REPER CARTEZIAN - Reper cartezian in spatiul punctual euclidian E3

REPER CARTEZIAN

1. Reper cartezian in spatiul punctual euclidian E₃

Fie O un punct fixat din E₃ numit origine in E₃ si o baza ortonormata in V₃.Fiecarui punct P E₃ ii corespunde un vector unic numit vector de pozitie a lui P fata de originea O. Acestui vector ii corespunde un triplet ordonat unic (x,y,z) R³ astfel incat . Numerele reale x,y,z se numesc in acest caz coordonatele euclidiene ale vectorului in raport cu baza ortonormata . In baza celor doua corespondente biunivoce: P si (x,y,z) R³ rezulta ca E₃ si R³ sunt in corespondenta biunivoca. Mai mult, spatiile V₃ si R³ sunt izomorfe, izomorfismul fiind unic determinat prin fixarea bazei.

Definitia 1. Ansamblul se numeste reper cartezian in E₃. Punctul O se numeste originea reperului, iar se numeste baza reperului. Coordonatele euclidiene (x,y,z) ale vectorului de pozitie se numesc coordonatele carteziene ale punctului P fata de reperul cartezian si notam P(x,y,z); abscisa, = ordonata, = cota.

Bijectia dintre E₃ si R³ determinta prin fixarea reperului cartezian se numeste functie de coordonate carteziene pe E₃ iar sistemul de scalari (x,y,z) asociat lui P prin functia de coordonate carteziene se numeste sistem de coordonate cartezian, al lui P fata de reperul cartezian.

Dreptele suport Ox, Oy, Oz ale versorilor pe care luam ca sens, sensul versorilor respectivi se numesc axele de coordonate ale reperului cartezian . Evident ele sunt reciproc ortogonale. Uneori reperul cartezian il indicam prin notatia Oxyz. Coordonatele carteziene ale punctului P reprezinta marimile algebrice ale proiectiilor ortogonale ale vectorului pe cele trei axe de coordonate (fig.1).

Axele sunt caracterizate prin ecuatiile:

Cele trei axe de coordonate determina trei plane xOy, yOz, zOx numite plane de coordonate. Ecuatiile lor sunt:

xOy : z = 0, yOz : x =0, zOx : y = 0

Fig. 1.

In cele ce urmeaza presupunem ca V₃ este raportat la baza ortonormata iar E₃ la reperul cartezian .

2. Schimbari de repere carteziene

(rotatia,translatia,simetria)

In unele probleme de geometrie analitica se prefera sa se inlocuiasca un reper cartezian cu altul in care ecuatiile curbelor sau suprafetelor sa se scrie mai simplu. Schimbarile de repere carteziene din E₃ sunt determinate de functii surjective care sunt transformari liniare ce pastreaza distanta euclidiana. Din acest motiv ele se mai numesc si izometrii. Multimea izometriilor formeaza un grup cu ajutorul caruia se introduce in spatiul punctual E₃ simetria in raport cu un plan, simetria in raport cu un punct si translatia.

Rotatia si simetriile sunt transformari liniare date prin matrice ortogonale. De aceea ele se mai numesc transformari ortogonale.

Orice izometrie I este un produs dintre o translatie T si o transformare ortogonala O, adica I =T∙O.

Fie I=T∙O o izometrie determinata de reperele si . Izometria I se numeste pozitiva (deplasare) daca este reper drept si negativa, antideplasare, in caz contrar.

Translatiile si rotatiile sunt izometrii pozitive in timp ce simetriile in raport cu un punct si in raport cu un plan sunt izometrii negative.

2.1. Rotatia

Definitia 2. Consideram doua repere carteziene si din E₃, orientate pozitiv (fig.2). Se numeste rotatie, R, a reperului in jurul punctului fix O, trecerea de la reperul la reperul .

Rezulta ca rotatia R a reperului este echivalenta cu trecerea de la baza ortonormata la baza.

Notam A =[a_ij] matricea de trecere de la baza ortonormata la baza .

Fig. 2

(1)

Intrucat marimea algebrica a proiectiei unui vector pe un alt vector este egala cu produsul scalar dintre primul vector () si versorul celuilalt, avem relatiile

(2)

Din conditiile pe care le verifica ,

(3)

rezulta sase relatii independente intre elementele a_ij ale matricii

(4)

Conditiile (3) constituie sase relatii independente adica nici una din relatiile (3) nu rezulta din celelalte cinci. Prin urmare si relatiile (4) obtinute din (3) prin trecerea la coordonate sunt relatii independente.

Efectuand inmultirea ^tAA si tinand seama de relatiile (4) obtinem

^tAA =I ceea ce este echivalent cu

^tA=A^-1.    (5)

Reamintim ca o matrice care indeplineste conditia 5 (sau echivalent,

conditiile 4) se numeste matricea ortogonala.

Trecerea de la baza ortonormata la baza ortonormata se face deci cu o matrice ortogonala. Trecerea inversa se face cu ^tA.

Consideram un punct arbitrar M din spatiul punctual euclidian E₃. Coordonatele lui M fata de reperul cartezian din E₃ le notam x,y,z iar fata de reperul cartezian . Pentru a gasi relatia de legatura intre cele doua sisteme de coordonate observam ca sau echivalent

. (6)

Inlocuind pe prin expresiile lor din baza date de primele trei relatii din (1) si grupand in membrul drept al relatiei (6) pe langa obtinem

(7)

Inmultind in (7) cu ^tA si tinand seama de faptul ca A este ortogonala (^tA∙A =I) obtinem relatia care da trecerea inversa (de la la ):

(8.)

Relatiile (7) si (8) caracterizeaza o izometrie care pastreaza originea. O izometrie data de aceste relatii se numeste transformare ortogonala. Trecand la determinanti in relatia ^tA∙A =I obtinem (det A)²=1 sau det A =1. Daca det A =+1 izometria este pozitiva (rotatie) iar daca det A =-

izometria este negativa(rotatie si simetrie).

Observatii

1. Relatiile (7) dintre coordonate se pot gasi si in alt mod: inmultind pe rand in (6) scalar cu si tinand seama de relatiile (2).

2. Cele sase relatii (4) fiind independente intre ele, rezulta ca dintre cei noua coeficienti a_ij care caracterizeaza o rotatie numai trei coeficienti sunt esentiali. Deci o rotatie intr-un spatiu depinde doar de trei parametri adica poate fi data prin trei conditii.

Caz particular : rotatia in jurul lui Oz. Consideram rotatia R de unghi in jurul lui Oz a reperului (fig. 3). in acest caz avem

Fig.3

Fie x,y,z si coordonatele unui punct M fata de reperele Oxyz si Ox'y'z' respectiv. Rotatia in jurul lui Oz este caracterizata de relatiile.

Determinantul matricii rotatiei R fiind egal cu 1, R este o izometrie pozitiva.

Consideram planul xOy. O rotatie in planul xOy de unghi q in jurul originii este caracterizata prin ecuatia

sau echivalent

2.2 Translatia

Definitia 3. Consideram doua repere carteziene si cu O O'. Trecerea de la reperul la reperul se numeste translatie spatiala de vector (fig.4).

Fig.4

Evident, fiecare punct de pe axele Ox, Oy, Oz descrie un vector segment orientat ce-l reprezinta pe . Fie

=

Vectorul se numeste vectorul translatiei.

Prin urmare:

,

unde O'(a,b,c) fata de Oxyz,

Fie un punct arbitrar M, M(x,y,z) fata de Oxyz si totodata M(x',y',z') fata de O'x'y'z'. Pentru a deduce relatiile dintre coordonatele x,y,z si x',y'z' trecem la coordonatele vectorilor in relatia evidenta

Aceasta devine

de unde

sau

In particular, translatia in planul xOy este caracterizata de relatiile

2.3. Roto-Translatia

Consideram un reper Oxyz fata de care se cunosc pozitiile unui punct fix O'(a,b,c) si a unui reper O'x'y'z'. Fie T translatia reperului Oxyz de vector .Prin aceasta

Fig.5

(fig.5) cu O'Z, O'Y, O'Z paralele si de acelasi sens cu Ox, Oy, Oz. Rezulta ca cele noua unghiuri formate de O' x', O'y', O'z' cu OX, OY, OZ sunt de fapt unghiurile pe care le formeaza acestea cu Ox, Oy, Oz respectiv. Cum