COMPUNEREA FUNCTIILOR

COMPUNEREA FUNCTIILOR.

DEFINITIE. Fie A, B, C multimi nevide si functiile : A B, g : B C.    Se numeste compusa functiei g cu functia (sau functia compusa din si g), considerata in aceasta ordine, functia notata go , definita astfel: go : A C , (go )(x) = g( (x)) x I A.

O alta operatie care se poate efectua asupra a doua functii este cea de compunere. Die : A B, g : B C, doua functi cu urmatoarea particularitate: codomeniul lui este egal cu domeniul lui g. Cu ajutorul acestor functii se poate construi o alta functie h : A C. Functia h astfel definita se noteaza go (citim "g compus cu ") si reprezinta compunerea functiei g cu (in aceasta ordine). Functia go are domeniul lui (prima functie care actioneaza in aceasta compunere) si codomeniul lui g (ultima care actioneaza in compunere).   

OBSERVATII. 1) Functia compusa go a doua functii , g nu poate fi definita decat daca codomeniul lui coincide cu domeniul de definitie a lui g.

Daca : A B, g : B A, atunci are sens fog si gof. In general insa gof fog.

PROPRIETATI ALE COMPUNERII FUNCTIILOR.

Asociativitatea

, g , h I avem fo(goh) = (fog)oh

Comutativitatea

, g I a.i. og go

Element neutru

o functie 1_A I a.i. I avem o1_A = 1_Ao 1_A : A A; 1_A(x) = x (functie identica)

Elemente simetrizabile

Nu toate functiile admit inverse!

Functia inversa:    : A B,    g : B C; g s.n inversa lui daca fog = 1_B; go = 1_A(notatie: g =

Proprietati:

a)      g = (go )(x) = x    ( og)(x) = x;

b)      (x)) = x x I A

(x)) = x x I B;

c)      inversabila injectie