Formule de tip Taylor cu restul sub forma integrala

Formule de tip Taylor cu restul sub forma integrala

Teorema 24

Fie X si Y doua spatii Banach reale, o multime convexa si deschisa si un operator cu urmatoarele proprietati:

F este de n ori derivabila in sens Gateaux pe ;

Pentru orice ,aplicatia:

(158)

este de n ori derivabila pe     si derivata de ordinul n a lui F este marginita si aproape peste tot continua pe .Atunci este adevarata urmatoarea formula de tip Taylor:

(159)

unde:

. (160)

Demonstratie

Observam mai intai ca ,avem urmatoarele egalitati:

=

Tinand seama ca pentru orice ,,rezulta ca

,pentru orice si ,in virtutea egalitatilor de mai sus,

Vom nota:

,de unde pentru t=0,se obtine:

Aceasta este semnificatia lui care intervine in (159).Pe de alta parte,tinand seama de definitia integralei pe segmente,avem:

.

Dar,prin ipoteza,derivata lui (functia ) este marginita si aproape peste tot continua pe .Exista deci:

(161)

si integrala poate fi calculata cu ajutorul formulei de integrare prin parti.

Trecem acum la demonstrarea formulei (159),unde este dat de (160)(sau de (161)).Pentru existenta integralelor care intervin observam ca deoarece este marginita si aproape peste tot continua pe ,derivatele sunt continue(deci si marginite) pe .

Vom face demonstratia prin inductie.Pentru n=1,tinand seama de (160), a demonstra (159) revine la a demonstra ca:

,

ceea ce este adevarat,pentru ca:

Presupunem ca formula (159) este adevarata pentru n-1,deci ca:

(162)

Cu acelasi rationament folosit pentru ,avem:

=,

din care,tinand seama de ipoteza de inductie (162),rezulta:

,

deci (159) este adevarata si pentru m.Teorema este demonstrata.