Probleme de constructii geometrice cu ajutorul locurilor geometrice in plan

Probleme de constructii geometrice cu ajutorul locurilor geometrice in plan

Multe probleme de constructie se reduce la gasirea unui punct sau a mai multor puncte. Un punct este intersectia a doua linii, iar fiecare linie poate fi o conditie. Rezulta ca daca nu tinem seama de una din conditiile care determina un punct, atunci punctele care indeplinesc cealalta conditie au aceeasi proprietatea, deci ele formeaza un loc geometric pe care se afla punctual cautat. Analog cazul in care tinem seama de cealalta conditie, deci punctual cautat se afla la intersesctia acestor doua locuri geometrice.

Metoda locurilor geomterice consta in aalege punctual ce trebuie determinat pentru a putea face constructie ceruta, apoi pe baza datelor primare se stabilesc cele doua conditii ce pot determina punctual cautat. Se afla locul geometric corespunzator acestor doua conditii cand una e considerabila, cealalta neglijabila si la intersesctia lor exista un punct. Aceste locuri ori trebuie sa le aflam ori trebuie sa le cunoastem dinainte.

Exemple:

1.Locul geometric al punctelor egal departate de capetele unui segment este mediatoarea.

2.Bisectoarea unui unghi.

3.Cercul.

4.Locul geometric al punctelor egal departate de doua drepte paralele reprezinta tot o dreapta paralela cu ele.

5.Locul geometric al mijloacelor coardelor egale ale unui cerc este un cerc concentric cu cel dat.

6.Locul geometric al punctelor de unde un cerc se vede sub un unghi constant este un cerc concentric.

7.Locul geometric al punctelor de unde un segment AB se vede sub un unghi constant-doua arce de cerc simetrice fata de segmental AB si care trec prin acest punct.

8.Locul geometric al punctelor din care un segment AB se vede sub un unghi de 90 este cercul de diamteru AB.

9.Locul geometric al punctelor care au raportul distentei la A, B fixe este un cerc de diamteru CD, conjugat arcului AB.

10.Locul geometric al punctelor M, MA - MB = constant, A, B fixe este o dreapta perpendicular ape AB.

11.Locul geometric al punctelor M, MA + MB = constant, A, B, fixe este un cerc astfel incat OA ≡ OB.

12.Planul mediator al unui segment.

13.Planul bisector al unui unghi diedru.

14.Locul geometric al dreptelor perpendiculare pe o dreapta intr-un punct dat este planul perpendicular pe dreapta in plan.

• Problema 6: Locul geometric al centrelor sferelor care intersescteaza trei sfere fixe sub acelasi unghi este un plan.

Rezolvare: Fie d, d', d" distentele centrului sferei mobile la centrele sferelor S = (x - a) + (y - b) + (z - c) - R = 0; S' = 0; S" = 0.

Notam cu ω unghiul sub care sferele mobile taie sferele fixe si (x, y, z) coordonatele centrului sferelor mobile.

S = d -r = ρ - 2Rcosω; S' = d' -r' = ρ -2R'cosω;

S" = d" -r" = ρ -2R"cos ω.

Deci locul cautat are ecuatia:

S 1 R

S' 1 R' = 0 sau R(S' - S") + R"(S - S') = 0.

S" 1 R"

Acest loc este un plan ce trece prin axa radicala a celor trei sfere date.

• Problema 7: Se dau o sfera S, un plan P si un punct A. Prin A se duce o dreapta care intalneste planul P in punctual B. Se duce sfera S avand AB ca diametru; planul radical al sferelor S si S" intalneste dreapta AB in punctual M. Se cere locul geometric al punctului M cand dreapta AB se roteste in jurul punctului A.

Rezolvare: Fie (x - a) + (y - b) + (z - c) - R = 0 ecuatia sferei S. Notam (m, n, p) coordonatele punctului B, deci ecuatia sferei va fi: x + y + z + mx + ny + pz = 0 si ecuatia planului radical al sferelor S si S' va fi: (m - 2a)x + (n - 2b)y + (p - 2c)z + a + b + c - R = 0.

Ecuatia locului cautat se obtine eliminand m, n, p intre aceasta ecuatie si ecuatia dreptei AB.

azaa + b + c - R = 0 n p(x + y + z) -2cz - 2axz - 2byz + (a + b + c -R)z = 0.

Locul geometric este o suprafata de gradul 2 ce trece prin punctul A si prin cercul comun sferei S si planului P.

• Problema 8: printr-un punct fix din interiorul unui cerc se duc doua coarde. Sa se demonstreze ca locul geometric al mijloacelor acestor coarde este cercul ce admite ca diamteru segemntul de dreapta care uneste punctual fix cu centrul cercului dat.

Rezolvare: Fie O centrul cercului dat, P punctul fix si C cercul de diamtru OP. Pentru ca cercul C sa fie locul geometric al mijloacelor coardelor ce trec prin P trebuie sa aratam ca orice punct de pe cercul C este mijlocul coardei duse prin P. Acesta inseamna ca trebuie sa demonstram propozitia:

a)          Fie M un punct astfel incat M sa apartina cercului C, iar coarda care trece prin M este AB. Unind pe M cu O ne da unghiul < PMO de 90 a OMAB a M este mijlocul coardei AB a M are proprietatea enuntata.

Pentru aceasta vom demonstra propozitia:

b)          Orice punct care nu apartine cercului C nu are proprietatea data.

Fie N     C: Unim N cu M si obtinem coarda EF; EF C . Unghiul PDO este unghi drept, iar N nefiind cerc, rezulta ca ON este oblica la EFaN nu este mijlocul lui EFaC este cercul cautat.

• Problema 9: Locul geometric al punctelor din plan egal departate de 2 drepte paralele este o dreapta situate la egala distanta de cele doua drepte si paralela cu ele.

Rezolvare: Fie M multimea punctelor cu propietatea din enunt, adica multimea punctelor situate la egala distanta de A si F multimea punctelor figurii presupuse a fi locul geometric. Vom demonstra ca F= MFM si MF.

Fie A si A' situate la egala distanta de dreapta d AP=A'P (APa, A'P a). Fie B si B' cu aceeasi proprietate, apoi C si C'. A, B, C si A', B', C' sunt coliniare conform axiomei paralelelor adeci doua drepte paralele cu a.

Analog vor rezulta alte doua drepte b si b' paralele cu a si la aceeasi distanta. Din intersesctia celor doua locuri geometrice gasite rezulta: (a' si a") (b' si b") o dreapta si anume a" =b' = α.

Vom demonstra ca orice punct al figurii are proprietatea enuntata. Din constructia lui α = a' = ab' = , deci punctele dreptei α au proprietatea enuntata.

Demonstram reciproc. Orice punct care are proprietatea enuntata apartine figurii.

Fie DE perpendicular ape a si b, M'D = M'E.

Daca M DEα s-ar contrazice teorema unicititatii mijlocului segmentului DE..