia

, (u, v) I D (2.2)

se numeste ecuatia vectoriala a suprafetei Σ

Daca M(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) un punct al suprafetei Σ, atunci u si v se numesc coordonate curbilinii sau coordonatele lui Gauss ale punctului M.

Fie acum M₀ = r(u₀, v₀). Pentru v = v₀ fixat, atribuind lui u toate valorile posibile (adica, pentru care avem (u, v₀) I D), punctele N = r(u, v₀) descriu in vecinatatea punctului M₀ o curba pe suprafata Σ. Acelasi lucru se intampla pentru u = u₀ fixat.

Aceste curbe se numesc linii de coordonate sau curbe de coordonate si sunt imaginile prin functia r a segmentelor paralele cu axele de coordonate, de ecuatii u = u₀ si v = v₀, situate in domeniul D (fig. 2.1). Tinand seama de injectivitatea lui r, cele doua linii de coordonate au un singur punct comun si anume punctul M₀. Cand punctul (u₀, v₀) parcurge D, aceste linii de coordonate formeaza o retea pe suprafata , numita reteaua liniilor (curbelor) de coordonate (fig. 2.2).

Fig. 2.1

Fig. 2.2

Exemple.

1) Suprafata de ecuatii parametrice

, ,

unde R > 0, are ca imagine octantul de sfera x² + y² + z² = R², x > 0, y > 0, z > 0.

2) Fie suprafata , . Vom determina curbele de coordonate care trec prin punctul A(1, 3, 1). Punctul A are coordonatele curbilinii u = 1, v = -1. Pentru u = 1, obtinem curba de ecuatii parametrice

deci curba de coordonate este dreapta care trece prin punctul A, de vector director Analog, pentru v = -1, se obtine curba

,

sau

deci curba de coordonate este intersectia unui cilindru parabolic cu un plan.

3) Suportul suprafetei de ecuatii parametrice

, ,

unde R > 0, este cilindrul circular drept de raza R, a carui axa de simetrie este axa Oz, 'deschis', adica fara dreapta perpendiculara pe planul xOy, in punctul (R, 0, 0).

Reteaua liniilor de coordonate consta din dreptele 'verticale' u = const. si din cercurile 'orizontale' v = const.

4) Fie

, ,

ecuatiile parametrice ale unei curbe situate in planul xOy, care nu intersecteaza axa Oz. Oz, se obtine suprafata de rotatie, de ecuatii parametrice

Deoarece , , rezulta ca , deci panza parametrizata care defineste suprafata este neteda. Spre exemplu, cilindrul circular drept, de raza R, cu axa de simetrie Oz, este suprafata de rotatie obtinuta prin rotirea dreptei de ecuatii

, ,

iar sfera cu centrul in origine si de raza R se obtine prin rotirea cercului de ecuatii

, .

Suprafata de rotatie obtinuta prin rotirea curbei de ecuatii

, ,

se numeste catenoid (fig. 2.3), iar suprafata de rotatie obtinuta prin rotirea curbei de ecuatii

,

se numeste pseudosfera (fig. 2.4).

Fig. 2.3 Fig 2.4

2. Reprezentare explicita

Fie un domeniu si o functie de clasa C¹. Graficul lui f, adica multimea

este imaginea panzei parametrizate simple . Ecuatiile parametrice ale panzei fiind

, (u, v) I D

rezulta , r(D) = G, aplicatia r : D → G fiind bijectiva. este clar ca G este imaginea suprafetei de reprezentant (r, D). Spunem ca aceasta suprafata este definita explicit prin ecuatia.

z = f(x, y), (x, y) I D (2.3)

In acest caz, corespondenta dintre punctele suprafetei si punctele unei anumite regiuni din se obtine proiectand ortogonal suprafata pe planul xOy.

Exemplu. Paraboloidul eliptic sau paraboloidul hiperbolic de ecuatii carteziene , respectiv, , sunt suprafete definite explicit.

Observatie. In mod analog se trateaza suprafetele definite explicit prin ecuatiile
x = x(y, z), y = y(x, z). De exemplu, suprafata de ecuatie x = y² este un cilindru parabolic, iar suprafata de ecuatie este un paraboloid eliptic, avand axa Oy ca axa de simetrie.

3. Reprezentare implicita

Fie I o multime deschisa si F : o functie de clasa C¹. Vom preciza sensul in care multimea

(2.4)

este imaginea unei suprafete.

Teorema 2.1. Fie M₀(x₀, y₀, z₀) I S. Daca

gradF(x₀, y₀, z₀) = (2.5)

atunci exista o vecinatate W a punctului M , astfel incat S ∩ W sa fie imaginea unei suprafete.

Definitie. Daca, de exemplu, atunci, conform teoremei functiilor implicite, exista o vecinatate U a punctului (x₀, y₀), o vecinatate V a punctului z₀ si o functie z : U → V, z I C (U), astfel incat F((x, y, z(x, y)) = 0, (x, y) I U. Notand W = U V, rezulta ca S ∩ W este imaginea suprefetei definite de panza parametrizata

In acest caz spunem ca suprafata este definita implicit prin ecuatia carteziana

(2.6)

Un punct M₀(x₀, y₀, z₀) I S in care este indeplinita conditia (2.5) se numeste punct regulat al suprafetei. Punctul M₀ se numeste singular daca

(2.7)

Astfel, in cazul sferei de ecuatie x² + y² + z² = 3, sistemul (2.7) admite solutia (0, 0, 0). Originea nu se afla insa pe sfera, deci toate punctele sferei sunt regulate.

Daca functia F este algebrica, adica este functie polinomiala in x, y, z, atunci suprafata reprezentata de ecuatia (2.6) se numeste suprafata algebrica. De exemplu, cuadricele sunt suprafetele algebrice de ordinul al doilea, dar suprafata definita de ecuatia y = xtgz nu este algebrica.

Exemplu. Sfera cu centrul in punctul A(a, b, c) si de raza R are ecuatia carteziana . Este o suprafata definita implicit. De asemenea, dintre cuadricele pe ecuatia redusa (raportata la reperul dat de axele de simetrie), elipsoizii, hiperboloizii sunt suprafete definite implicit.

2.3. Plan tangent si normala la suprafata. Orientarea unei suprafete

Pentru inceput, prezentam cateva consideratii privind curbele aflate pe o suprafata.

Curba de reprezentant (I, r₁) se afla pe suprafata de reprezentant (D, r), daca
r₁(I) Ì r(D). Sa consideram o curba pe suprafata . Daca x = x(t), y = y(t), z = z(t) sunt ecuatiile parametrice ale curbei, iar x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) sunt ecuatiile parametrice ale suprafetei, atunci, din ecuatiile x(t) = x(u, v), y(t) = y(u, v), z(t) = z(u, v), putem determina u si v ca functii de t. Intr-adevar, conditia implica, de exemplu, ca , ceea ce asigura ca sistemul x = x(u, v), y = y(u, v) se poate rezolva in raport cu u si v. Asadar, o curba aflata pe suprafata S este imaginea unei curbe plane de ecuatii

In consecinta, o curba aflata pe suprafata va avea ecuatia vectoriala

(3.1)

In particular, liniile de coordonate determinate de punctul (u₀, v₀) I D au ecuatiile

(3.2)

respectiv

(3.3)

unde (u₀ + t, v₀) I D t I I, (u₀, v₀ + t) I D t I J. Este clar ca 0 I I I J

Fie o suprafata parametrizata de clasa C¹, S imaginea sa si M₀ I S

Definitie. Se numeste plan tangent la suprafata in punctul M planul care trece prin M₀ cu proprietatea ca unghiul dintre acest plan si secanta care trece prin punctul M₀ si printr-un punct oarecare M₁ I S tinde la zero, cand punctul M₁ tinde catre M₀ (fig. 3.1).

Fig. 3.1

Sa presupunem mai intai ca suprafata este definita explicit de ecuatia

z = z(x, y), (x, y) I D.

Vom arata ca, daca functia z este diferentiabila in punctul (x₀, y₀), atunci exista un plan tangent al graficului S al functiei z.

Fie M₀, M₁ I S, M₀(x₀, y₀, z₀), M₁(x, y, z), unde z₀ = z(x₀, y₀), z = z(x, y). Notam . Cum z este diferentiabila, rezulta ca

(3.4)

unde , iar γ si β sunt infiniti mai mici cand
x y

Sa privim cu atentie ecuatia

z - z₀ = A(x - x₀) + B(y - y₀)

Este ecuatia unui plan care trece prin punctul (x₀, y₀, z₀) si de vector normal . Vom demonstra ca planul este tangent la suprafata in punctul M₀.

Pentru a demonstra aceasta, este suficient sa aratam ca unghiul φ dintre normala la planul si secanta M₀M₁ tinde la cand M₀. Este cunoscut ca

Din (3.4) rezulta ca

Atunci

In consecinta, , adica , deci ecuatia planului tangent la suprafata S in punctul M₀(x₀, y₀, z₀) este

(3.5)

Sa presupunem acum ca suprafata este definita prin ecuatiile parametrice (2.1).

Ne propunem sa scriem ecuatia planului tangent intr-un punct de coordonate curbilinii u si v al acestei suprafete.

Deoarece , folosind teorema functiilor implicite, se poate demonstra ca intr-o anumita vecinatate a acestui punct, suprafata este graficul unei functii diferentiabile. Conform delor de mai sus, in acest punct exista un plan tangent la suprafata. Din definitia planului tangent rezulta ca tangenta in punctul M₀ de coordonate curbilinii u, v, la orice curba de pe suprafata care trece prin M₀, se afla in planul tangent la suprafata in M₀. Vectorii , tangenti la curbele de coordonate determinate de punctul (u, v), se afla in planul tangent in M₀. Cum , rangul matricei

este egal cu 2, deci sunt vectori directori ai planului tangent la suprafata in M₀ (fig. 3.2).

Fig. 3.2

In consecinta, ecuatia planului tangent in punctul de coordonate (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) este

(3.6)

daca suprafata este definita implicit de ecuatia F(x, y, z) = 0, cum intr-un punct (x₀, y₀, z₀) al suprafetei

din (3.5) rezulta ca, in acest caz, ecuatia planului tengent este

Fie o suprafata de reprezentant (D, r) si M = r(u, v).

Definitie. Vectorul se numeste vector tangent la suprafata in punctul M daca exista o curba de clasa C¹ de reprezentant (I, ), situata pe si un punct t I I astfel incat (t) = M si (fig. 3.3).

Fig. 3.3

Asadar, este vector-viteza la o curba situata pe suprafata , trecand prin M.

Multimea vectorilor tangenti la suprafata in punctul M se numeste spatiul tangentei la suprafata in punctul M si se noteaza T_M

Fie acum liniile de coordonate ce trec prin M. Tinand seama de (3.2), (3.3), acestea sunt date de ecuatiile

Atunci (0) = M, (0) = M, , deci I T_M . Deoarece ¹ , rezulta ca vectorii si sunt liniar independenti. Acesti vectori se numesc vectori-viteze partiale si sunt tangenti la liniile de coordonate. Cu aceste notatii, vom demonstra urmatoarea teorema.

Teorema 3.1. Spatiul tangent T_M este un spatiu vectorial real de dimensiune 2.

Demonstratie. Este suficient sa demonstram ca T_M coincide cu subspatiul vectorial W, generat de si . Mai intai vom arata ca T_M Ì W. Fie I T_M

Exista o curba de clasa C¹ de reprezentant (I, ), situata pe si un punct t I I astfel incat (t) = M si . Conform (3.1), , t I I. Atunci I W. Reciproc, daca I W, atunci . Punand (t) = r(u + t, v + bt), avem (0) = M si , adica I T_M . Asadar, T_M W. Deoarece W admite baza , rezulta ca T_M

Observatie. Din teorema 3.1 rezulta ca vectorii si formeaza o baza in spatiul tengent la suprafata in punctul M. Fie I T_M Atunci . Vectorul este coliniar cu vectorul

unde du = u'(t)dt, dv = u'(t)dt, care se afla in T_M si are cooronatele du si dv. In consecinta, putem gandi o directie in spatiul tangent ca fiind data de un vector de forma

Fie un punct al unei suprafete

Definitie. Se numeste normala la suprafata in punctul M dreapta care trece prin M si perpendiculara pe planul tengent la in M. Se numeste vector normal la in punctul M orice vector nenul coliniar cu normala in M.

Presupunem ca o anumita vecinatate a punctului M este data de ecuatia vectoriala , astfel incat vectorii si sa fie necoliniari in M. Este clar ca este un vector normal la suprafata

Vectorul

(3.8)

se numeste versorul normalei la suprafata in punctul M.

Tinand seama de (3.7), in cazul suprafetelor definite implicit de ecuatia F(x, y, z) = 0, un vector normal in punctul M₀(x₀, y₀, z₀) este

adica

Problema rezolvata. Sa se scrie ecuatia planului tangent si sa se gaseasca versorul normalei la suprafata in punctele indicate:

, A(2, 3, 2);

, A(u = 2, v = 0);

3) x² + Y² + z² = a², A(x₀, y₀, z₀);

Solutie.

1) In acest caz . Folosind (3.5), rezulta ca ecuatia planului tangent este 3x + 2y - 3z - 6 = 0. Versorul normalei la suprafata este

, deci . Folosind (3.6), ecuatia planului tangent este 2x - 2y - z = 0, iar versorul normalei la suprafata este

3) Deoarece punctul se afla pe suprafata, rezulta ca . Din formula (3.7), cu F(x, y, z) = x² + y² + z² - a², obtinem ecuatia planului tangent x₀(x - x₀) + y₀(y - y₀) + z(z - z₀) = 0, care se mai scrie xx₀ + yy₀ + zz₀ - a² = 0. Se observa ca ecuatia planului tangent se poate obtine direct prin dedublare. Versorul normalei la suprafata in punctul A este , unde este vectorul de pozitie al punctului A.

4) In acest caz . Folosind (3.7), ecuatia planului tangent este

Orientarea unei suprafete

Fie o suprafata parametrizata simpla, de clasa c¹, (D, r) un reprezentant al sau si S imaginea suprafetei (S = r(D)). Pentru orice punct M I S exista si este unic un punct (u, v) I D astfel incat M = r(u, v). In punctul M exista doi versori normali la suprafata, anume , unde

Observatie. Daca (D₁, r₁) este un alt reprezentant al suprafetei, deci (D₁, r₁) ~ (D, r) si
S = r₁(D₁), fie l : D → D₁ un difeomorfism cu jacobianul strict pozitiv, r = r₁ ◦ l si (ξ l(u, v). Se poate arata ca

deci versorul normal nu depinde de parametrizarea aleasa.

Fie, acum, V₃ spatiul vectorilor liberi normat cu norma obisnuita a vectorilor. Notam cu S₃ sfera unitate din V₃, adica

Definitie. Suprafata se numeste orientabila daca functia : S → S₃, , este continua. Functia continua se numeste orientarea directa ('de la u la v') pe , iar functia continua : S → S₃, , se numeste orientarea inversa ('de la v la u') pe

Punctele M de pe suprafata , impreuna cu versorii asociati prin formeaza o fata a suprafetei , iar punctele M impreuna cu versorii asociati prin ) formeaza o alta fata a suprafetei

F

si

F

Asadar, o suprafata orientabila are exact doua fete.

Exemplu. In cazul sferei de ecuatia x² + y² + z² = R², orientarea directa se poate defini prin versorul normalei exterioare , iar orientarea inversa se poate defini prin fiind vectorul de pozitie al punctului M. Asadar sfera este o suprafata cu doua fete (fig. 3.4). Elipsoidul si hiperboloidul cu o panza sunt, de asemenea, suprafete cu doua fete.

Fig. 3.4

2.4. Prima forma fundamentala a unei suprafete

Fie o suprafata de clasa C¹, avand ecuatia vectoriala

, (u, v) I D (4.1)

Presupunem ca (u, v) I D. Fie P = r(u, v). Sa consideram o curba pe suprafata , care trece prin P. Dupa cum este cunoscut, suportul acestei curbe este imaginea unei curbe plane de ecuatii

u = u(t), v = v(t), t I [t₀, t₁],

curba avand ecuatia vectoriala

(4.2)

Atunci

(4.3)

Definitie. Prima forma fundamentala (a lui Gauss) a suprafetei , in punctul P, este, prin definitie, forma patratica I : T_P

(4.4)

Tinand seama de (4.3), rezulta ca

(4.5)

Asadar, prima forma fundamentala a unei suprafete este o forma patratica in variabile du si dv si se mai noteaza cu I(du, dv). Prin urmare, . Mai mult, aceasta forma patratica este pozitiv definita, deci I(du, dv) du, dv si I(du, dv) = 0 daca si numai daca
du = dv = 0. Intr-adevar, daca , atunci . Daca du si dv nu se anuleaza simultan, rezulta ca si sunt coliniari, ceea ce contrazice ipoteza ca ¹ Atunci du = dv = 0.

Introducem acum notatiile lui Gauss:

(4.6)

deci

(4.7)

Atunci, (4.5) se scrie sub forma

(4.8)

Coeficientii E = E(u, v), F = F(u, v), G = G(u, v) se numesc coeficientii primei forme fundamentale a suprafetei , in punctul P. Matricea formei patratice I in baza a spatiului tangent la suprafata in punctul P, este . Pentru aceasta, este suficient sa observam ca forma biliniara asociata (polara) formei patratice I este forma biliniara simetrica ψ T_P T_P . Atunci , unde

In acest mod pentru o suprafata data de ecuatia (4.1), prima forma fundamentala a lui este data de (4.8), unde coeficientii E, F, G se calculeaza folosind (4.6) sau (4.7).

Pentru suprafete definite explicit de ecuatia z = z(x, y), (x, y) I D, folosind notatiile lui Monge,

gasim

Exemple.

1) In cazul sferei de ecuatie vectoriala . Rezulta E = R², F = 0, G = R²sin²u, deci

I(du, dv) = R²(du² + sin²udv²)

2) In cazul planului ,
(u, v) I , deci . Asadar,

Folosind prima forma fundamentala a unei suprafete, putem calcula lungimea unui arc de curba aflata pe suprafata precum si unghiul dintre doua curbe aflate pe suprafata.

Sa consideram curba de ecuatie (4.2), aflata pe suprafata . Este cunoscut ca lungimea L a arcului curbei data de (4.2) este data de formula

L (4.9)

Cum , rezulta ca:

L (4.10)

Putem astfel calcula lungimile arcelor de curba situate pe suprafata.

Lungimea s(t) a arcului dintre t₀ si un punct curent t I [t₀, t₁] este

L

relatia care se mai poate scrie sub forma

(4.11)

spunandu-se ca defineste metrica suprafetei

Fie acum C₁ si C₂ doua curbe aflate pe suprafata , care se intersecteaza in punctul P.

Definitie. Unghiul dintre curbele C si C₂ aflate pe suprafata , care se intersecteaza in punctul P, se defineste ca fiind unghiul dintre directiile tangentelor in P la curbele C₁ si C₂.

Conform celor de mai sus, cele doua curbe sunt date de ecuatiile:

, t I [t₀, t₁],

, t I τ τ

Fie si q unghiul dintre cele doua curbe. Vectorii directori ai tangentelor la cele doua curbe sunt:

Unghiul q dintre cei doi vectori este dat de formula

(4.12)

Notand cu , aceasta formula se mai scrie sub forma echivalenta

(4.13)

coeficientii E, F, G calculandu-se in puntul P.

In acest fel, cunoasterea primei forme fundamentale a unei suprafete permite, prin formula (4.13), calculul masurii unghiului dintre doua curbe aflate pe suprafata.

Caz particular. In cazul curbelor de coordonate de pe o suprafata care trec prin punctul , deci curbele u = const., v = const., avem du = 0, δv De aceea, unghiul curbelor de coordonate este

deci

(4.14)

Daca f = 0, atunci , deci curbele de coordonate sunt ortogonale.

Din (4.13) se obtine imediat conditia de ortogonalitate a doua curbe care se afla pe o suprafata:

(4.15)

Probleme rezolvate.

1) Pe suprafata , se considera triughiul curbiliniu ABC astfel: A se afla la intersectia curbelor u = 0, v = 0, B la intersectia curbelor v = 0 si u + v = 1, iar C la intersectia curbelor u = 0 si u + v = 1. Sa se calculeze lungimile arcelor AB si AC precum si masurile unghiurilor A si C.

Solutie. Coordonatele curbilinii ale punctelor A, B, C sunt A(u = 0, v = 0), B(u = 0, v = 0), C(u = 0, v = 1). Deoarece , E = 1, F = 0, G = u² + 1, deci I(du, dv) = du² + (u² + 1)dv².

Ecuatia curbei AB este v = 0, deci dv = 0, I(du, dv) = du². Atunci . Ecuatia curbei BC este u + v = 1, deci du + dv = 0, I(du, dv) = (u² + 2)du². Rezulta ca . Deoarece u = 0, v = 0 sunt liniile de coordonate ce trec prin A si F = 0, conform (4.14) cosA = 0, deci . Folosind (4.13), rezulta ca . Asadar

2) Sa se determine traiectoriile orogonale ale familiei de curbe u = Ce^v situate pe suprafata

Solutie. In acest caz E = 2, F = 1, G = u² + 1. Din U = Ce^v rezulta du = Ce^vdv, deci
du = udv. Folosind (4.15), obtinem ca traiectoriile ortogonale curbelor date au ecuatia diferentiala (2u + 1)δu + (u² + u + 1)δv = 0. Integrand, rezulta ln(u² + u + 1) + v = lnC, deci traiectoriile ortogonale cautate au ecuatiile u² + u + 1 = Ce^-v.

Mantionam ca la analiza matematica se stabileste ca aria unei suprafete se poate calcula cu formula

(4.16)

Asadar, cunoscand prima forma fundamentala a unei suprafete putem calcula aria unei suprafete.