Puncte si multimi topologic - remarcabile in

Puncte si multimi topologic - remarcabile in

I

I.1) Fie R sau , dupa caz , , cu topologia uzuala ( indusa de metrica euclidiana ). Sa se determine toate punctele izolate si toate punctele de acumulare ale multimii A in urmatoarele cazuri:

a) ; b) ; c) ;

d) ; e) ;

f) .

I.2) Fie d o metrica pe , A o submultime nevida a spatiului si . Se defineste . Sa se arate ca x este un punct de aderenta al multimii A, daca si numai daca .

II

II.1) Sa se gaseasca interiorul, inchiderea ( aderenta ), multimea derivata, frontiera si exteriorul urmatoarelor submultimi ale lui R, respectiv , in raport cu topologia uzuala:

a)

b)

c)

d)

e)

f) si

II.2) Fie o aplicatie ce satisface conditiile:

i) ,

ii)

iii)

Sa se arate ca:

a)      daca , atunci ;

b)      d este o metrica pe si, in topologia indusa de d, orice sfera este atat o multime deschisa cat si inchisa.

II.3) Fie si , definite respectiv prin

si ,

in raport cu care se considera , unde

.

Sa se arate ca , dotat cu d, este un spatiu metric in care orice submultime a sa, A, este marginita.

II.4) Fie inzestrat cu o topologie de spatiu metric. Sa se arate ca, pentru orice , sunt adevarate urmatoarele afirmatii:

a) ; b) ; c) ;

d) ; e) ; f) ;

g) ; h) ; i) ;

j) ; k) ;

l) ;

m) A este simultan deschisa si inchisa, daca si numai daca .

II.5) Fie o topologie pe si . Sa se arate ca:

a)      D este deschisa in raport cu daca si numai daca, pentru orice , implica ;

b)      daca D este o multime deschisa in , atunci, pentru orice , avem: .

II.6) Pentru orice submultime A a spatiului metric euclidian , se noteaza cu interiorul aderentei lui A si cu aderenta interiorului lui A.

Sa se arate ca:

i) daca A este deschisa, atunci ;

ii) daca A este inchisa, atunci ;

iii) si .

F. Iacob / 01.10.2006